Частота Мацубары

В тепловой квантовой теории поля ( суммирование частот Мацубары названное в честь Такео Мацубары ) — это метод, используемый для упрощения вычислений с использованием евклидовых (мнимых) интегралов по траекториям .

В тепловой квантовой теории поля бозонные и фермионные квантовые поля $\phi (\tau )$ соответственно периодические или антипериодические в мнимом времени $\tau$, с периодичностью $\beta =\hbar /k_{\rm {B}}T$. Суммирование Мацубары относится к методу разложения этих полей в ряды Фурье.

$\phi (\tau )={\frac {1}{\sqrt {\beta }}}\sum _{n}e^{-i\omega _{n}\tau }\phi (i\omega _{n})\Leftrightarrow \phi (i\omega _{n})={\frac {1}{\sqrt {\beta }}}\int _{0}^{\beta }d\tau \ e^{i\omega _{n}\tau }\phi (\tau ).$

Частоты $\omega _{n}$ называются частотами Мацубары и принимают значения из любого из следующих наборов (с $n\in \mathbb {Z}$):

бозонные частоты: $\omega _{n}={\frac {2n\pi }{\beta }},$

фермионные частоты: $\omega _{n}={\frac {(2n+1)\pi }{\beta }},$

которые соответственно обеспечивают периодические и антипериодические граничные условия на поле $\phi (\tau )$.

После таких замен некоторые диаграммы, способствующие действию, принимают форму так называемого суммирования Мастубары.

$S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}g(i\omega _{n}).$

Суммирование сходится, если $g(z=i\omega )$ стремится к 0 в $z\to \infty$ ограничивать быстрее, чем $z^{-1}$. Суммирование по бозонным частотам обозначается как $S_{\rm {B}}$ (с $\eta =+1$), а по фермионным частотам обозначается как $S_{\rm {F}}$ (с $\eta =-1$). $\eta$ является статистическим признаком.

Помимо тепловой квантовой теории поля, метод суммирования частот Мацубары также играет существенную роль в диаграммном подходе к физике твердого тела, а именно, если рассматривать диаграммы при конечной температуре.

Вообще говоря, если в $T=0\,{\text{K}}$, некоторая диаграмма Фейнмана представляется интегралом $\int _{T=0}\mathrm {d} \omega \ g(\omega )$, при конечной температуре определяется суммой $S_{\eta }$.

Формализм суммирования

Общий формализм

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Хитрость в оценке суммирования частот Мацубары заключается в использовании весовой функции Мацубары h _η ( z ), которая имеет простые полюса, расположенные точно в точках $z=i\omega _{n}$. Весовые функции в бозонном случае η = +1 и фермионном случае η = −1 различаются. Выбор весовой функции будет обсуждаться позже. С помощью весовой функции суммирование можно заменить контурным интегралом, окружающим мнимую ось.

$S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega )={\frac {1}{2\pi i\beta }}\oint g(z)h_{\eta }(z)\,dz,$

Как и на рис. 1, весовая функция генерирует полюса (красные крестики) на мнимой оси. Контурный интеграл подбирает остаток этих полюсов, что эквивалентно суммированию. Эту процедуру иногда называют преобразованием Зоммерфельда-Ватсона.

Путем деформации контурных линий так, чтобы они охватывали полюса g ( z ) (зеленый крест на рис. 2), суммирование может быть формально выполнено путем суммирования вычета g ( z ) h _η ( z ) по всем полюсам g ( з ),

$S_{\eta }=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{z_{0}\in g(z){\text{ poles}}}\operatorname {Res} g(z_{0})h_{\eta }(z_{0}).$

Обратите внимание, что появляется знак минус, поскольку контур деформируется, охватывая полюса по часовой стрелке, что приводит к отрицательному вычету.

Выбор весовой функции Мацубары

Для создания простых полюсов на бозонных частотах $z=i\omega _{n}$, можно выбрать любой из следующих двух типов весовых функций Мацубары

$h_{\rm {B}}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1-e^{-\beta z}}}=-\beta n_{\rm {B}}(-z)=\beta (1+n_{\rm {B}}(z)),$

$h_{\rm {B}}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1-e^{\beta z}}}=\beta n_{\rm {B}}(z),$

в зависимости от того, в какой полуплоскости необходимо контролировать схождение. $h_{\rm {B}}^{(1)}(z)$ контролирует сходимость в левой полуплоскости (Re z < 0), а $h_{\rm {B}}^{(2)}(z)$ контролирует сходимость в правой полуплоскости (Re z > 0). Здесь $n_{\rm {B}}(z)=(e^{\beta z}-1)^{-1}$ – функция распределения Бозе–Эйнштейна .

Аналогично дело обстоит и с фермионными частотами. Существует также два типа весовых функций Мацубары, которые создают простые полюса при $z=i\omega _{m}$

$h_{\rm {F}}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1+e^{-\beta z}}}=\beta n_{\rm {F}}(-z)=\beta (1-n_{\rm {F}}(z)),$

$h_{\rm {F}}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1+e^{\beta z}}}=-\beta n_{\rm {F}}(z).$

$h_{\rm {F}}^{(1)}(z)$ контролирует сходимость в левой полуплоскости (Re z < 0), а $h_{\rm {F}}^{(2)}(z)$ контролирует сходимость в правой полуплоскости (Re z > 0). Здесь $n_{\rm {F}}(z)=(e^{\beta z}+1)^{-1}$ – функция распределения Ферми–Дирака .

В приложении к вычислению функции Грина g ( z ) всегда имеет структуру

$g(z)=G(z)e^{-z\tau },$

которая расходится в левой полуплоскости при 0 < τ < β . Чтобы контролировать сходимость, всегда выбирается весовая функция первого типа. $h_{\eta }(z)=h_{\eta }^{(1)}(z)$. Однако нет необходимости контролировать сходимость, если суммирование Мацубары не расходится. В этом случае любой выбор весовой функции Мацубары приведет к идентичным результатам.

Таблица суммирования частот Мацубары

В следующей таблице содержатся $S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega )$для некоторых простых рациональных функций g ( z ). Символ η = ±1 представляет собой статистический знак, +1 для бозонов и -1 для фермионов.

$g(i\omega )$	$S_{\eta }$
$(i\omega -\xi )^{-1}$	$-\eta n_{\eta }(\xi )$[1]
$(i\omega -\xi )^{-2}$	$-\eta n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\beta n_{\eta }(\xi )(\eta +n_{\eta }(\xi ))$
$(i\omega -\xi )^{-n}$	$-{\frac {\eta }{(n-1)!}}\partial _{\xi }^{n-1}n_{\eta }(\xi )$
${\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})(i\omega -\xi _{2})}}$	$-{\frac {\eta (n_{\eta }(\xi _{1})-n_{\eta }(\xi _{2}))}{\xi _{1}-\xi _{2}}}$
${\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})^{2}(i\omega -\xi _{2})^{2}}}$	${\frac {\eta }{(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}}}\left({\frac {2(n_{\eta }(\xi _{1})-n_{\eta }(\xi _{2}))}{\xi _{1}-\xi _{2}}}-(n_{\eta }^{\prime }(\xi _{1})+n_{\eta }^{\prime }(\xi _{2}))\right)$
${\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})^{2}-\xi _{2}^{2}}}$	$\eta c_{\eta }(\xi _{1},\xi _{2})\equiv -\eta {\frac {n_{\eta }(\xi _{1}+\xi _{2})-n_{\eta }(\xi _{1}-\xi _{2})}{2\xi _{2}}}$
${\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi ^{2}}}$	$\eta c_{\eta }(0,\xi )=-{\frac {1}{2\xi }}(1+2\eta n_{\eta }(\xi ))$
${\frac {(i\omega )^{2}}{(i\omega )^{2}-\xi ^{2}}}$	$-{\frac {\xi }{2}}(1+2\eta n_{\eta }(\xi ))$[1]
${\frac {1}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2})^{2}}}$	$-{\frac {\eta }{2\xi ^{2}}}(c_{\eta }(0,\xi )+n_{\eta }^{\prime }(\xi ))$
${\frac {(i\omega )^{2}}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2})^{2}}}$	${\frac {\eta }{2}}(c_{\eta }(0,\xi )-n_{\eta }^{\prime }(\xi ))$
${\frac {(i\omega )^{2}+\xi ^{2}}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2})^{2}}}$	$-\eta n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\beta n_{\eta }(\xi )(\eta +n_{\eta }(\xi ))$
${\frac {1}{((i\omega )^{2}-\xi _{1}^{2})((i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2})}}$	${\frac {\eta (c_{\eta }(0,\xi _{1})-c_{\eta }(0,\xi _{2}))}{\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2}}}$
$\left({\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{1}^{2}}}+{\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2}}}\right)^{2}$	$\eta \left({\frac {3\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}}{2\xi _{1}^{2}(\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2})}}c_{\eta }(0,\xi _{1})-{\frac {n_{\eta }^{\prime }(\xi _{1})}{2\xi _{1}^{2}}}\right)+(1\leftrightarrow 2)$[2]
$\left({\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{1}^{2}}}-{\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2}}}\right)^{2}$	$\eta \left(-{\frac {5\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2}}{2\xi _{1}^{2}(\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2})}}c_{\eta }(0,\xi _{1})-{\frac {n_{\eta }^{\prime }(\xi _{1})}{2\xi _{1}^{2}}}\right)+(1\leftrightarrow 2)$[2]

[1] Поскольку суммирование не сходится, результат может отличаться в зависимости от выбора весовой функции Мацубары.

[2] (1 ↔ 2) обозначает то же выражение, что и предыдущее, но с поменянными местами индексами 1 и 2.

Приложения в физике

Предел нулевой температуры

В этом пределе $\beta \rightarrow \infty$, суммирование частот Мацубары эквивалентно интегрированию мнимой частоты по мнимой оси.

${\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi i}}.$

Некоторые интегралы не сходятся. Их следует регуляризовать введением частотного среза $\Omega$, а затем вычитая расходящиеся части ( $\Omega$-зависимая) от интеграла до перехода к пределу $\Omega \rightarrow \infty$. Например, свободная энергия получается с помощью интеграла от логарифма:

$\eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\left[\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi i}}\left(\ln(-i\omega +\xi )-{\frac {\pi \xi }{2\Omega }}\right)-{\frac {\Omega }{\pi }}(\ln \Omega -1)\right]=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta \xi &\xi <0,\end{array}}\right.$

это означает, что при нулевой температуре свободная энергия просто связана с внутренней энергией ниже химического потенциала. Также функция распределения получается с помощью следующего интеграла

$\eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi i}}\left({\frac {1}{-i\omega +\xi }}-{\frac {\pi }{2\Omega }}\right)=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta &\xi <0,\end{array}}\right.$

который показывает поведение ступенчатой ​​функции при нулевой температуре.

Функция Грина, связанная

Временной интервал

Рассмотрим функцию G ( τ ), определенную на мнимом интервале времени (0, β ). Его можно выразить в виде ряда Фурье:

$G(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{-i\omega \tau },$

где частота принимает только дискретные значения, отстоящие на расстояние 2 π / β .

Конкретный выбор частоты зависит от граничного условия функции G ( τ ). В физике G ( τ ) обозначает представление функции Грина в мнимом времени.

$G(\tau )=-\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau )\psi ^{*}(0)\rangle .$

Он удовлетворяет периодическому граничному условию G ( τ + β ) = G ( τ ) для бозонного поля. В то время как для фермионного поля граничное условие является антипериодическим G ( τ + β ) = − G ( τ ).

Учитывая функцию Грина G ( iω ) в частотной области, ее мнимое временное представление G ( τ ) может быть оценено суммированием частот Мацубары. В зависимости от частот бозонов или фермионов, которые необходимо суммировать, результирующая G ( τ ) может быть разной. Чтобы отличить, определить

$G_{\eta }(\tau )={\begin{cases}G_{\rm {B}}(\tau ),&{\text{if }}\eta =+1,\\G_{\rm {F}}(\tau ),&{\text{if }}\eta =-1,\end{cases}}$

с

$G_{\rm {B}}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}G(i\omega _{n})e^{-i\omega _{n}\tau },$

$G_{\rm {F}}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}G(i\omega _{m})e^{-i\omega _{m}\tau }.$

Обратите внимание, что τ ограничено в главном интервале (0, β ). Граничное условие можно использовать для расширения G ( τ ) за пределы главного интервала. Некоторые часто используемые результаты приведены в следующей таблице.

$G(i\omega )$	$G_{\eta }(\tau )$
$(i\omega -\xi )^{-1}$	$-e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi )$
$(i\omega -\xi )^{-2}$	$e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi )\left(\tau +\eta \beta n_{\eta }(\xi )\right)$
$(i\omega -\xi )^{-3}$	$-{\frac {1}{2}}e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi )\left(\tau ^{2}+\eta \beta (\beta +2\tau )n_{\eta }(\xi )+2\beta ^{2}n_{\eta }^{2}(\xi )\right)$
$(i\omega -\xi _{1})^{-1}(i\omega -\xi _{2})^{-1}$	$-{\frac {e^{\xi _{1}(\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi _{1})-e^{\xi _{2}(\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi _{2})}{\xi _{1}-\xi _{2}}}$
$(\omega ^{2}+m^{2})^{-1}$	${\frac {e^{-m\tau }}{2m}}+{\frac {\eta }{m}}\cosh {m\tau }\;n_{\eta }(m)$
$i\omega (\omega ^{2}+m^{2})^{-1}$	${\frac {e^{-m\tau }}{2}}-\eta \,\sinh {m\tau }\;n_{\eta }(m)$

Эффект переключения операторов

Маленькое мнимое время играет здесь решающую роль. Порядок операторов изменится, если малое мнимое время поменяет знак.

$\langle \psi \psi ^{*}\rangle =\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{+})\psi ^{*}(0)\rangle =-G_{\eta }(\tau =0^{+})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{-i\omega 0^{+}}$

$\langle \psi ^{*}\psi \rangle =\eta \langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{-})\psi ^{*}(0)\rangle =-\eta G_{\eta }(\tau =0^{-})=-{\frac {\eta }{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{i\omega 0^{+}}$

Функция распределения

Оценка функции распределения становится сложной из-за разрыва функции Грина G ( τ ) при τ = 0. Чтобы оценить суммирование

$G(0)=\sum _{i\omega }(i\omega -\xi )^{-1},$

оба варианта весовой функции приемлемы, но результаты разные. Это можно понять, если отодвинуть G ( τ ) от τ = 0, тогда для управления сходимостью мы должны взять немного $h_{\eta }^{(1)}(z)$ как весовая функция для $G(\tau =0^{+})$, и $h_{\eta }^{(2)}(z)$ для $G(\tau =0^{-})$.

Бозоны

$G_{\rm {B}}(\tau =0^{-})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-n_{\rm {B}}(\xi ),$

$G_{\rm {B}}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{-i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-(n_{\rm {B}}(\xi )+1).$

Фермионы

$G_{\rm {F}}(\tau =0^{-})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=n_{\rm {F}}(\xi ),$

$G_{\rm {F}}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{-i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=-(1-n_{\rm {F}}(\xi )).$

Бесплатная энергия

Бозоны

${\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}\ln(\beta (-i\omega _{n}+\xi ))={\frac {1}{\beta }}\ln(1-e^{-\beta \xi }),$

Фермионы

$-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}\ln(\beta (-i\omega _{m}+\xi ))=-{\frac {1}{\beta }}\ln(1+e^{-\beta \xi }).$

Диаграммы оценок

Часто встречающиеся диаграммы оцениваются здесь с настройкой одиночного режима. К задачам с несколькими модами можно подойти с помощью интеграла спектральной функции.Здесь $\omega _{m}$ представляет собой фермионную частоту Мацубары, а $\omega _{n}$ — бозонная частота Мацубары.

Собственная энергия фермионов

$\Sigma (i\omega _{m})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{n}-\Omega }}={\frac {n_{\rm {F}}(\varepsilon )+n_{\rm {B}}(\Omega )}{i\omega _{m}-\varepsilon +\Omega }}.$

Пузырь с частицами и дырками

$\Pi (i\omega _{n})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{m}-\varepsilon '}}=-{\frac {n_{\rm {F}}(\varepsilon )-n_{\rm {F}}\left(\varepsilon '\right)}{i\omega _{n}-\varepsilon +\varepsilon '}}.$

Частичный пузырь

$\Pi (i\omega _{n})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{-i\omega _{m}-\varepsilon '}}={\frac {1-n_{\rm {F}}\left(\varepsilon '\right)-n_{\rm {F}}(\varepsilon )}{i\omega _{n}-\varepsilon -\varepsilon '}}.$

Приложение: Свойства функций распределения

Функции распределения

Общие обозначения $n_{\eta }$ обозначает бозевскую ( η = +1) или фермиевскую ( η = −1) функцию распределения.

$n_{\eta }(\xi )={\frac {1}{e^{\beta \xi }-\eta }}.$

специальные обозначения n _B и n _F При необходимости для обозначения бозевских и фермиевских функций распределения используются соответственно.

$n_{\eta }(\xi )={\begin{cases}n_{\rm {B}}(\xi ),&{\text{if }}\eta =+1,\\n_{\rm {F}}(\xi ),&{\text{if }}\eta =-1.\end{cases}}$

Связь с гиперболическими функциями

Функция распределения Бозе связана с гиперболической функцией котангенса соотношением

$n_{\rm {B}}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {\beta \xi }{2}}-1\right).$

Функция распределения Ферми связана с функцией гиперболического тангенса соотношением

$n_{\rm {F}}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(1-\operatorname {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}\right).$

Паритет

Обе функции распределения не имеют определенной четности,

$n_{\eta }(-\xi )=-\eta -n_{\eta }(\xi ).$

Другая формула заключается в $c_{\eta }$ функция

$n_{\eta }(-\xi )=n_{\eta }(\xi )+2\xi c_{\eta }(0,\xi ).$

Однако их производные имеют определенный паритет.

Трансмутация Бозе – Ферми

Бозе- и фермиевские функции распределения трансмутируют при сдвиге переменной на фермионную частоту:

$n_{\eta }(i\omega _{m}+\xi )=-n_{-\eta }(\xi ).$

Однако сдвиг на бозонные частоты не имеет никакого значения.

Производные

Первый заказ

$n_{\rm {B}}^{\prime }(\xi )=-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}},$

$n_{\rm {F}}^{\prime }(\xi )=-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}.$

С точки зрения продукта:

$n_{\eta }^{\prime }(\xi )=-\beta n_{\eta }(\xi )(1+\eta n_{\eta }(\xi )).$

В пределе нулевой температуры:

$n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\eta \delta (\xi ){\text{ as }}\beta \rightarrow \infty .$

Второй заказ

$n_{\rm {B}}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatorname {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatorname {coth} {\frac {\beta \xi }{2}},$

$n_{\rm {F}}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatorname {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}.$

Формула разницы

$n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(a-b)=-{\frac {\mathrm {sinh} \beta b}{\mathrm {cosh} \beta a-\eta \,\mathrm {cosh} \beta b}}.$

Случай а = 0

$n_{\rm {B}}(b)-n_{\rm {B}}(-b)=\mathrm {coth} {\frac {\beta b}{2}},$

$n_{\rm {F}}(b)-n_{\rm {F}}(-b)=-\mathrm {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.$

Случай а → 0

$n_{\rm {B}}(a+b)-n_{\rm {B}}(a-b)=\operatorname {coth} {\frac {\beta b}{2}}+n_{\rm {B}}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots ,$

$n_{\rm {F}}(a+b)-n_{\rm {F}}(a-b)=-\operatorname {tanh} {\frac {\beta b}{2}}+n_{\rm {F}}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots .$

Случай б → 0

$n_{\rm {B}}(a+b)-n_{\rm {B}}(a-b)=2n_{\rm {B}}^{\prime }(a)b+\cdots ,$

$n_{\rm {F}}(a+b)-n_{\rm {F}}(a-b)=2n_{\rm {F}}^{\prime }(a)b+\cdots .$

Функция c _η

Определение:

$c_{\eta }(a,b)\equiv -{\frac {n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(a-b)}{2b}}.$

Для типа Бозе и Ферми:

$c_{\rm {B}}(a,b)\equiv c_{+}(a,b),$

$c_{\rm {F}}(a,b)\equiv c_{-}(a,b).$

Связь с гиперболическими функциями

$c_{\eta }(a,b)={\frac {\sinh \beta b}{2b(\cosh \beta a-\eta \cosh \beta b)}}.$

Очевидно, что $c_{\rm {F}}(a,b)$ является положительно определенным.

Чтобы избежать переполнения при численном расчете, используются функции tanh и coth.

$c_{\rm {B}}(a,b)={\frac {1}{4b}}\left(\operatorname {coth} {\frac {\beta (a-b)}{2}}-\operatorname {coth} {\frac {\beta (a+b)}{2}}\right),$

$c_{\rm {F}}(a,b)={\frac {1}{4b}}\left(\operatorname {tanh} {\frac {\beta (a+b)}{2}}-\operatorname {tanh} {\frac {\beta (a-b)}{2}}\right).$

Случай а = 0

$c_{\rm {B}}(0,b)=-{\frac {1}{2b}}\operatorname {coth} {\frac {\beta b}{2}},$

$c_{\rm {F}}(0,b)={\frac {1}{2b}}\operatorname {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.$

Случай б = 0

$c_{\rm {B}}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatorname {csch} ^{2}{\frac {\beta a}{2}},$

$c_{\rm {F}}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {\beta a}{2}}.$

Нижний предел температуры

Для а = 0: $c_{\rm {F}}(0,b)={\frac {1}{2|b|}}.$

Для б = 0: $c_{\rm {F}}(a,0)=\delta (a).$

В общем,

$c_{\rm {F}}(a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{2|b|}},&{\text{if }}|a|<|b|\\0,&{\text{if }}|a|>|b|\end{cases}}$

См. также

• Воображаемое время
• Тепловая квантовая теория поля

Внешние ссылки

Агустин Ньето: Оценка сумм по частотам Мацубары . arXiv:hep-ph/9311210

Репозиторий Github: MatsubaraSum Пакет Mathematica для суммирования частот Мацубары.

А. Тахеридехкорди, С. Курно, Дж. П. Ф. Леблан: Алгоритмическое интегрирование Мацубары для моделей, подобных Хаббарду. . arXiv:cond-mat/1808.05188