Jump to content

Матрица плотности

(Перенаправлено из Матрицы плотности )

В квантовой механике матрица плотности (или оператор плотности ) — это матрица , описывающая ансамбль. [1] физических систем как квантовых состояний (даже если ансамбль содержит только одну систему). Он позволяет рассчитывать вероятности результатов любых измерений, выполняемых над системами ансамбля, используя правило Борна . Это обобщение более обычных векторов состояния или волновых функций : хотя они могут представлять только чистые состояния , матрицы плотности также могут представлять смешанные ансамбли (иногда неоднозначно называемые смешанными состояниями ). Смешанные ансамбли возникают в квантовой механике в двух различных ситуациях:

  1. когда приготовление систем приводит к многочисленным чистым состояниям в ансамбле и, таким образом, приходится иметь дело со статистикой возможных приготовлений, и
  2. когда хотят описать физическую систему, запутанную с другой, не описывая их совместное состояние; этот случай типичен для системы, взаимодействующей с некоторой средой (например, декогеренция ). В этом случае матрица плотности запутанной системы отличается от матрицы плотности ансамбля чистых состояний, которые в совокупности дали бы те же статистические результаты при измерении.

Таким образом, матрицы плотности являются важнейшими инструментами в областях квантовой механики, которые имеют дело со смешанными ансамблями, такими как квантовая статистическая механика , открытые квантовые системы и квантовая информация .

и мотивация Определение

Матрица плотности представляет собой представление линейного оператора, называемого оператором плотности . Матрица плотности получается из оператора плотности путем выбора ортонормированного базиса в базисе. На практике термины «матрица плотности» и «оператор плотности» часто используются как взаимозаменяемые.

Выберите основу с состояниями , в двумерном гильбертовом пространстве , то оператор плотности представляется матрицей

где диагональные элементы представляют собой действительные числа , сумма которых равна единице (также называемая населением двух состояний). , ). Недиагональные элементы являются комплексно сопряженными друг с другом (также называемыми когерентностями); они ограничены по величине требованием, чтобы быть положительным полуопределенным , см. ниже.

На языке операторов оператор плотности системы — это положительный полуопределенный эрмитов один , оператор следа действующий в гильбертовом пространстве системы. [2] [3] [4] Это определение можно мотивировать, рассматривая ситуацию, когда каждое чистое состояние готовится с вероятностью , описывающее ансамбль чистых состояний. Вероятность получения проективного измерения результата при использовании проекторов дается [5] : 99  что делает оператор плотности , определяемый как удобное представление состояния этого ансамбля. Легко проверить, что этот оператор положительно полуопределенен, эрмитов и имеет след. следует Обратно, из спектральной теоремы , что каждый оператор с этими свойствами можно записать в виде для некоторых штатов и коэффициенты которые неотрицательны и в сумме дают единицу. [6] [5] : 102  Однако это представление не будет единственным, как показывает теорема Шрёдингера–ХЮВ .

Другая мотивация для определения операторов плотности связана с рассмотрением локальных измерений запутанных состояний. Позволять быть чистым запутанным состоянием в составном гильбертовом пространстве . Вероятность получения результата измерения при измерении проекторов в гильбертовом пространстве только дается [5] : 107  где обозначает частичный след в гильбертовом пространстве . Это заставляет оператора удобный инструмент для расчета вероятностей этих локальных измерений. Она известна как плотности приведенная матрица на подсистеме 1. Легко проверить, что этот оператор обладает всеми свойствами оператора плотности. И наоборот, из теоремы Шрёдингера–ХЮВ следует, что все операторы плотности можно записать в виде для какого-то штата .

Чистые и смешанные состояния [ править ]

Чистое квантовое состояние — это состояние, которое нельзя записать как вероятностную смесь или выпуклую комбинацию других квантовых состояний. [4] Существует несколько эквивалентных характеристик чистых состояний на языке операторов плотности. [7] : 73  Оператор плотности представляет чистое состояние тогда и только тогда, когда:

Важно подчеркнуть разницу между вероятностной смесью (т.е. ансамблем) квантовых состояний и суперпозицией двух состояний. Если ансамбль готов иметь половину своих систем в состоянии а другая половина в , его можно описать матрицей плотности:

где и для простоты предполагаются ортогональными и имеют размерность 2. С другой стороны, квантовая суперпозиция этих двух состояний с равными амплитудами вероятности приводит к чистому состоянию. с матрицей плотности

В отличие от вероятностной смеси, эта суперпозиция может проявлять квантовую интерференцию . [5] : 81 

В в сфере Блоха представлении кубита каждая точка единичной сферы обозначает чистое состояние. Все остальные матрицы плотности соответствуют точкам внутри.

Геометрически набор операторов плотности представляет собой выпуклое множество , а чистые состояния являются экстремальными точками этого набора. Простейшим случаем является двумерное гильбертово пространство, известное как кубит . Произвольное смешанное состояние кубита можно записать как линейную комбинацию матриц Паули , которые вместе с единичной матрицей обеспечивают основу для самосопряженные матрицы : [8] : 126 

где реальные цифры - координаты точки внутри единичного шара и

Очки с представляют чистые состояния, а смешанные состояния представлены точками внутри. Это известно как картина сферы Блоха пространства состояний кубита.

Пример: поляризация света [ править ]

Лампа накаливания   (1) излучает совершенно случайные поляризованные фотоны   (2) со смешанной матрицей плотности состояний:
.
После прохождения через поляризатор вертикальной плоскости   (3) все оставшиеся фотоны вертикально поляризованы   (4) и имеют матрицу плотности в чистом состоянии:
.

Примером чистых и смешанных состояний является поляризация света . Отдельный фотон может быть описан как имеющий правую или левую круговую поляризацию , описываемую ортогональными квантовыми состояниями. и или суперпозиция двух: он может находиться в любом состоянии ), соответствующий линейной , круговой или эллиптической поляризации . Рассмотрим теперь вертикально поляризованный фотон, описываемый состоянием . Если мы пропустим его через круговой поляризатор , который позволяет либо только поляризованный свет или только В поляризованном свете в обоих случаях поглощается половина фотонов. Может показаться, что половина фотонов находится в состоянии а другая половина в штате , но это неверно: если мы пройдем через линейный поляризатор никакого поглощения нет, но если мы пройдем любое состояние или половина фотонов поглощается.

Неполяризованный свет (например, свет лампы накаливания ) нельзя описать как какое-либо состояние формы (линейная, круговая или эллиптическая поляризация). В отличие от поляризованного света, он проходит через поляризатор с потерей интенсивности на 50% независимо от ориентации поляризатора; и его нельзя сделать поляризованным, пропустив его через какую-либо волновую пластинку . Однако неполяризованный свет можно описать как статистический ансамбль, например, как каждый фотон, имеющий либо поляризация или поляризация с вероятностью 1/2. То же самое поведение произошло бы, если бы каждый фотон имел либо вертикальную поляризацию, либо вертикальную поляризацию. или горизонтальная поляризация с вероятностью 1/2. Эти два ансамбля экспериментально совершенно неразличимы, и поэтому их считают одним и тем же смешанным состоянием. Для этого примера неполяризованного света оператор плотности равен [7] : 75 

Есть и другие способы генерации неполяризованного света: одна из возможностей — внести неопределенность в подготовку фотона, например, пропустив его через двулучепреломляющий кристалл с шероховатой поверхностью, чтобы немного разные части светового луча приобрели разную поляризацию. Другая возможность — использование запутанных состояний: радиоактивный распад может испустить два фотона, движущихся в противоположных направлениях, в квантовом состоянии. . Совместное состояние двух фотонов чистое , но матрица плотности для каждого фотона в отдельности, найденная путем взятия частичного следа совместной матрицы плотности, полностью смешана. [5] : 106 

и Эквивалентные очистки ансамбли

Данный оператор плотности не определяет однозначно, какой ансамбль чистых состояний его порождает; вообще существует бесконечно много различных ансамблей, генерирующих одну и ту же матрицу плотности. [9] Их невозможно отличить никакими измерениями. [10] Эквивалентные ансамбли можно полностью охарактеризовать: пусть быть ансамблем. Тогда для любой комплексной матрицы такой, что ( частичная изометрия ), ансамбль определяется

будет порождать один и тот же оператор плотности, и все эквивалентные ансамбли имеют этот вид.

Тесно связанный с этим факт заключается в том, что данный оператор плотности имеет бесконечно много различных очисток , которые представляют собой чистые состояния, генерирующие оператор плотности при взятии частичного следа. Позволять

— оператор плотности, порожденный ансамблем , с государствами не обязательно ортогонально. Тогда для всех частичных изометрий у нас есть это

это очищение , где является ортогональным базисом, и, кроме того, все очистки имеют такую ​​форму.

Измерение [ править ]

Позволять быть наблюдаемой системой и предположим, что ансамбль находится в смешанном состоянии, так что каждое из чистых состояний происходит с вероятностью . Тогда соответствующий оператор плотности равен

Ожидаемое значение измерения можно рассчитать, исходя из случая чистых состояний:

где обозначает след . Таким образом, известное выражение для чистых состояний заменяется на

для смешанных государств. [7] : 73 

Более того, если имеет спектральное разрешение

где оператор проектирования в собственное пространство, соответствующий собственному значению , оператор плотности после измерения имеет вид [11] [12]

когда результат i получен. В случае, когда результат измерения неизвестен, ансамбль описывается выражением

Если предположить, что вероятности результатов измерений являются линейными функциями проекторов , то они должны быть заданы следом проектора с оператором плотности. Теорема Глисона показывает, что в гильбертовых пространствах размерности 3 или больше предположение о линейности можно заменить предположением о неконтекстуальности . [13] предположить неконтекстуальность для POVM , Это ограничение на размерность можно снять, если также [14] [15] но это подверглось критике как физически немотивированное. [16]

Энтропия [ править ]

Неймана Энтропия фон смеси можно выразить через собственные значения или через след и логарифм оператора плотности . С — положительный полуопределенный оператор, он имеет такое спектральное разложение , что , где являются ортонормированными векторами, , и . Тогда энтропия квантовой системы с матрицей плотности является

Из этого определения следует, что энтропия фон Неймана любого чистого состояния равна нулю. [17] : 217  Если являются состояниями, имеющими поддержку в ортогональных подпространствах, то энтропия фон Неймана выпуклой комбинации этих состояний,

задается энтропией фон Неймана состояний и энтропия Шеннона распределения вероятностей :

Когда государства не имеют ортогональных носителей, сумма в правой части строго больше энтропии фон Неймана выпуклой комбинации . [5] : 518 

Учитывая оператор плотности и проективное измерение, как в предыдущем разделе, состояние определяется выпуклой комбинацией

которое можно интерпретировать как состояние, возникающее в результате выполнения измерения, но без записи того, какой результат произошел, [8] : 159  имеет энтропию фон Неймана большую, чем у , за исключением случаев, когда . Однако возможно для производится с помощью обобщенного измерения, или POVM , чтобы иметь более низкую энтропию фон Неймана, чем . [5] : 514 

фон Неймана для эволюции времени Уравнение во

Подобно тому, как уравнение Шредингера описывает, как чистые состояния развиваются во времени, уравнение фон Неймана (также известное как уравнение Лиувилля – фон Неймана ) описывает, как оператор плотности развивается во времени. Уравнение фон Неймана показывает, что [18] [19] [20]

где скобки обозначают коммутатор .

Это уравнение справедливо только тогда, когда оператор плотности принимается в картине Шрёдингера , хотя на первый взгляд кажется, что это уравнение имитирует уравнение движения Гейзенберга в картине Гейзенберга , с решающей разницей в знаках:

где – некоторый оператор изображения Гейзенберга ; но в этой картине матрица плотности не зависит от времени , а относительный знак гарантирует, что производная по времени ожидаемого значения получается то же, что и на картинке Шрёдингера . [4]

Если гамильтониан не зависит от времени, уравнение фон Неймана можно легко решить и получить

Для более общего гамильтониана, если является распространителем волновой функции на некотором интервале, то временная эволюция матрицы плотности на этом же интервале определяется выражением

Вигнера и классические аналогии Функции

Оператор матрицы плотности также может быть реализован в фазовом пространстве . Под картой Вигнера матрица плотности преобразуется в эквивалентную функцию Вигнера :

Уравнение временной эволюции функции Вигнера, известное как уравнение Мойала , представляет собой преобразование Вигнера приведенного выше уравнения фон Неймана:

где является гамильтонианом, а скобка Мойала , преобразование квантового коммутатора .

Тогда уравнение эволюции функции Вигнера аналогично уравнению ее классического предела — уравнению Лиувилля классической физики . В пределе исчезновения постоянной Планка , сводится к классической функции плотности вероятности Лиувилля в фазовом пространстве .

Примеры приложений [ править ]

Матрицы плотности являются основным инструментом квантовой механики и хотя бы иногда появляются практически в любом типе квантово-механических расчетов. Вот некоторые конкретные примеры, когда матрицы плотности особенно полезны и распространены:

  • Статистическая механика использует матрицы плотности, прежде всего для выражения идеи о том, что система готовится при ненулевой температуре. Построение матрицы плотности с использованием канонического ансамбля дает результат вида , где это обратная температура и — гамильтониан системы. Условие нормировки, согласно которому след быть равным 1, определяет статистическую сумму как . Если число частиц, участвующих в системе, само по себе не определено, то можно применить большой канонический ансамбль , в котором состояния, суммируемые для получения матрицы плотности, взяты из пространства Фока . [21] : 174 
  • Теория квантовой декогеренции обычно предполагает запутывание неизолированных квантовых систем с другими системами, включая измерительные приборы. Матрицы плотности значительно облегчают описание процесса и расчет его последствий. Квантовая декогеренция объясняет, почему система, взаимодействующая с окружающей средой, переходит из чистого состояния, демонстрирующего суперпозиции, в смешанное состояние — бессвязную комбинацию классических альтернатив. Этот переход принципиально обратим, поскольку совокупное состояние системы и окружающей среды по-прежнему чистое, но для всех практических целей необратим, поскольку окружающая среда представляет собой очень большую и сложную квантовую систему, и обратить вспять их взаимодействие невозможно. Таким образом, декогеренция очень важна для объяснения классического предела квантовой механики, но не может объяснить коллапс волновой функции, поскольку все классические альтернативы все еще присутствуют в смешанном состоянии, а коллапс волновой функции выбирает только одну из них. [22]
  • Точно так же в квантовых вычислениях , квантовой теории информации , открытых квантовых системах и других областях, где подготовка состояний зашумлена и может произойти декогеренция, часто используются матрицы плотности. Шум часто моделируется через деполяризующий канал или канал амплитудного демпфирования . Квантовая томография — это процесс, с помощью которого на основе набора данных, представляющих результаты квантовых измерений, вычисляется матрица плотности, соответствующая результатам этих измерений. [23] [24]
  • При анализе системы со многими электронами, такой как атом или молекула , несовершенным, но полезным первым приближением является рассмотрение электронов как некоррелированных или как каждый из которых имеет независимую одночастичную волновую функцию. Это обычная отправная точка при построении определителя Слейтера в методе Хартри – Фока . Если есть электроны, заполняющие одночастичные волновые функции , затем сбор электроны вместе можно охарактеризовать матрицей плотности .

C*-алгебраическая формулировка состояний [ править ]

В настоящее время общепринято, что описание квантовой механики, в котором все самосопряженные операторы представляют собой наблюдаемые, несостоятельно. [25] [26] По этой причине наблюдаемые отождествляются с элементами абстрактной C*-алгебры A (то есть алгебры без выделенного представления в виде алгебры операторов), а состояния являются положительными линейными функционалами на A . Однако, используя конструкцию GNS , мы можем восстановить гильбертовы пространства, реализующие A как подалгебру операторов.

Геометрически чистое состояние C*-алгебры A которое является крайней точкой множества всех состояний A. — это состояние , соответствуют неприводимым представлениям A . По свойствам конструкции ГНС эти состояния

Состояния С*-алгебры компактных операторов К ( Н ) в точности соответствуют операторам плотности, и поэтому чистые состояния К ( Н ) являются в точности чистыми состояниями в смысле квантовой механики.

Можно видеть, что C*-алгебраическая формулировка включает как классические, так и квантовые системы. Когда система является классической, алгебра наблюдаемых становится абелевой C*-алгеброй. В этом случае состояния становятся вероятностными мерами.

История [ править ]

Формализм операторов плотности и матриц был введен в 1927 году Джоном фон Нейманом. [27] и независимо, но менее систематически, Львом Ландау. [28] и позже в 1946 году Феликсом Блохом . [29] Фон Нейман ввел матрицу плотности для развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений. Само название «Матрица плотности» связано с ее классическим соответствием фазового пространства вероятностной мере (распределению вероятностей положения и импульса) в классической статистической механике , которая была введена Вигнером в 1932 году. [2]

Напротив, мотивацией, вдохновившей Ландау, была невозможность описать подсистему сложной квантовой системы вектором состояния. [28]

См. также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]

  1. ^ Шанкар, Рамамурти (2014). Основы квантовой механики (2-е изд., [19-е исправленное издание] изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-306-44790-7 .
  2. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Фано, У. (1957). «Описание состояний в квантовой механике с помощью матрицы плотности и операторных методов». Обзоры современной физики . 29 (1): 74–93. Бибкод : 1957РвМП...29...74Ф . дои : 10.1103/RevModPhys.29.74 .
  3. ^ Холево, Александр С. (2001). Статистическая структура квантовой теории . Конспект лекций по физике. Спрингер. ISBN  3-540-42082-7 . OCLC   318268606 .
  4. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Холл, Брайан С. (2013). «Системы и подсистемы, множественные частицы». Квантовая теория для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том. 267. стр. 419–440. дои : 10.1007/978-1-4614-7116-5_19 . ISBN  978-1-4614-7115-8 .
  5. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г Нильсен, Майкл; Чуанг, Исаак (2000), Квантовые вычисления и квантовая информация , Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-63503-5 .
  6. ^ Дэвидсон, Эрнест Рой (1976). Матрицы приведенной плотности в квантовой химии . Академическое издательство , Лондон.
  7. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Перес, Ашер (1995). Квантовая теория: концепции и методы . Клювер. ISBN  978-0-7923-3632-7 . OCLC   901395752 .
  8. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Уайльд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1106.1445 . дои : 10.1017/9781316809976.001 . ISBN  978-1-107-17616-4 . OCLC   973404322 . S2CID   2515538 .
  9. ^ Киркпатрик, штат Калифорния (февраль 2006 г.). «Теорема Шрёдингера-ХЮВ». Основы физики письма . 19 (1): 95–102. arXiv : Quant-ph/0305068 . Бибкод : 2006FoPhL..19...95K . дои : 10.1007/s10702-006-1852-1 . ISSN   0894-9875 . S2CID   15995449 .
  10. ^ Окс, Вильгельм (1 ноября 1981 г.). «Некоторые комментарии к понятию состояния в квантовой механике» . Эркеннтнис . 16 (3): 339–356. дои : 10.1007/BF00211375 . ISSN   1572-8420 . S2CID   119980948 .
  11. ^ Людерс, Герхарт (1950). «Об изменении состояния посредством процесса измерения». Анналы физики . 443 (5–8): 322. Бибкод : 1950АнП...443..322Л . дои : 10.1002/andp.19504430510 . Переведено К. А. Киркпатриком как Людерс, Герхарт (3 апреля 2006 г.). «Относительно изменения состояния в результате процесса измерения». Аннален дер Физик . 15 (9): 663–670. arXiv : Quant-ph/0403007 . Бибкод : 2006АнП...518..663Л . дои : 10.1002/andp.200610207 . S2CID   119103479 .
  12. ^ Буш, Пол ; Лахти, Пекка (2009), Гринбергер, Дэниел; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель (ред.), «Правило Людера», Сборник квантовой физики , Springer Berlin Heidelberg, стр. 356–358, doi : 10.1007/978-3-540-70626-7_110 , ISBN  978-3-540-70622-9
  13. ^ Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства» . Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. дои : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . МР   0096113 .
  14. ^ Буш, Пол (2003). «Квантовые состояния и обобщенные наблюдаемые: простое доказательство теоремы Глисона». Письма о физических отзывах . 91 (12): 120403. arXiv : quant-ph/9909073 . Бибкод : 2003PhRvL..91l0403B . doi : 10.1103/PhysRevLett.91.120403 . ПМИД   14525351 . S2CID   2168715 .
  15. ^ Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Манн, Киран К.; Ренес, Джозеф М. (2004). «Выводы типа Глисона из правила квантовой вероятности для обобщенных измерений». Основы физики . 34 (2): 193–209. arXiv : Quant-ph/0306179 . Бибкод : 2004FoPh...34..193C . дои : 10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5 . S2CID   18132256 .
  16. ^ Анджей Грудка; Павел Куржинский (2008). «Есть ли контекстуальность для одного кубита?». Письма о физических отзывах . 100 (16): 160401. arXiv : 0705.0181 . Бибкод : 2008PhRvL.100p0401G . doi : 10.1103/PhysRevLett.100.160401 . ПМИД   18518167 . S2CID   13251108 .
  17. ^ Риффель, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (04 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: краткое введение . МТИ Пресс. ISBN  978-0-262-01506-6 .
  18. ^ Брейер, Хайнц; Петруччионе, Франческо (2002), Теория открытых квантовых систем , Oxford University Press, стр. 110, ISBN  978-0-19-852063-4
  19. ^ Швабль, Франц (2002), Статистическая механика , Springer, с. 16, ISBN  978-3-540-43163-3
  20. ^ Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2008), Классическая механика и теория относительности , World Scientific, стр. 175–179, ISBN  978-981-283-251-1
  21. ^ Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-87342-0 . ОСЛК   860391091 .
  22. ^ Шлоссауэр, М. (2019). «Квантовая декогеренция». Отчеты по физике . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Бибкод : 2019ФР...831....1С . дои : 10.1016/j.physrep.2019.10.001 . S2CID   208006050 .
  23. ^ Гранад, Кристофер; Комбс, Джошуа; Кори, генеральный директор (01 января 2016 г.). «Практическая байесовская томография». Новый журнал физики . 18 (3): 033024. arXiv : 1509.03770 . Бибкод : 2016NJPh...18c3024G . дои : 10.1088/1367-2630/18/3/033024 . ISSN   1367-2630 . S2CID   88521187 .
  24. ^ Ардила, Луис; Привет, Маркус; Экардт, Андре (28 декабря 2018 г.). «Измерение одночастичной матрицы плотности фермионов и жестких бозонов в оптической решетке». Письма о физических отзывах . 121 (260401): 6. arXiv : 1806.08171 . Бибкод : 2018PhRvL.121z0401P . doi : 10.1103/PhysRevLett.121.260401 . ПМИД   30636128 . S2CID   51684413 .
  25. ^ См. приложение, Макки, Джордж Уайтлоу (1963), Математические основы квантовой механики , Dover Books on Mathematics, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-43517-6
  26. ^ Эмч, Джерард Г. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля , Wiley-Interscience , ISBN  978-0-471-23900-0
  27. ^ фон Нейман, Джон (1927), «Вероятностная структура квантовой механики» , Göttinger Nachrichten , 1 : 245–272.
  28. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Проблема затухания в волновой механике (1927)». Сборник статей Л.Д. Ландау . 1965. стр. 8–18. дои : 10.1016/B978-0-08-010586-4.50007-9 . ISBN  978-0-08-010586-4 .
  29. ^ Фано, Уго (1995). «Матрицы плотности как векторы поляризации». Рендиконти Линчеи . 6 (2): 123–130. дои : 10.1007/BF03001661 . S2CID   128081459 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 524df90e346c23ca272b487e4aeaf59b__1719677220
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/52/9b/524df90e346c23ca272b487e4aeaf59b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Density matrix - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)