Распределение квазивероятностей Вигнера

Чтобы узнать о других значениях, см. Распределение Вигнера (значения) .

Функция Вигнера так называемого состояния кошки

Распределение квазивероятностей Вигнера (также называемое функцией Вигнера или распределением Вигнера-Вилля , в честь Юджина Вигнера и Жана-Андре Вилля ) является распределением квазивероятностей . Он был представлен Юджином Вигнером в 1932 году. изучать квантовые поправки к классической статистической механике . Целью было связать волновую функцию , которая появляется в уравнении Шредингера, с распределением вероятностей в фазовом пространстве .

Это производящая функция для всех пространственных автокорреляционных функций данной квантовомеханической волновой функции ψ ( x ) .Таким образом, он отображает на матрице квантовой плотности в отображении между вещественными функциями фазового пространства и эрмитовыми операторами, введенными Германом Вейлем в 1927 году, в контексте, связанном с теорией представлений в математике (см. квантование Вейля ). По сути, это преобразование Вигнера-Вейля матрицы плотности, то есть реализация этого оператора в фазовом пространстве. Позже он был переопределен Жаном Виллем в 1948 году как квадратичное (в сигнале) представление локальной частотно-временной энергии сигнала : фактически спектрограмма .

В 1949 году Хосе Энрике Мояль , который вывел его независимо, признал его квантовым функционалом, генерирующим момент, и, таким образом, как основа элегантного кодирования всех значений квантового ожидания и, следовательно, квантовой механики в фазовом пространстве (см. Формулировку фазового пространства ). Он имеет приложения в статистической механике , квантовой химии , квантовой оптике , классической оптике и анализе сигналов в различных областях, таких как электротехника , сейсмология , частотно-временной анализ музыкальных сигналов , спектрограммы в биологии и обработке речи, а также проектирование двигателей .

Связь с классической механикой

Классическая частица имеет определенное положение и импульс и, следовательно, представлена ​​точкой в ​​фазовом пространстве. Учитывая набор ( ансамбль ) частиц, вероятность найти частицу в определенной позиции в фазовом пространстве определяется распределением вероятностей, плотностью Лиувилля. Эта строгая интерпретация не работаетдля квантовой частицы из-за принципа неопределенности . Вместо этого приведенное выше квазивероятностное распределение Вигнера играет аналогичную роль, но не удовлетворяет всем свойствам обычного распределения вероятностей; и, наоборот, удовлетворяет свойствам ограниченности, недоступным классическим распределениям.

Например, распределение Вигнера может принимать и обычно принимает отрицательные значения для состояний, не имеющих классической модели, и является удобным индикатором квантовомеханической интерференции. (См. ниже характеристику чистых состояний, функции Вигнера которых неотрицательны.)Сглаживание распределения Вигнера с помощью фильтра размером больше ħ (например, свертка с помощьюГауссиан фазового пространства, преобразование Вейерштрасса , для получения представления Хусими , ниже), приводит к положительно-полуопределенной функции, т. е. можно считать, что она была огрублена до полуклассической.

Можно доказать (путем свертки их с небольшим гауссианом) области такого отрицательного значения как «маленькие»: они не могут расширяться до компактных областей размером более нескольких ħ и, следовательно, исчезают в классическом пределе . Они защищены принципом неопределенности , который не позволяет точно определить местоположение в пределах областей фазового пространства, меньших ħ , и, таким образом, делает такие « отрицательные вероятности » менее парадоксальными.

Определение и значение

Распределение Вигнера W ( x , p ) чистого состояния определяется как

$W(x,p)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy,$

где ψ — волновая функция, а x и p — положение и импульс, но может быть любой парой сопряженных переменных (например, реальной и мнимой частями электрического поля или частотой и временем сигнала). Обратите внимание, что он может иметь поддержку по x даже в регионах, где ψ не имеет поддержки по x («такты»).

Он симметричен по x и p :

$W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (p-q)e^{-2ixq/\hbar }\,dq,$

где φ пространстве, пропорциональная преобразованию Фурье ψ — нормированная волновая функция в импульсном .

В 3D,

$W({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}({\vec {r}}+\hbar {\vec {s}}/2)\psi ({\vec {r}}-\hbar {\vec {s}}/2)e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}}\,d^{3}s.$

В общем случае, включающем смешанные состояния, это преобразование Вигнера матрицы плотности : $$W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle x-y|{\hat {\rho }}|x+y\rangle e^{2ipy/\hbar }\,dy,$$где ⟨ х | ψ ⟩ знак равно ψ ( Икс ) . Это преобразование (или отображение) Вигнера является обратным преобразованию Вейля , которое отображает функции фазового пространства в гильбертова пространства операторы при квантовании Вейля .

Таким образом, функция Вигнера является краеугольным камнем квантовой механики в фазовом пространстве .

В 1949 году Хосе Энрике Мойал объяснил, как функция Вигнера обеспечивает меру интегрирования (аналогическую функции плотности вероятности ) в фазовом пространстве, чтобы получить значения ожидания в фазовом пространстве c-числа от функций g ( x , p ), однозначно связанных с соответствующим образом упорядоченными операторы Ĝ через преобразование Вейля (см. преобразование Вигнера-Вейля и свойство 7 ниже), что напоминает классическую теорию вероятностей .

В частности, математическое ожидание оператора Ĝ представляет собой «среднее в фазовом пространстве» преобразования Вигнера этого оператора: $$\langle {\hat {G}}\rangle =\int dx\,dp\,W(x,p)g(x,p).$$

Математические свойства

Функция Вигнера для числовых состояний а) n = 0, б) n = 1 и в) n = 19. Маргинальные распределения для x и p восстанавливаются путем интегрирования по p и x соответственно.

1. W ( x , p ) — действительная функция.

2. Распределения вероятностей x и p задаются маргинальными значениями :

$\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .$ Если систему можно описать в чистом состоянии , получим $\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=|\psi (x)|^{2}.$

$\int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle .$ Если систему можно описать в чистом состоянии , то $\int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=|\varphi (p)|^{2}.$

$\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}).$

Обычно след матрицы плотности ${\hat {\rho }}$ равен 1.

3. W ( x , p ) имеет следующие симметрии отражения:

• Временная симметрия: $\psi (x)\to \psi (x)^{*}\Rightarrow W(x,p)\to W(x,-p).$
• Пространственная симметрия: $\psi (x)\to \psi (-x)\Rightarrow W(x,p)\to W(-x,-p).$

4. W ( x , p ) галилей-ковариантна :

$\psi (x)\to \psi (x+y)\Rightarrow W(x,p)\to W(x+y,p).$

Оно не является лоренц-ковариантным .

5. Уравнение движения каждой точки фазового пространства является классическим в отсутствие сил:

${\frac {\partial W(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial W(x,p)}{\partial x}}.$

Фактически, оно является классическим даже при наличии гармонических сил.

6. Перекрытие состояний рассчитывается как

$|\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W_{\psi }(x,p)W_{\theta }(x,p).$

7. Значения ожидания оператора (средние значения) рассчитываются как средние значения в фазовом пространстве соответствующих преобразований Вигнера:

$g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\left\langle x-{\frac {y}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {y}{2}}\right\rangle e^{ipy/\hbar },$

$\langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)g(x,p).$

8. Чтобы W ( x , p ) представляло физические (положительные) матрицы плотности, оно должно удовлетворять

$\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)W_{\theta }(x,p)\geq 0$

для всех чистых состояний |θ⟩.

9. В силу неравенства Коши–Шварца для чистого состояния оно ограничено:

$-{\frac {2}{h}}\leq W(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.$

Эта граница исчезает в классическом пределе ħ → 0. В этом пределе W ( x , p ) сводится к плотности вероятности в координатном пространстве x , обычно сильно локализованной, умноженной на δ-функции по импульсу: классический предел является «остроконечным». ". Таким образом, эта квантово-механическая граница исключает функцию Вигнера, которая представляет собой идеально локализованную δ-функцию в фазовом пространстве, что является отражением принципа неопределенности.

Преобразование Вигнера — это просто преобразование Фурье антидиагоналей 10. матрицы плотности, когда эта матрица выражена в позиционном базисе.

Примеры

См. Также: Формулировка в фазовом пространстве § Простой гармонический осциллятор.

Позволять $|m\rangle \equiv {\frac {a^{\dagger m}}{\sqrt {m!}}}|0\rangle$ быть $m$-е фоковское состояние квантового гармонического осциллятора . Гроеневолд (1946) обнаружил связанную с ней функцию Вигнера в безразмерных переменных:

$W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi }}e^{-(x^{2}+p^{2})}L_{m}{\big (}2(p^{2}+x^{2}){\big )},$

где $L_{m}(x)$ обозначает $m$-й полином Лагерра .

Это может следовать из выражения для статических волновых функций собственного состояния:

$u_{m}(x)=\pi ^{-1/4}H_{m}(x)e^{-x^{2}/2},$

где $H_{m}$ это $m$-й полином Эрмита . Из приведенного выше определения функции Вигнера при замене переменных интегрирования:

$W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi ^{3/2}2^{m}m!}}e^{-x^{2}-p^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }d\zeta \,e^{-\zeta ^{2}}H_{m}(\zeta -ip+x)H_{m}(\zeta -ip-x).$

Тогда это выражение следует из интегрального соотношения между полиномами Эрмита и Лагерра.

для функции

Основные статьи: преобразование Вигнера – Вейля и формулировка фазового пространства.

— Преобразование Вигнера это общее обратимое преобразование оператора Ĝ в гильбертовом пространстве в функцию g ( x , p ) в фазовом пространстве и задается формулой

$g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds\,e^{ips/\hbar }\left\langle x-{\frac {s}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {s}{2}}\right\rangle .$

Эрмитовы операторы отображают реальные функции. Обратное к этому преобразованию из фазового пространства в гильбертово пространство называется преобразованием Вейля :

$\langle x|{\hat {G}}|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dp}{h}}e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({\frac {x+y}{2}},p\right)$

(не путать с отдельным преобразованием Вейля в дифференциальной геометрии ).

Таким образом, обсуждаемая здесь функция Вигнера W ( x , p ) является преобразованием Вигнера оператора плотности матрицы ρ̂ . Таким образом, след оператора с матрицей плотности Вигнера преобразуется в эквивалентное интегральное перекрытие в фазовом пространстве g ( x , p ) с функцией Вигнера.

Преобразование Вигнера уравнения эволюции фон Неймана матрицы плотности в картине Шредингера представляет собой уравнение эволюции Мойала для функции Вигнера:

${\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},$

где H ( x , p ) — гамильтониан, а {{⋅, ⋅}} — скобка Мойала . В классическом пределе ħ → 0 скобка Мойала сводится к скобке Пуассона , а это эволюционное уравнение сводится к уравнению Лиувилля классической статистической механики.

Формально классическое уравнение Лиувилля можно решить в терминах траекторий частиц в фазовом пространстве, которые являются решениями классических уравнений Гамильтона. Этот метод решения уравнений в частных производных известен как метод характеристик . Этот метод переносится на квантовые системы, где «траектории» характеристик теперь определяют эволюцию функций Вигнера. Решение эволюционного уравнения Мойала для функции Вигнера формально представляется как

$W(x,p,t)=W{\big (}\star {\big (}x_{-t}(x,p),p_{-t}(x,p){\big )},0{\big )},$

где $x_{t}(x,p)$ и $p_{t}(x,p)$ — характеристические траектории, подчиняющиеся квантовым уравнениям Гамильтона с начальными условиями $x_{t=0}(x,p)=x$ и $p_{t=0}(x,p)=p$, и где $\star$-композиция продукта понятна для всех функций-аргументов.

С $\star$-композиция функций совершенно нелокальна («квантовая вероятностная жидкость» размывается, как заметил Мойал), остатки локальных траекторий в квантовых системах едва различимы в эволюции функции распределения Вигнера. В интегральном представлении $\star$-продукты, последовательные операции над ними были адаптированы к интегралу по траекториям в фазовом пространстве для решения уравнения эволюции для функции Вигнера (см. также ). Эта нелокальная особенность временной эволюции Мойала. показано в галерее ниже для гамильтонианов, более сложных, чем гармонический осциллятор. В классическом пределе траекторный характер временной эволюции функций Вигнера становится все более отчетливым. При ħ = 0 траектории характеристик сводятся к классическим траекториям частиц в фазовом пространстве.

Примеры временной эволюции функции Вигнера

• Продолжительность: 10 секунд. 0:10
  Чистое состояние в потенциале Морса . Зеленые пунктирные линии представляют набор гамильтониана . уровней
• Чистое состояние в потенциале четвертой степени. Сплошные линии представляют набор уровней гамильтониана.
• Туннелирование волнового пакета через потенциальный барьер. Сплошные линии представляют набор уровней гамильтониана.
• Долговременная эволюция смешанного состояния ρ в ангармонической потенциальной яме. Поля отображаются справа ( p ) и сверху ( x ).
• 
  Равновесное смешанное состояние ρ (эволюционирует само по себе) в том же ангармоническом потенциале.

гармонического

Однако в частном случае квантового гармонического осциллятора эволюция проста и кажется идентичной классическому движению: жесткое вращение в фазовом пространстве с частотой, определяемой частотой осциллятора. Это показано в галерее ниже. В это же время эволюция происходит с квантовыми состояниями световых мод , которые являются гармоническими осцилляторами.

Примеры временной эволюции функции Вигнера в квантовом гармоническом генераторе

• 
  государство Согласованное .
• 
  Комбинированное основное состояние и первое возбужденное состояние.
• 
  Кошачье состояние ; маргинальные поля нанесены справа ( p ) и снизу ( x ).

Классический предел

Функция Вигнера позволяет изучать классический предел , предлагая сравнение классической и квантовой динамики в фазовом пространстве.

Было высказано предположение, что подход функции Вигнера можно рассматривать как квантовую аналогию операторной формулировке классической механики, введенной в 1932 году Бернардом Купманом и Джоном фон Нейманом : временная эволюция подходов функции Вигнера в пределе ħ → 0, временная эволюция волновой функции Купмана – фон Неймана классической частицы.

Моменты функции Вигнера генерируют симметризованные операторные средние значения, в отличие от нормального порядка и антинормального порядка, генерируемых P-представлением Глаубера – Сударшана и Q-представлением Хусими соответственно. Таким образом, представление Вигнера очень хорошо подходит для полуклассических приближений в квантовой оптике. и теория поля бозе-эйнштейновских конденсатов, где заселенность высоких мод приближается к квазиклассическому пределу.

Вигнера

Как уже отмечалось, функция Вигнера квантового состояния обычно принимает некоторые отрицательные значения. Действительно, для чистого состояния по одной переменной, если $W(x,p)\geq 0$ для всех $x$ и $p$, то волновая функция должна иметь вид

$\psi (x)=e^{-ax^{2}+bx+c}$

для некоторых комплексных чисел $a,b,c$ с $\operatorname {Re} (a)>0$ (теорема Хадсона ). Обратите внимание, что $a$ может быть комплексным, так что $\psi$ не обязательно является гауссовским волновым пакетом в обычном смысле. Таким образом, чистые состояния с неотрицательными функциями Вигнера не обязательно являются состояниями с минимальной неопределенностью в смысле формулы неопределенности Гейзенберга ; скорее, они дают равенство в формуле неопределенности Шредингера , которая включает в себя антикоммутаторный член в дополнение к коммутаторному члену. (При тщательном определении соответствующих дисперсий все функции Вигнера в чистом состоянии все равно приводят к неравенству Гейзенберга.)

В более высоких измерениях характеристика чистых состояний с неотрицательными функциями Вигнера аналогична; волновая функция должна иметь вид

$\psi (x)=e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c},$

где $A$ представляет собой симметричную комплексную матрицу, действительная часть которой положительно определена, $b$ — комплексный вектор, а c — комплексное число. Функция Вигнера любого такого состояния представляет собой гауссово распределение в фазовом пространстве.

Сото и Клавери дайте элегантное доказательство этой характеристики, используя преобразование Сигала – Баргмана . Аргументация следующая. Хусими Q- функция $\psi$ может быть вычислена как квадрат величины преобразования Сигала – Баргмана $\psi$, умноженный на гауссиану. Между тем, функция Хусими Q представляет собой свертку функции Вигнера с гауссианой. Если функция Вигнера $\psi$ неотрицательна всюду в фазовом пространстве, то Q-функция Хусими будет строго положительной всюду в фазовом пространстве. Таким образом, преобразование Сигала–Баргмана $F(x+ip)$ из $\psi$ нигде не будет нулевым. Таким образом, по стандартному результату комплексного анализа имеем

$F(x+ip)=e^{g(x+ip)}$

для некоторой голоморфной функции $g$. Но для того, чтобы $F$ принадлежать пространству Сигала–Баргмана , т.е. $F$ быть интегрируемым с квадратом относительно гауссовой меры - $g$ должно иметь не более чем квадратичный рост на бесконечности. Исходя из этого, с помощью элементарного комплексного анализа можно показать, что $g$ на самом деле должен быть квадратичным многочленом. Таким образом, мы получаем явный вид преобразования Сигала–Баргмана любого чистого состояния, функция Вигнера которого неотрицательна. Затем мы можем инвертировать преобразование Сигала – Баргмана, чтобы получить заявленную форму волновой функции положения.

Кажется, не существует простой характеристики смешанных состояний с неотрицательными функциями Вигнера.

Функция Вигнера по отношению к другим

Показано, что квазивероятностную функцию распределения Вигнера можно рассматривать как ħ - деформацию другой функции распределения в фазовом пространстве, описывающей ансамбль причинных траекторий де Бройля–Бома . Бэзил Хили показал, что распределение квазивероятностей можно понимать как матрицу плотности , перевыраженную через среднее положение и импульс «ячейки» в фазовом пространстве, а интерпретация де Бройля – Бома позволяет описать динамику центров таких «клеток».

Существует тесная связь между описанием квантовых состояний в терминах функции Вигнера и методом реконструкции квантовых состояний в терминах взаимно несмещенных базисов .

функции Вигнера вне

Контурный график распределения Вигнера – Вилля для чирпированного импульса света. График показывает, что частота является линейной функцией времени.

• При моделировании оптических систем, таких как телескопы или оптоволоконные телекоммуникационные устройства, функция Вигнера используется для устранения разрыва между простой трассировкой лучей и полноволновым анализом системы. Здесь p / ħ заменено на k = | к | грех θ ≈ | к | θ в малоугловом (параксиальном) приближении. В этом контексте функция Вигнера является наиболее близкой к описанию системы с точки зрения лучей в положении x и угле θ, в то же время включая эффекты интерференции. Если в какой-то момент оно станет отрицательным, то простой трассировки лучей будет недостаточно для моделирования системы. То есть отрицательные значения этой функции являются признаком предела Габора классического светового сигнала, а не квантовых особенностей света, связанных с ħ .
• При анализе сигналов изменяющийся во времени электрический сигнал, механическая вибрация или звуковая волна представляются функцией Вигнера . Здесь x заменяется временем, а p / ħ заменяется угловой частотой ω = 2π f , где f — регулярная частота.
• В сверхбыстрой оптике короткие лазерные импульсы характеризуются функцией Вигнера с использованием тех же замен f и t , что и выше. Дефекты импульса, такие как чирп (изменение частоты со временем), можно визуализировать с помощью функции Вигнера. См. соседний рисунок.
• В квантовой оптике x и p / ħ заменяются квадратурами X и P , вещественными и мнимыми компонентами электрического поля (см. когерентное состояние ).

функции

• Квантовая томография
• Оптическое стробирование с частотным разрешением

Другие

Основная статья: Распределение квазивероятностей

Распределение Вигнера было первым сформулированным квазивероятностным распределением, но за ним последовали многие другие, формально эквивалентные и преобразуемые в него и обратно (см. Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе ). Как и в случае с системами координат, из-за различных свойств некоторые из них имеют различные преимущества для конкретных приложений:

• Представление Глаубера П
• Из представления Q

Тем не менее, в некотором смысле, распределение Вигнера занимает привилегированное положение среди всех этих распределений, поскольку это единственное распределение , у которого необходимый звездный продукт выпадает (интегрируется по частям до эффективной единицы) при оценке математических ожиданий, как показано выше. , и поэтому может быть представлено как квазивероятностная мера, аналогичная классическим.

Историческая справка

Как указывалось, формула функции Вигнера выводилась независимо несколько раз в разных контекстах. На самом деле, по-видимому, Вигнер не знал, что даже в контексте квантовой теории оно было введено ранее Гейзенбергом и Дираком . хотя и чисто формально: эти двое упустили из виду его значение и значение его отрицательных значений, поскольку они просто рассматривали его как приближение к полному квантовому описанию такой системы, как атом. (Кстати, Дирак позже стал зятем Вигнера, женившись на его сестре Манси .) Симметрично, в большей части своей легендарной 18-месячной переписки с Мойалем в середине 1940-х годов Дирак не знал, что функция генерации квантового момента Мойяля была фактически функция Вигнера, и именно Мойал наконец обратил на нее его внимание.

См. также

• Группа Гейзенберга
• Преобразование Вигнера – Вейля
• Формулировка фазового пространства
• Кронштейн Мойал
• Отрицательная вероятность
• Теорема оптической эквивалентности
• Модифицированная функция распределения Вигнера
• Функция распределения классов Коэна
• Функция распределения Вигнера
• Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе
• Сжатое когерентное состояние
• Билинейное частотно-временное распределение
• Квантовая информация с непрерывной переменной

Дальнейшее чтение

• М. Леванда и В. Флеров, «Функция квазираспределения Вигнера для заряженных частиц в классических электромагнитных полях», Annals of Physics , 292 , 199–231 (2001). arXiv : cond-mat/0105137 .

Внешние ссылки

• wigner Реализация функции Wigner в QuTiP.
• Галерея квантовой оптики .
• Бесплатная программа Sonogram Visible Speech под лицензией GPL для квазивероятностного распределения сигнальных файлов по Вигнеру.