P-представление Глаубера – Сударшана

P-представление Глаубера -Сударшана - это предлагаемый способ записи фазовом пространстве распределения квантовой системы в фазовом пространстве в формулировке квантовой механики в . P-представление — это квазивероятностное распределение , в котором наблюдаемые выражаются в нормальном порядке . В квантовой оптике это представление, формально эквивалентное нескольким другим представлениям, ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} иногда предпочтительнее таких альтернативных представлений для описания света в оптическом фазовом пространстве , поскольку типичные оптические наблюдаемые, такие как оператор числа частиц , естественно выражаются в нормальном порядке. Назван в честь Джорджа Сударшана. ^{[ 3 ]} и Рой Дж. Глаубер , ^{[ 4 ]} работавший над этой темой в 1963 году. ^{[ 5 ]} Несмотря на множество полезных приложений в теории лазеров и теории когерентности, П-представление Сударшана–Глаубера имеет ту особенность, что оно не всегда положительное и не является истинной функцией вероятности.

Определение

Мы хотим построить функцию $P(\alpha )$ с тем свойством, что матрица плотности ${\hat {\rho }}$ диагональен состояний в базисе когерентных $\{|\alpha \rangle \}$ , то есть,

{\hat {\rho }}=\int P(\alpha )|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,\qquad d^{2}\alpha \equiv d\,{\rm {Re}}(\alpha )\,d\,{\rm {Im}}(\alpha ).

Мы также хотим построить функцию так, чтобы математическое ожидание нормально упорядоченного оператора удовлетворяло теореме оптической эквивалентности . Это означает, что матрица плотности должна находиться в антинормальном порядке, чтобы мы могли выразить матрицу плотности в виде степенного ряда.

{\hat {\rho }}_{A}=\sum _{j,k}c_{j,k}\cdot {\hat {a}}^{j}{\hat {a}}^{\dagger k}.

Вставка разрешения личности

{\hat {I}}={\frac {1}{\pi }}\int |{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,

мы видим это

{\begin{aligned}\rho _{A}({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot {\hat {a}}^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|{\hat {a}}^{\dagger k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\alpha ^{*k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\int \sum _{j,k}c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}\alpha ^{*k}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\int \rho _{A}(\alpha ,\alpha ^{*})|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,\end{aligned}}

и, таким образом, мы формально присваиваем

P(\alpha )={\frac {1}{\pi }}\rho _{A}(\alpha ,\alpha ^{*}).

более полезные интегральные формулы для $P.$ Для любого практического расчета необходимы Один метод ^{[ 6 ]} заключается в определении характеристической функции

\chi _{N}(\beta )=\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot e^{i\beta \cdot {\hat {a}}^{\dagger }}e^{i\beta ^{*}\cdot {\hat {a}}})

а затем примем преобразование Фурье

P(\alpha )={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int \chi _{N}(\beta )e^{-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .

Другая полезная интегральная формула для $P$ : ^{[ 7 ]}

P(\alpha )={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{\pi ^{2}}}\int \langle -\beta |{\hat {\rho }}|\beta \rangle e^{|\beta |^{2}-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .

Заметим, что обе эти интегральные формулы не сходятся ни в каком обычном для «типичных» систем смысле. Мы также можем использовать матричные элементы ${\hat {\rho }}$ на базе Фока $\{|n\rangle \}$ . Следующая формула показывает, что всегда возможно ^{[ 3 ]} записать матрицу плотности в этой диагональной форме, не обращаясь к порядкам операторов с помощью инверсии (приведенной здесь для одного режима),

P(\alpha )=\sum _{n}\sum _{k}\langle n|{\hat {\rho }}|k\rangle {\frac {\sqrt {n!k!}}{2\pi r(n+k)!}}e^{r^{2}-i(n-k)\theta }\left[\left(-{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{n+k}\delta (r)\right],

где $r$ и $θ$ — амплитуда и фаза $α$ . Хотя это полное формальное решение этой возможности, оно требует бесконечного числа производных дельта-функций Дирака , что далеко за пределами досягаемости любой обычной теории умеренного распределения .

Обсуждение

Если квантовая система имеет классический аналог, например когерентное состояние или тепловое излучение , то $P$ всюду неотрицательно, как обычное распределение вероятностей. Однако если квантовая система не имеет классического аналога, например некогерентного состояния Фока или запутанной системы , то $P$ где-то отрицательна или более сингулярна, чем дельта-функция Дирака. (По теореме Шварца , распределения, которые более сингулярны, чем дельта-функция Дирака, всегда где-то отрицательны.) Такая « отрицательная вероятность » или высокая степень сингулярности является особенностью, присущей представлению, и не умаляет значимости принятых значений ожидания. по отношению $П.$ к Однако даже если $P$ действительно ведет себя как обычное распределение вероятностей, все не так просто. По мнению Манделя и Вольфа: «Различные когерентные состояния не [взаимно] ортогональны, так что даже если $P(\alpha )$ вела себя как истинная плотность вероятности [функция], она не описывала вероятности взаимоисключающих состояний». ^{[ 8 ]}

Примеры

Тепловое излучение

Из аргументов статистической механики в базисе Фока известно, что среднее число фотонов моды с волновым вектором $k$ и состоянием поляризации $s$ для черного тела при температуре $T$ равно

\langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle ={\frac {1}{e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1}}.

- $P$ представление черного тела:

P(\{\alpha _{\mathbf {k} ,s}\})=\prod _{\mathbf {k} ,s}{\frac {1}{\pi \langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle }}e^{-|\alpha |^{2}/\langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle }.

Другими словами, каждая мода черного тела обычно распределяется в базисе когерентных состояний. Поскольку $P$ положителен и ограничен, эта система по существу является классической. На самом деле это весьма замечательный результат, поскольку для теплового равновесия матрица плотности также диагональна в базисе Фока, но состояния Фока неклассичны.

Весьма необычный пример

Даже очень простые на вид государства могут демонстрировать весьма неклассическое поведение. Рассмотрим суперпозицию двух когерентных состояний.

|\psi \rangle =c_{0}|\alpha _{0}\rangle +c_{1}|\alpha _{1}\rangle

где $c 0, c 1$ — константы, на которые распространяется нормализующее ограничение

1=|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\operatorname {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).

Обратите внимание, что это сильно отличается от кубита , потому что $|\alpha _{0}\rangle$ и $|\alpha _{1}\rangle$ не ортогональны. Поскольку рассчитать несложно $\langle -\alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle =\langle -\alpha |\psi \rangle \langle \psi |\alpha \rangle$ , мы можем использовать приведенную выше формулу Мехты для вычисления $P$ ,

{\begin{aligned}P(\alpha )={}&|c_{0}|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0})+|c_{1}|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}^{*}c_{1}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{1}^{*}-\alpha _{0}^{*})\cdot \partial /\partial (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{0}-\alpha _{1})\cdot \partial /\partial (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}c_{1}^{*}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})\cdot \partial /\partial (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{1}-\alpha _{0})\cdot \partial /\partial (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1}).\end{aligned}}

Несмотря на бесконечное количество производных дельта-функций, $P$ по-прежнему подчиняется теореме оптической эквивалентности. Если, например, математическое ожидание числового оператора берется относительно вектора состояния или как среднее значение фазового пространства относительно $P$ , два ожидаемых значения совпадают:

{\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {n}}|\psi \rangle &=\int P(\alpha )|\alpha |^{2}\,d^{2}\alpha \\&=|c_{0}\alpha _{0}|^{2}+|c_{1}\alpha _{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\operatorname {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).\end{aligned}}

См. также

Ссылки

Цитаты

^ Л. Коэн (1966). «Обобщенные функции распределения в фазовом пространстве». Дж. Математика. Физ . 7 (5): 781–786. Бибкод : 1966JMP.....7..781C . дои : 10.1063/1.1931206 .
^ Л. Коэн (1976). «Проблема квантования и вариационный принцип в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве». Дж. Математика. Физ . 17 (10): 1863–1866. Бибкод : 1976JMP....17.1863C . дои : 10.1063/1.522807 .
^ Jump up to: ^а ^б ЭКГ Сударшан (1963). «Эквивалентность квазиклассического и квантовомеханического описания статистических световых пучков». Физ. Преподобный Летт . 10 (7): 277–279. Бибкод : 1963PhRvL..10..277S . дои : 10.1103/PhysRevLett.10.277 .
^ Р. Дж. Глаубер (1963). «Когерентные и некогерентные состояния поля излучения». Физ. Преподобный . 131 (6): 2766–2788. Бибкод : 1963PhRv..131.2766G . дои : 10.1103/PhysRev.131.2766 .
^ Это стало предметом споров , когда Глаубер был удостоен части Нобелевской премии по физике 2005 года за свою работу в этой области, а Джорджа Сударшана не был признан, ср. вклад Чжоу, Лулу (6 декабря 2005 г.). «Ученые ставят под сомнение Нобеля» . Гарвардский малиновый . Проверено 28 апреля 2016 г. . Статья Сударшана была получена в Physical Review Letters 1 марта 1963 г. и опубликована 1 апреля 1963 г., а статья Глаубера была получена в Physical Review 29 апреля 1963 г. и опубликована 15 сентября 1963 г.
^ С.Л. Мехта; ЭКГ Сударшан (1965). «Связь между квантовым и полуклассическим описанием оптической когерентности». Физ. Преподобный . 138 (1Б): Б274–Б280. Бибкод : 1965PhRv..138..274M . дои : 10.1103/PhysRev.138.B274 .
^ К. Л. Мехта (1967). «Диагональное представление квантовых операторов в когерентном состоянии». Физ. Преподобный Летт . 18 (18): 752–754. Бибкод : 1967PhRvL..18..752M . дои : 10.1103/PhysRevLett.18.752 .
^ Мандель и Вольф 1995 , с. 541

Библиография

Мандель, Л .; Вольф, Э. (1995), Оптическая когерентность и квантовая оптика , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-41711-2

[1] Л. Коэн (1966). «Обобщенные функции распределения в фазовом пространстве». Дж. Математика. Физ . 7 (5): 781–786. Бибкод : 1966JMP.....7..781C . дои : 10.1063/1.1931206 .

[2] Л. Коэн (1976). «Проблема квантования и вариационный принцип в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве». Дж. Математика. Физ . 17 (10): 1863–1866. Бибкод : 1976JMP....17.1863C . дои : 10.1063/1.522807 .

[Sudarshan-3] Jump up to: ^а ^б ЭКГ Сударшан (1963). «Эквивалентность квазиклассического и квантовомеханического описания статистических световых пучков». Физ. Преподобный Летт . 10 (7): 277–279. Бибкод : 1963PhRvL..10..277S . дои : 10.1103/PhysRevLett.10.277 .

[Glauber-4] Р. Дж. Глаубер (1963). «Когерентные и некогерентные состояния поля излучения». Физ. Преподобный . 131 (6): 2766–2788. Бибкод : 1963PhRv..131.2766G . дои : 10.1103/PhysRev.131.2766 .

[5] Это стало предметом споров , когда Глаубер был удостоен части Нобелевской премии по физике 2005 года за свою работу в этой области, а Джорджа Сударшана не был признан, ср. вклад Чжоу, Лулу (6 декабря 2005 г.). «Ученые ставят под сомнение Нобеля» . Гарвардский малиновый . Проверено 28 апреля 2016 г. . Статья Сударшана была получена в Physical Review Letters 1 марта 1963 г. и опубликована 1 апреля 1963 г., а статья Глаубера была получена в Physical Review 29 апреля 1963 г. и опубликована 15 сентября 1963 г.

[6] С.Л. Мехта; ЭКГ Сударшан (1965). «Связь между квантовым и полуклассическим описанием оптической когерентности». Физ. Преподобный . 138 (1Б): Б274–Б280. Бибкод : 1965PhRv..138..274M . дои : 10.1103/PhysRev.138.B274 .

[7] К. Л. Мехта (1967). «Диагональное представление квантовых операторов в когерентном состоянии». Физ. Преподобный Летт . 18 (18): 752–754. Бибкод : 1967PhRvL..18..752M . дои : 10.1103/PhysRevLett.18.752 .

[8] Мандель и Вольф 1995 , с. 541

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]