Функция Грина (теория многих тел)

В теории многих тел термин «функция Грина» (или функция Грина ) иногда используется взаимозаменяемо с корреляционной функцией , но относится конкретно к корреляторам операторов поля или операторам рождения и уничтожения .

Название происходит от функций Грина, используемых для решения неоднородных дифференциальных уравнений , с которыми они слабо связаны. (В частности, только двухточечные «функции Грина» в случае невзаимодействующей системы являются функциями Грина в математическом смысле; линейный оператор, который они инвертируют, является гамильтоновым оператором , который в невзаимодействующем случае является квадратичным в поля.)

Пространственно однородный случай

Основные определения

Мы рассматриваем теорию многих тел с оператором поля (оператором уничтожения, записанным в позиционном базисе) $\psi (\mathbf {x} )$.

Операторы Гейзенберга можно записать через операторы Шрёдингера как $$\psi (\mathbf {x} ,t)=e^{iKt}\psi (\mathbf {x} )e^{-iKt},$$и оператор создания ${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dagger }$, где $K=H-\mu N$ — великий канонический гамильтониан.

Аналогично для операторов мнимого времени : $$\psi (\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )e^{-K\tau }$$ $${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )e^{-K\tau }.$$ [Обратите внимание, что оператор создания мнимого времени ${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )$ не является эрмитовым сопряжением оператора уничтожения $\psi (\mathbf {x} ,\tau )$.]

В режиме реального времени $2n$-точечная функция Грина определяется формулой $$G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,$$ где мы использовали сокращенную запись, в которой $j$ означает $(\mathbf {x} _{j},t_{j})$ и $j'$ означает $(\mathbf {x} _{j}',t_{j}')$. Оператор $T$ обозначает упорядочение по времени и указывает, что следующие за ним операторы полей должны быть упорядочены так, чтобы их аргументы времени увеличивались справа налево.

В мнимом времени соответствующее определение имеет вид $${\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,$$ где $j$ означает $\mathbf {x} _{j},\tau _{j}$. (Переменные мнимого времени $\tau _{j}$ ограничены диапазоном от $0$ к обратной температуре ${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$.)

Примечание относительно знаков и нормализации, используемых в этих определениях: Знаки функций Грина выбраны так, чтобы преобразование Фурье двухточечной функции ( $n=1$) тепловая функция Грина для свободной частицы равна $${\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}},$$ а запаздывающая функция Грина равна $$G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},$$ где $$\omega _{n}={\frac {[2n+\theta (-\zeta )]\pi }{\beta }}$$ — частота Мацубары .

Через, $\zeta$ является $+1$ для бозонов и $-1$ для фермионов и $[\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta }$ обозначает либо коммутатор , либо антикоммутатор в зависимости от ситуации.

( см. ниже Подробнее .)

Двухточечные функции

Функция Грина с одной парой аргументов ( $n=1$) называется двухточечной функцией или пропагатором . При наличии как пространственной, так и временной трансляционной симметрии она зависит только от разницы ее аргументов. Преобразование Фурье как по пространству, так и по времени дает $${\mathcal {G}}(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega _{n}(\tau -\tau ')},$$ где сумма рассчитывается по соответствующим частотам Мацубары (а интеграл включает в себя неявный коэффициент $(L/2\pi )^{d}$, по-прежнему).

В режиме реального времени мы будем явно указывать упорядоченную по времени функцию с помощью верхнего индекса T: $$G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int {\frac {d\omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega (t-t')}.$$

Двухточечная функция Грина реального времени может быть записана в терминах «запаздывающих» и «продвинутых» функций Грина, которые, как окажется, обладают более простыми свойствами аналитичности. Замедленные и расширенные функции Грина определяются $$G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t-t')$$ и $$G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),$$ соответственно.

Они связаны с упорядоченной по времени функцией Грина соотношением $$G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),$$ где $$n(\omega )={\frac {1}{e^{\beta \omega }-\zeta }}$$ – функция распределения Бозе-Эйнштейна или Ферми-Дирака .

Упорядочение во мнимом времени и β -периодичность

Термические функции Грина определяются только тогда, когда оба аргумента мнимого времени находятся в пределах диапазона $0$ к $\beta$. Двухточечная функция Грина обладает следующими свойствами. (Аргументы позиции или импульса в этом разделе опущены.)

Во-первых, оно зависит только от разницы мнимых времен: $${\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').$$ Аргумент $\tau -\tau '$ разрешено бежать из $-\beta$ к $\beta$.

Во-вторых, ${\mathcal {G}}(\tau )$ является (анти)периодическим при сдвигах $\beta$. Из-за небольшой области определения функции это означает всего лишь $${\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau ),$$ для $0<\tau <\beta$. Для этого свойства решающее значение имеет упорядочение по времени, что можно доказать непосредственно, используя цикличность операции трассировки.

Эти два свойства допускают представление преобразования Фурье и его обратное, $${\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta }d\tau \,{\mathcal {G}}(\tau )\,e^{i\omega _{n}\tau }.$$

Наконец, обратите внимание, что ${\mathcal {G}}(\tau )$ имеет разрыв в $\tau =0$; это согласуется с поведением на большом расстоянии ${\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|$.

Спектральное представление

Пропагаторы в реальном и мнимом времени могут быть связаны со спектральной плотностью (или спектральным весом), определяемой выражением $$\rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right),$$ где | α ⟩ относится к (многочастичному) собственному состоянию гранд-канонического гамильтониана H − µN с собственным значением E _α .

мнимого времени Пропагатор тогда определяется выражением $${\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}~,$$ запаздывающий пропагатор и $$G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}},$$ где предел как $\eta \to 0^{+}$ подразумевается.

Расширенный пропагатор задается тем же выражением, но с $-i\eta$ в знаменателе.

Упорядоченную по времени функцию можно найти в терминах $G^{\mathrm {R} }$ и $G^{\mathrm {A} }$. Как утверждалось выше, $G^{\mathrm {R} }(\omega )$ и $G^{\mathrm {A} }(\omega )$ обладают простыми свойствами аналитичности: первая (вторая) имеет все полюса и разрывы в нижней (верхней) полуплоскости.

Тепловой распространитель ${\mathcal {G}}(\omega _{n})$ имеет все свои полюса и разрывы на воображаемом $\omega _{n}$ ось.

Спектральную плотность можно найти очень просто из $G^{\mathrm {R} }$, используя теорему Сохацкого–Вейерштрасса $$\lim _{\eta \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),$$ где P обозначает главную часть Коши . Это дает $$\rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).$$

Это, кроме того, подразумевает, что $G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )$ подчиняется следующему соотношению между его действительной и мнимой частями: $$\operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},$$ где $P$ обозначает главное значение интеграла.

Спектральная плотность подчиняется правилу сумм: $$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,$$ что дает $$G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |}}$$ как $|\omega |\to \infty$.

Преобразование Гильберта

Сходство спектральных представлений функций Грина мнимого и реального времени позволяет определить функцию $$G(\mathbf {k} ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},$$ что связано с ${\mathcal {G}}$ и $G^{\mathrm {R} }$ к $${\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=G(\mathbf {k} ,i\omega _{n})$$ и $$G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +i\eta ).$$ Аналогичное выражение, очевидно, справедливо и для $G^{\mathrm {A} }$.

Отношения между $G(\mathbf {k} ,z)$ и $\rho (\mathbf {k} ,x)$ называется преобразованием Гильберта .

Доказательство спектрального представления

Демонстрируем доказательство спектрального представления пропагатора в случае тепловой функции Грина, определяемой как $${\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .$$

Ввиду трансляционной симметрии необходимо учитывать только ${\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)$ для $\tau >0$, заданный $${\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .$$ Вставка полного набора собственных состояний дает $${\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .$$

С $|\alpha \rangle$ и $|\alpha '\rangle$ являются собственными состояниями $H-\mu N$, операторы Гейзенберга можно переписать в терминах операторов Шредингера, что дает $${\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}e^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .$$ Тогда выполнение преобразования Фурье дает $${\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}{\frac {1-\zeta e^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}}{-i\omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '}}}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .$$

Сохранение импульса позволяет записать последний член как (с точностью до возможных множителей объема) $$|\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},$$ что подтверждает выражения для функций Грина в спектральном представлении.

Правило сумм можно доказать, рассмотрев математическое ожидание коммутатора: $$1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid e^{-\beta (H-\mu N)}[\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,$$ а затем вставляем полный набор собственных состояний в оба члена коммутатора: $$1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha }}\left(\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).$$

Замена меток в первом члене дает $$1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}~,$$ что и есть результат интегрирования ρ .

Невзаимодействующий случай

В невзаимодействующем случае $\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle$ является собственным состоянием с (большой канонической) энергией $E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} }$, где $\xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu$ – закон одночастичной дисперсии, измеренный относительно химического потенциала. Таким образом, спектральная плотность становится $$\rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta e^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})e^{-\beta E_{\alpha '}}.$$

Из коммутационных соотношений $$\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,$$ снова с возможными факторами объема. Сумма, которая включает в себя термическое среднее числового оператора, дает просто $[1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z}}$, уход $$\rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega ).$$

Таким образом, пропагатор мнимого времени $${\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}}$$ а запаздывающий пропагатор $$G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}}.$$

Предел нулевой температуры

При β → ∞ спектральная плотность становится $$\rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )\left|\left\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\right\rangle \right|^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )\left|\left\langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \right\rangle \right|^{2}\right]$$ где α = 0 соответствует основному состоянию. Обратите внимание, что только первый (второй) член дает вклад, когда ω положительное (отрицательное).

Общий случай

Основные определения

Мы можем использовать «операторы поля», как указано выше, или операторы рождения и уничтожения, связанные с другими одночастичными состояниями, возможно, собственными состояниями (невзаимодействующей) кинетической энергии. Затем мы используем $$\psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),$$ где $\psi _{\alpha }$ — оператор уничтожения одночастичного состояния $\alpha$ и $\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )$ — это волновая функция этого состояния в базисе позиций. Это дает $${\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1}}(\tau _{1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}')\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle$$ с аналогичным выражением для $G^{(n)}$.

Двухточечные функции

Они зависят только от разницы их временных аргументов, так что $${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,e^{-i\omega _{n}(\tau -\tau ')}$$ и $$G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\,G_{\alpha \beta }(\omega )\,e^{-i\omega (t-t')}.$$

Мы снова можем определить замедленные и продвинутые функции очевидным образом; они связаны с упорядоченной по времени функцией так же, как указано выше.

Те же свойства периодичности, которые описаны выше, применимы и к ${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }$. Конкретно, $${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')$$ и $${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),$$ для $\tau <0$.

Спектральное представление

В этом случае, $$\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}-E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \left(e^{-\beta E_{m}}-\zeta e^{-\beta E_{n}}\right),$$ где $m$ и $n$ являются состояниями многих тел.

Выражения для функций Грина модифицируются очевидным образом: $${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}$$ и $$G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}}.$$

Их аналитические свойства идентичны свойствам ${\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})$ и $G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )$ определено в трансляционно-инвариантном случае. Доказательство повторяет те же шаги, за исключением того, что два матричных элемента больше не являются комплексно-сопряженными.

Невзаимодействующий случай

Если выбранные конкретные одночастичные состояния являются «собственными состояниями одночастичной энергии», т.е. $$[H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dagger }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dagger },$$ тогда для $|n\rangle$ собственное состояние: $$(H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,$$ так и есть $\psi _{\alpha }\mid n\rangle$: $$(H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,$$ и так есть $\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle$: $$(H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle .$$

Поэтому мы имеем $$\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .$$

Затем мы переписываем $$\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle e^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),$$ поэтому $$\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }e^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),$$ использовать $$\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dagger }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle$$ и тот факт, что термическое среднее числового оператора дает функцию распределения Бозе-Эйнштейна или Ферми-Дирака.

Наконец, спектральная плотность упрощается и дает $$\rho _{\alpha \beta }=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta },$$ так что тепловая функция Грина равна $${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-i\omega _{n}+\xi _{\beta }}}$$ а запаздывающая функция Грина равна $$G_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\beta }}}.$$ Обратите внимание, что невзаимодействующая функция Грина является диагональной, но во взаимодействующем случае это будет неверно.

См. также

• Теорема о флуктуациях
• Отношения Грина-Кубо
• Функция линейного отклика
• Уравнение Линдблада
• Распространитель
• Корреляционная функция (квантовая теория поля)
• Численное аналитическое продолжение

Ссылки

Книги

• Бонч-Бруевич В.Л., Тябликов С.В. (1962): Метод функции Грина в статистической механике. Издательская компания Северной Голландии.
• Абрикосов А.А., Горьков Л.П. и Дзялошинский И.Е. (1963): Методы квантовой теории поля в статистической физике Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл.
• Негеле Дж. В. и Орланд Х. (1988): Квантовые многочастичные системы Аддисон-Уэсли.
• Зубарев Д.Н. , Морозов В., Ропке Г. (1996): Статистическая механика неравновесных процессов: Основные понятия, Кинетическая теория (Том 1). Джон Уайли и сыновья. ISBN   3-05-501708-0 .
• Мэттук Ричард Д. (1992), Руководство по диаграммам Фейнмана в задаче многих тел , Dover Publications, ISBN   0-486-67047-3 .

Статьи

• Боголюбов Н.Н. , Тябликов С.В. Запаздывающие и опережающие функции Грина в статистической физике, Доклады физ. 4 , с. 589 (1959).
• Зубарев Д. Н. , Двойные функции Грина в статистической физике , Успехи физики 3 (3), 320–345 (1960).

Внешние ссылки

• Функции линейного отклика в Еве Паварини, Эрике Кохе, Дитере Фоллхардте и Александре Лихтенштейне (ред.): DMFT в 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN   978-3-89336-953-9