Квантовая томография

Квантовая томография или томография квантовых состояний — это процесс, с помощью которого квантовое состояние восстанавливается с использованием измерений ансамбля идентичных квантовых состояний. Источником этих состояний может быть любое устройство или система, которая преобразует квантовые состояния либо последовательно в квантово- чистые состояния , либо иным образом в общие смешанные состояния . Чтобы иметь возможность однозначно идентифицировать состояние, измерения должны быть томографически полными . То есть измеряемые операторы должны формировать операторный базис в гильбертовом пространстве системы, предоставляя всю информацию о состоянии. Такой набор наблюдений иногда называют кворумом . Термин «томография» впервые был использован в литературе по квантовой физике в статье 1993 года, посвященной экспериментальной оптической гомодинной томографии.

Рисунок 1: Один гармонический осциллятор, представленный в фазовом пространстве своим импульсом и положением.

Рисунок 2: Множество идентичных осцилляторов, представленных в фазовом пространстве своим импульсом и положением.

в томографии квантовых процессов С другой стороны, известные квантовые состояния используются для исследования квантового процесса и выяснения того, как этот процесс можно описать. Точно так же квантовая томография позволяет выяснить, какое измерение выполняется. Принимая во внимание, что рандомизированный бенчмаркинг масштабируемо получает показатель качества перекрытия между подверженным ошибкам физическим квантовым процессом и его идеальным аналогом.

Общий принцип томографии квантовых состояний заключается в том, что путем многократного выполнения множества различных измерений в квантовых системах, описываемых идентичными матрицами плотности, можно использовать подсчет частот для вывода вероятностей , и эти вероятности объединяются с правилом Борна для определения матрицы плотности , которая лучше всего подходит. с наблюдениями.

Это легко понять, проведя классическую аналогию. Рассмотрим гармонический осциллятор (например, маятник). Положение фазовым и импульс осциллятора в любой заданной точке можно измерить, и, следовательно, движение можно полностью описать пространством . Это показано на рисунке 1. Выполняя это измерение для большого количества одинаковых осцилляторов, мы получаем распределение вероятностей в фазовом пространстве (рисунок 2). Это распределение можно нормализовать (осциллятор в данный момент должен где-то находиться), и распределение должно быть неотрицательным. Итак, мы получили функцию $W(x,p)$ которое дает описание шанса найти частицу в данной точке с заданным импульсом.

То же самое можно сделать и для квантовомеханических частиц. Гейзенберга Единственное отличие состоит в том, что нельзя нарушать принцип неопределенности , а это означает, что мы не можем одновременно измерить импульс и положение частицы. Импульс частицы и ее положение называются квадратурами (дополнительную информацию см. в разделе «Оптическое фазовое пространство ») в квантовых состояниях. Измерение одной из квадратур большого количества идентичных квантовых состояний даст нам плотность вероятности, соответствующую этой конкретной квадратуре. Это называется маргинальным распределением , $\mathrm {pr} (X)$ или $\mathrm {pr} (P)$ (см. рисунок 3). В следующем тексте мы увидим, что эта плотность вероятности необходима для характеристики квантового состояния частицы, в чем и состоит весь смысл квантовой томографии.

Рисунок 3: Предельное распределение

Для чего используется квантовая томография

Квантовая томография применяется к источнику систем для определения квантового состояния выхода этого источника. В отличие от измерения отдельной системы, которое определяет текущее состояние системы после измерения (как правило, сам процесс измерения изменяет квантовое состояние), квантовая томография позволяет определить состояние(я) до начала измерений.

Квантовая томография может использоваться для характеристики оптических сигналов, включая измерение усиления сигнала и потерь оптических устройств. а также в квантовых вычислениях и квантовой теории информации для надежного определения реальных состояний кубитов . Можно представить ситуацию, в которой человек Боб готовит множество одинаковых объектов (частиц или полей) в одинаковых квантовых состояниях , а затем передает их Алисе для измерения. Не уверенная в описании состояния Бобом, Алиса может захотеть провести квантовую томографию, чтобы самой классифицировать состояние.

Методы томографии квантовых состояний

Линейная инверсия

Используя правило Борна , можно получить простейшую форму квантовой томографии. Обычно заранее неизвестно, находится ли он в чистом состоянии, и состояние может быть смешанным. В этом случае придется провести много разных видов измерений, каждое по много раз. Чтобы полностью восстановить матрицу плотности смешанного состояния в конечномерном гильбертовом пространстве , можно использовать следующий метод.

Правило Борна гласит: $\mathrm {P} (E_{i}|\rho )=\mathrm {Trace} (E_{i}\rho )$, где $E_{i}$ представляет собой конкретный проектор результатов измерений и $\rho$ – матрица плотности системы.Учитывая гистограмму наблюдений для каждого измерения, можно получить приближение $p_{i}$ к $\mathrm {P} (E_{i}|\rho )$ для каждого $E_{i}$.

Учитывая линейные операторы $S$ и $T$, определите внутренний продукт

$S\cdot T=\mathrm {Tr} [S^{\dagger }T]={\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}$

где ${\vec {T}}$ является представлением $T$ оператор как вектор-столбец и ${\vec {S}}^{\dagger }$ вектор-строка такой, что ${\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}$ является внутренним продуктом в $\mathbb {C} ^{d}$ из двух.

Определите матрицу $A$ как

$A={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }\\\vdots \end{pmatrix}}$.

Здесь E _i — некоторый фиксированный список отдельных измерений (с двоичными результатами), а A выполняет все измерения одновременно.

Затем применив это к ${\vec {\rho }}$ дает вероятности :

$A{\vec {\rho }}={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{1}\cdot \rho \\E_{2}\cdot \rho \\E_{3}\cdot \rho \\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {P} (E_{1}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{2}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{3}|\rho )\\\vdots \end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\vdots \end{pmatrix}}={\vec {p}}$.

Линейная инверсия соответствует обращению этой системы с использованием наблюдаемых относительных частот. ${\vec {p}}$ вывести ${\vec {\rho }}$ (который изоморфен $\displaystyle \rho$).

Эта система в целом не будет квадратной, поскольку для каждого проводимого измерения обычно используется несколько проекторов результатов измерения. $E_{i}$. Например, в двумерном гильбертовом пространстве с тремя измерениями $\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}$, каждое измерение имеет 2 исхода, каждый из которых имеет проектор E _i , для 6 проекторов, тогда как реальная размерность пространства матриц плотности равна (2⋅2 ² )/2=4, уходя $A$ будет 6 x 4. Чтобы решить систему, умножьте слева на $A^{T}$:

$A^{T}A{\vec {\rho }}=A^{T}{\vec {p}}$.

Теперь решаем для ${\vec {\rho }}$ дает псевдообратное :

${\vec {\rho }}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}{\vec {p}}$.

В целом это работает только в том случае, если список измерений E _i томографически полон. В противном случае матрица $A^{T}A$ не будет обратимым .

Непрерывные переменные и квантовая гомодинная томография

В бесконечномерных гильбертовых пространствах , например, при измерении непрерывных переменных, таких как положение, методология несколько сложнее. ярких примеров является томография света . , известная как оптическая гомодинная томография Одним из Используя сбалансированные гомодинные измерения, можно вывести функцию Вигнера и матрицу плотности состояния света .

Один подход включает измерения в различных направлениях вращения в фазовом пространстве . По каждому направлению $\theta$, можно найти распределение вероятностей $w(q,\theta )$ для плотности вероятности измерений в $\theta$ направление фазового пространства, дающее значение $q$. Используя обратное преобразование Радона (фильтрованную обратную проекцию) на $w(q,\theta )$ приводит к функции Вигнера , $\mathrm {W} (x,p)$, которую можно преобразовать обратным преобразованием Фурье в матрицу плотности состояния в любом базисе. Подобный метод часто используется в медицинской томографии .

Пример: томография состояния одного кубита.

Матрица плотности одного кубита может быть выражена через его вектор Блоха ${\vec {r}}$ и вектор Паули ${\vec {\sigma }}$:

$\rho ={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {r}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+r_{z}&r_{x}-\mathrm {i} r_{y}\\r_{x}+\mathrm {i} r_{y}&1-r_{z}\end{pmatrix}}$.

Томографию состояния одного кубита можно выполнить с помощью однокубитных измерений Паули:

1. Сначала создайте список из трех квантовых схем, первая из которых измеряет кубит в вычислительном базисе ( Z -базис), вторая выполняет вентиль Адамара перед измерением (что делает измерение в X -базисе), а третий один, выполняющий соответствующий вентиль фазового сдвига (то есть ${\sqrt {Z}}^{\dagger }=|0\rangle \langle 0|+\exp(-\mathrm {i} \pi /2)|1\rangle \langle 1|$) с последующим вентилем Адамара перед измерением (что делает измерение в Y -базисе);
2. Затем запустите эти схемы (обычно тысячи раз), и результаты измерений первой схемы выдадут результат ${\bar {z}}=(n_{z,+}-n_{z,-})/(n_{z,+}+n_{z,-})$, второй контур ${\bar {x}}$, и третий контур ${\bar {y}}$;
3. Наконец, если ${\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}\leq 1$, то измеренный вектор Блоха получается как ${\vec {r}}_{m}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})$, а измеренная матрица плотности равна $\rho _{m}={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {r}}_{m}\cdot {\vec {\sigma }}\right)$; Если ${\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}>1$, необходимо будет перенормировать измеренный вектор Блоха как ${\vec {r}}_{m}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})/{\sqrt {{\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}}}$ прежде чем использовать его для расчета измеренной матрицы плотности.

Этот алгоритм является основой кубитной томографии и используется в некоторых процедурах квантового программирования , таких как Qiskit .

Пример: гомодинная томография.

Амплитуды электромагнитного поля (квадратуры) могут быть измерены с высокой эффективностью с использованием фотодетекторов вместе с временной модовой селективностью. Сбалансированная гомодинная томография — надежный метод восстановления квантовых состояний в оптической области. Этот метод сочетает в себе преимущества высокой эффективности фотодиодов при измерении интенсивности или числа фотонов света, а также измерения квантовых характеристик света с помощью умной установки, называемой детектором гомодинной томографии .

Квантовую гомодинную томографию можно понять на следующем примере. Лазер . направляется на светоделитель 50-50% , разделяя лазерный луч на два луча Один используется в качестве гетеродина (LO), а другой — для генерации фотонов с определенным квантовым состоянием . Генерацию квантовых состояний можно реализовать, например, направляя лазерный луч через удвоения частоты . кристалл а затем на параметрический кристалл понижающего преобразования . Этот кристалл генерирует два фотона в определенном квантовом состоянии. Один из фотонов используется в качестве триггерного сигнала, используемого для запуска (запуска) события считывания детектора гомодинной томографии. Другой фотон направляется в детектор гомодинной томографии, чтобы восстановить его квантовое состояние. Поскольку триггерный и сигнальный фотоны запутаны ( это объясняется в статье о спонтанном параметрическом преобразовании с понижением частоты ), важно понимать, что оптическая мода состояния сигнала создается нелокально только тогда, когда триггерный фотон сталкивается с фотодетектором (триггерного фотона). модуль считывания событий) и фактически измеряется. Проще говоря, только когда измеряется триггерный фотон, сигнальный фотон может быть измерен гомодинным детектором.

Теперь рассмотрим детектор гомодинной томографии , изображенный на рисунке 4 (рисунок отсутствует). Сигнальный фотон (это квантовое состояние, которое мы хотим восстановить) интерферирует с гетеродином , когда он направлен на 50-50% светоделитель . Поскольку два луча исходят от одного и того же так называемого ведущего лазера , они имеют одинаковое фиксированное фазовое соотношение. Гетеродин должен быть интенсивным по сравнению с сигналом, чтобы обеспечить точную опорную фазу. Локальный осциллятор настолько интенсивен, что мы можем относиться к нему классически (a = α) и пренебрегать квантовыми флуктуациями. Поле сигнала пространственно и во времени контролируется гетеродином, имеющим управляемую форму. Если гетеродин равен нулю, сигнал отвергается. Таким образом, мы имеем временно-пространственную модовую избирательность сигнала. Светоделитель перенаправляет два луча на два фотодетектора. Фотодетекторы генерируют электрический ток , пропорциональный числу фотонов . Оба тока детектора вычитаются, и результирующий ток пропорционален электрическому току. Поле оператора в сигнальном режиме зависело от относительной оптической фазы сигнала и гетеродина.

Поскольку амплитуда электрического поля гетеродина намного выше, чем амплитуда сигнала, можно увидеть интенсивность или колебания поля сигнала. Система гомодинной томографии действует как усилитель . Систему можно рассматривать как интерферометр с опорным лучом такой высокой интенсивности (гетеродин), что дисбаланс интерференции одного фотона в сигнале поддается измерению. фотодетектора Это усиление значительно превышает уровень шума .

Измерение воспроизводится большое количество раз. Затем разность фаз между сигналом и гетеродином изменяется, чтобы «сканировать» другой угол в фазовом пространстве . Это видно из рисунка 4. Измерение повторяется снова большое количество раз, и предельное распределение из текущей разницы извлекается . Маргинальное распределение можно преобразовать в матрицу плотности и/или функцию Вигнера . Поскольку матрица плотности и функция Вигнера дают информацию о квантовом состоянии фотона, мы восстановили квантовое состояние фотона.

Преимущество этого сбалансированного метода обнаружения состоит в том, что оно нечувствительно к флуктуациям интенсивности лазера .

Квантовые вычисления для извлечения квадратурной составляющей из разности токов выполняются следующим образом.

Оператор числа фотонов для лучей , попадающих на фотодетекторы после светоделителя, определяется выражением:

${\hat {n}}_{i}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}$,

где i равно 1 и 2, соответственно для первого и второго луча.Операторы мод поля, возникающего в светоделителях, имеют вид:

${\hat {a}}_{1}=2^{-1/2}({\hat {a}}-\alpha _{LO})$

${\hat {a}}_{2}=2^{-1/2}({\hat {a}}+\alpha _{LO})$

The ${\hat {a}}$ обозначает оператор уничтожения сигнала, а альфа — комплексную амплитуду гетеродина. Разница в количестве фотонов в конечном итоге пропорциональна квадратуре и определяется выражением:

${\hat {n}}_{21}={\hat {n}}_{2}-{\hat {n}}_{1}=\alpha _{LO}^{*}{\hat {a}}+\alpha _{LO}{\hat {a}}^{\dagger }$,

Переписав это с помощью отношения:

${\hat {q}}=2^{-1/2}({\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {a}})$

Результаты в следующем отношении:

${\hat {n}}_{21}=2^{1/2}|{\hat {\alpha }}_{LO}|{\hat {q}}_{\theta }$,

где мы видим четкую связь между разностью числа фотонов и квадратурной составляющей ${\hat {q}}_{\theta }$. Отслеживая суммарный ток, можно восстановить информацию об интенсивности гетеродина, поскольку это обычно неизвестная величина, но важная величина для расчета квадратурной составляющей ${\hat {q}}_{\theta }$.

Проблемы с линейной инверсией

Одна из основных проблем, связанных с использованием линейной инверсии для решения матрицы плотности, заключается в том, что, как правило, вычисленное решение не будет допустимой матрицей плотности. Например, он может давать отрицательные вероятности или вероятности, превышающие 1, для определенных результатов измерений. Это особенно актуально, когда проводится меньше измерений.

Другая проблема заключается в том, что в бесконечномерных гильбертовых пространствах потребуется бесконечное количество результатов измерений. Предположения о структуре и использование конечной базы измерений приводят к артефактам в плотности фазового пространства.

Оценка максимального правдоподобия

Оценка максимального правдоподобия (также известная как MLE или MaxLik) — популярный метод решения задач линейной инверсии. Ограничивая область матриц плотности подходящим пространством и ища матрицу плотности, которая максимизирует вероятность получения экспериментальных результатов, это гарантирует теоретическую достоверность состояния, обеспечивая при этом близкое соответствие данным. Вероятность состояния — это вероятность, которая была бы присвоена наблюдаемым результатам, если бы система находилась в этом состоянии.

Предположим, что измерения $\{|y_{j}\rangle \langle y_{j}|\}$ наблюдались с частотами $f_{j}$. Тогда вероятность, связанная с состоянием ${\hat {\rho }}$ является

$L({\hat {\rho }})=\prod _{j}\langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle ^{f_{j}}$

где $\langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle$ это вероятность результата $y_{j}$ для государства ${\hat {\rho }}$.

Нахождение максимума этой функции нетривиально и обычно требует итерационных методов. Эти методы являются активной темой исследований.

Проблемы с оценкой максимального правдоподобия

Оценка максимального правдоподобия страдает от некоторых менее очевидных проблем, чем линейная инверсия. Одна из проблем заключается в том, что он делает прогнозы о вероятностях, которые не могут быть подтверждены данными. В этом легче всего убедиться, рассмотрев проблему нулевых собственных значений . Вычисленное решение с использованием MLE часто содержит собственные значения , равные 0, т. е. оно имеет недостаточный ранг . Тогда в этих случаях решение лежит на границе n-мерной сферы Блоха . Это можно рассматривать как связанное с линейной инверсией, дающей состояния, которые лежат за пределами допустимого пространства (сферы Блоха). MLE в этих случаях выбирает ближайшую допустимую точку, а ближайшие точки обычно находятся на границе.

Это не физически проблема, реальное состояние может иметь нулевые собственные значения . Однако, поскольку ни одно значение не может быть меньше 0, оценка собственного значения, равная 0, подразумевает, что оценщик уверен, что значение равно 0, в противном случае они бы оценили некоторые $\epsilon$ больше 0 с небольшой степенью неопределенности в качестве наилучшей оценки. Вот тут-то и возникает проблема: нелогично заключить с абсолютной уверенностью после конечного числа измерений, что любое собственное значение (то есть вероятность определенного результата) равно 0. Например, если подбросить монету 5 раз и каждый раз, когда наблюдался орел, это не означает, что вероятность выпадения решки равна нулю, несмотря на то, что это наиболее вероятное описание монеты.

Байесовские методы

Оценка байесовского среднего значения (BME) — это относительно новый подход, который решает проблемы оценки максимального правдоподобия . Основное внимание уделяется поиску оптимальных решений, которые также являются честными , поскольку включают в оценку планку ошибок. Общая идея состоит в том, чтобы начать с функции правдоподобия и функции, описывающей предварительные знания экспериментатора (которая может быть постоянной функцией), а затем интегрировать все матрицы плотности, используя произведение функции правдоподобия и функции предварительных знаний в качестве веса.

Учитывая разумную функцию априорного знания, BME приведет к состоянию строго внутри n-мерной сферы Блоха . В случае, когда монета подбрасывается N раз, чтобы получить N решек, описанных выше, с постоянной функцией априорных знаний, BME присвоит $\scriptstyle {\frac {1}{N+2}}$ как вероятность решки.

BME обеспечивает высокую степень точности, поскольку сводит к минимуму эксплуатационные отклонения оценки от фактического состояния.

Методы для неполных данных

Количество измерений, необходимых для полной томографии квантового состояния многочастичной системы, экспоненциально масштабируется с количеством частиц, чтоделает такую ​​процедуру невозможной даже для систем скромных размеров. Поэтому было разработано несколько методов реализовать квантовую томографию с меньшим количеством измерений.

Концепция завершения матрицы и сжатого измерения применялась для восстановления матриц плотности на основе неполного набора измерений (то есть набора измерений, который не является кворумом). В общем случае это невозможно, но при допущениях (например, если матрица плотности представляет собой чистое состояние или комбинацию всего нескольких чистых состояний) тогда матрица плотности имеет меньше степеней свободы, и возможно, удастся восстановить состояние по неполным измерениям.

Пермутационно-инвариантная квантовая томография это процедура, которая была разработана в основном для состояний, близких к перестановочно симметричны, что характерно для современных экспериментов. Для частиц с двумя состояниями количество необходимых измерений зависит только от числа частиц. Помимо скромных усилий по измерению, обработка измеренных данных также может быть выполнена эффективно:Подгонку матрицы физической плотности к измеренным данным можно выполнить даже для больших систем. Пермутационно-инвариантная квантовая томография была объединена со сжатым зондированием в шестикубитномфотонный эксперимент.

Квантовая измерительная томография

Можно представить ситуацию, в которой устройство выполняет некоторые измерения квантовых систем и определяет, какое конкретное измерение желательно. Стратегия состоит в том, чтобы отправить системы с различными известными состояниями и использовать эти состояния для оценки результатов неизвестного измерения. Методы томографии, также известные как «квантовая оценка», приобретают все большее значение, включая методы квантовой измерительной томографии и очень похожую томографию квантовых состояний. Поскольку измерение всегда можно охарактеризовать набором POVM , цель состоит в том, чтобы восстановить характеризующие POVM . $\Pi _{l}$. Самый простой подход — линейная инверсия. Как и при наблюдении квантового состояния, используйте

$\displaystyle \mathrm {Tr} [\Pi _{l}\rho _{m}]=\mathrm {P} (l|\rho _{m})$.

Используя линейность, как указано выше, это можно инвертировать для решения $\Pi _{l}$.

Неудивительно, что здесь есть те же недостатки, что и в томографии квантовых состояний: а именно, нефизические результаты, в частности, отрицательные вероятности. Здесь $\Pi _{l}$ не будут действительными POVM , поскольку они не будут положительными. Байесовские методы, а также оценка максимального правдоподобия матрицы плотности могут использоваться, чтобы ограничить операторов действительными физическими результатами.

Томография квантовых процессов

Томография квантовых процессов (QPT) занимается идентификацией неизвестного квантового динамического процесса. Первый подход, представленный в 1996 году и иногда известный как стандартная томография квантовых процессов (SQPT), включает подготовку ансамбля квантовых состояний и отправку их через процесс, а затем использование томографии квантовых состояний для идентификации результирующих состояний. Другие методы включают томографию процесса с использованием вспомогательных устройств (AAPT) и томографию процесса с использованием запутывания (EAPT), для которых требуется дополнительная копия системы.

Каждый из перечисленных выше методов известен как косвенные методы описания квантовой динамики, поскольку они требуют использования томографии квантовых состояний для реконструкции процесса. Напротив, существуют прямые методы , такие как прямая характеристика квантовой динамики (DCQD), которые обеспечивают полную характеристику квантовых систем без какой-либо томографии состояний.

Количество экспериментальных конфигураций (подготовки состояний и измерений), необходимых для полной томографии квантовых процессов, растет экспоненциально с увеличением количества составляющих частиц системы. Следовательно, в целом КПТ является невыполнимой задачей для крупномасштабных квантовых систем. Однако в предположении слабой декогеренции квантовое динамическое отображение может найти разреженное представление. Метод сжатой томографии квантовых процессов (CQPT) использует технику сжатого зондирования и применяет предположение о разреженности для восстановления квантовой динамической карты на основе неполного набора измерений или подготовки тестовых состояний.

Квантовые динамические карты

Квантовый процесс, также известный как квантовая динамическая карта, ${\mathcal {E}}(\rho )$, можно описать вполне положительным отображением

${\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }$,

где $\rho \in {\mathcal {B(H)}}$, ограниченные операторы в гильбертовом пространстве ; с элементами управления $\displaystyle A_{i}$ удовлетворяющий $\textstyle \sum _{i}A_{i}^{\dagger }A_{i}\leq I$ так что $\mathrm {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1$.

Позволять $\displaystyle \{E_{i}\}$ быть ортогональным базисом для ${\mathcal {B(H)}}$. Напишите $\displaystyle A_{i}$ операторы в этом базисе

$\displaystyle A_{i}=\sum _{m}a_{im}E_{m}$.

Это приводит к

${\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{m,n}\chi _{mn}E_{m}\rho E_{n}^{\dagger }$,

где $\chi _{mn}=\sum _{i}a_{im}a_{in}^{*}$.

Цель состоит в том, чтобы решить $\displaystyle \chi$, который является положительным супероператором и полностью характеризует ${\mathcal {E}}$ в отношении $\displaystyle \{E_{i}\}$ основе.

Стандартная квантовая томография процессов

SQPT подходит к этому, используя $d^{2}$ линейно независимые входы $\rho _{j}$, где $d$ - размерность гильбертова пространства ${\mathcal {H}}$. Для каждого из этих входных состояний $\rho _{j}$, отправка его через процесс дает выходное состояние ${\mathcal {E}}(\rho )$ которую можно записать как линейную комбинацию $\rho _{k}$, то есть $\textstyle {\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{k}c_{jk}\rho _{k}$. Отправляя каждому $\rho _{j}$ во многих случаях томография квантового состояния может использоваться для определения коэффициентов $c_{jk}$ экспериментально.

Писать

$E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{k}B_{m,n,j,k}\rho _{k}$,

где $B$ представляет собой матрицу коэффициентов.Затем

$\sum _{k}c_{jk}\rho _{k}={\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{m,n}\chi _{m,n}E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{m,n}\sum _{k}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}\rho _{k}$.

С $\rho _{k}$ образуют линейно независимый базис,

$\displaystyle c_{jk}=\sum _{m,n}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}$.

Инвертирование $B$ дает $\chi$:

$\chi _{m,n}=\sum _{j,k}B_{m,n,j,k}^{-1}c_{jk}$.