Численное аналитическое продолжение

В физике многих тел проблема аналитического продолжения заключается в численном извлечении спектральной плотности функции Грина по ее значениям на мнимой оси. Это необходимый этап постобработки для расчета динамических свойств физических систем на основе квантового моделирования Монте-Карло , которое часто вычисляет значения функции Грина только в мнимые времена или частоты Мацубары .

Математически задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода с плохо обусловленным ядром. В результате это некорректная обратная задача без единственного решения, в которой небольшой шум на входе приводит к большим ошибкам в нерегуляризованном решении . Существуют различные методы решения этой задачи, включая метод максимальной энтропии. метод среднего спектра и методы аппроксимации Паде.

Примеры

Распространенной проблемой аналитического продолжения является получение спектральной функции ${\textstyle A(\omega )}$ на реальных частотах ${\textstyle \omega }$ из значений функции Грина ${\textstyle {\mathcal {G}}(i\omega _{n})}$ на частотах Мацубары ${\textstyle \omega _{n}}$ путем численного обращения интегрального уравнения

${\mathcal {G}}(i\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}{\frac {1}{i\omega _{n}-\omega }}\;A(\omega )$

где ${\textstyle \omega _{n}=(2n+1)\pi /\beta }$ для фермионных систем или ${\textstyle \omega _{n}=2n\pi /\beta }$ для бозонных и ${\textstyle \beta =1/T}$ – обратная температура. Это соотношение является примером соотношения Крамерса-Кронига .

Спектральная функция также может быть связана с мнимого времени . функцией Грина ${\textstyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ применить обратное преобразование Фурье к приведенному выше уравнению

${\mathcal {G}}(\tau )\ \colon ={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}e^{-i\omega _{n}\tau }{\mathcal {g}}(i\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}A(\omega ){\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\frac {e^{-i\omega _{n}\tau }}{i\omega _{n}-\omega }}$

с ${\textstyle \tau \in [0,\beta ]}$. Оценка суммирования по частотам Мацубары дает желаемое соотношение

${\mathcal {G}}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}{\frac {-e^{-\tau \omega }}{1\pm e^{-\beta \omega }}}A(\omega )$

где верхний знак соответствует фермионным системам, а нижний — бозонным.

Другой пример аналитического продолжения — расчет оптической проводимости. $\sigma (\omega )$ из значений ток-токовой корреляционной функции $\Pi (i\omega _{n})$ на частотах Мацубары. Эти два связаны следующим образом

$\Pi (i\omega _{n})=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\omega }{\pi }}{\frac {2\omega ^{2}}{\omega _{n}^{2}+\omega ^{2}}}\;A(\omega )$

Программное обеспечение

• The Maxent Project : утилита с открытым исходным кодом для выполнения аналитического продолжения с использованием метода максимальной энтропии.
• Spektra : бесплатный онлайн-инструмент для продолжения анализа с использованием метода среднего спектра.
• SpM : инструмент разреженного моделирования для аналитического продолжения функции Грина в мнимом времени.

См. также

• Аналитическое продолжение
• Аналитическое продолжение вдоль кривой
• Интегральное уравнение Фредгольма
• функция Грина
• Отношения Крамерса – Кронига
• Квантовый Монте-Карло