Отрицательная вероятность

Вероятность распределение результата эксперимента никогда не бывает отрицательной, хотя квазивероятностей допускает отрицательную вероятность или квазивероятность для некоторых событий. Эти распределения могут применяться к ненаблюдаемым событиям или условным вероятностям.

Физико-математический

В 1942 году Поль Дирак написал статью «Физическая интерпретация квантовой механики». где он ввел понятие отрицательных энергий и отрицательных вероятностей :

Отрицательные энергии и вероятности не следует рассматривать как ерунду. Это четко определенные математически понятия, подобно негативу денег.

Позднее идея отрицательных вероятностей привлекла повышенное внимание в физике и особенно в квантовой механике . Ричард Фейнман утверждал что никто не возражает против использования отрицательных чисел в расчетах: хотя «минус три яблока» не является допустимым понятием в реальной жизни, отрицательные деньги действительны. Точно так же он утверждал, что отрицательные вероятности, а также вероятности выше единицы могут быть полезны в расчетах вероятностей .

Позже было предложено использовать отрицательные вероятности для решения ряда проблем и парадоксов . Полумонеты представляют собой простые примеры отрицательных вероятностей. Эти странные монеты были представлены в 2005 году Габором Дж. Секели . Полумонеты имеют бесконечное количество сторон, пронумерованных цифрами 0,1,2,..., а положительные четные числа берутся с отрицательной вероятностью. Две половинки монеты образуют полную монету в том смысле, что если мы подбросим две половинки монеты, то сумма результатов будет равна 0 или 1 с вероятностью 1/2, как если бы мы просто подбросили честную монету.

В факторах свертки неотрицательно определенных функций и алгебраическая теория вероятностей Имре З. Ружа и Габор Дж. Секели доказали, что если случайная величина X имеет знаковое или квазираспределение, где некоторые из вероятностей отрицательны, то всегда можно найти две случайные величины, Y и Z, с обычными (без знака/не квазираспределением). ) распределения такие, что X, Y независимы и X + Y = Z в распределении. Таким образом, X всегда можно интерпретировать как «разницу» двух обычных случайных величин, Z и Y. Если Y интерпретируется как ошибка измерения X, а наблюдаемое значение равно Z, то отрицательные области распределения X маскируются/экранируются. по ошибке Ю.

Другой пример, известный как распределение Вигнера в фазовом пространстве , введенный Юджином Вигнером в 1932 году для изучения квантовых поправок, часто приводит к отрицательным вероятностям. По этой причине позже оно стало более известно как распределение квазивероятностей Вигнера . В 1945 году М. С. Бартлетт выяснил математическую и логическую последовательность такой отрицательной оценки. Функция распределения Вигнера в настоящее время обычно используется в физике и является краеугольным камнем квантования в фазовом пространстве . Его отрицательные черты являются преимуществом формализма и часто указывают на квантовую интерференцию. Отрицательные области распределения защищены от прямого наблюдения принципом квантовой неопределенности : обычно моменты такого неположительно-полуопределенного квазивероятностного распределения сильно ограничены и препятствуют прямой измеримости отрицательных областей распределения. Тем не менее, эти регионы вносят отрицательный и решающий вклад в ожидаемые значения наблюдаемых величин, рассчитанных с помощью таких распределений.

Пример: эксперимент с двумя щелями.

Рассмотрим эксперимент с двумя щелями с фотонами. Две волны, выходящие из каждой щели, можно записать как: $$f_{1}(x)={\sqrt {\frac {dN/dt}{2\pi /d}}}{\frac {1}{\sqrt {d^{2}+(x+a/2)^{2}}}}\exp \left[i(h/\lambda ){\sqrt {d^{2}+(x+a/2)^{2}}}\right],$$ и $$f_{2}(x)={\sqrt {\frac {dN/dt}{2\pi /d}}}{\frac {1}{\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}}}\exp \left[i(h/\lambda ){\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}}\right],$$

где d — расстояние до экрана обнаружения, a — расстояние между двумя щелями, x — расстояние до центра экрана, λ — длина волны, а dN / dt — количество фотонов, испускаемых источником в единицу времени. Амплитуда измерения фотона на расстоянии x от центра экрана представляет собой сумму этих двух амплитуд, выходящих из каждого отверстия, и поэтому вероятность того, что фотон будет обнаружен в положении x, будет равна квадрату этой суммы: $$I(x)=\left\vert f_{1}(x)+f_{2}(x)\right\vert ^{2}=\left\vert f_{1}(x)\right\vert ^{2}+\left\vert f_{2}(x)\right\vert ^{2}+\left[f_{1}^{*}(x)f_{2}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{*}(x)\right],$$

Это можно интерпретировать как известное правило вероятности:

$${\begin{aligned}P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x\,\,going\,\,through\,\,either\,\,slit}})=\,&P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x\,\,going\,\,through\,\,slit\,\,1}})\\&+P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\,\,{\mathtt {going\,\,through\,\,slit\,\,2}})\\&-P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\,\,{\mathtt {going\,\,through\,\,both\,\,slits}})\\\\=\,&P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\,|\,{\mathtt {went\,\,through\,\,slit\,\,1}})\,P({\mathtt {going\,\,through\,\,slit\,\,1}})\\&+P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\,|\,{\mathtt {went\,\,through\,\,slit\,\,2}})\,P({\mathtt {going\,\,through\,\,slit\,\,2}})\\&-P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\,\,{\mathtt {going\,\,through\,\,both\,\,slits}})\\\\=\,&P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\,|\,{\mathtt {went\,\,through\,\,slit\,\,1}})\,{\frac {1}{2}}\\&+P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\,|\,{\mathtt {went\,\,through\,\,slit\,\,2}})\,{\frac {1}{2}}\\&-P({\mathtt {photon\,\,reaches\,\,x}}\,\,{\mathtt {going\,\,through\,\,both\,\,slits}})\end{aligned}}$$

Синим цветом обозначена сумма вероятностей прохождения отверстий 1 и 2; красным цветом минус совместная вероятность прохождения «обех дыр». Интерференционная картина получается сложением двух кривых.

что бы ни означало последнее слово. Действительно, если закрыть одно из отверстий, заставляя фотон пройти через другую щель, две соответствующие интенсивности будут равны

$$I_{1}(x)=\left\vert f_{1}(x)\right\vert ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {dN}{dt}}{\frac {d/\pi }{d^{2}+(x+a/2)^{2}}}$$ и $$I_{2}(x)=\left\vert f_{2}(x)\right\vert ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {dN}{dt}}{\frac {d/\pi }{d^{2}+(x-a/2)^{2}}}.$$

Но теперь, если интерпретировать каждый из этих терминов таким образом, совместная вероятность принимает отрицательные значения примерно каждый раз. $\lambda {\frac {d}{a}}$: $${\begin{aligned}I_{12}(x)&=\left[f_{1}^{*}(x)f_{2}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{*}(x)\right]\\&={\frac {1}{2}}{\frac {dN}{dt}}{\frac {d/\pi }{{\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}}{\sqrt {d^{2}+(x+a/2)^{2}}}}}2\cos \left[(h/\lambda )({\sqrt {d^{2}+(x+a/2)^{2}}}-{\sqrt {d^{2}+(x-a/2)^{2}}})\right]\\\end{aligned}}$$

Однако эти отрицательные вероятности никогда не наблюдаются, поскольку нельзя выделить случаи, когда фотон «проходит через обе щели», но можно намекнуть на существование античастиц.

Финансы

Отрицательные вероятности совсем недавно стали применяться в математических финансах . В количественных финансах большинство вероятностей — это не реальные вероятности, а псевдовероятности, часто так называемые вероятности, нейтральные к риску . Это не реальные вероятности, а теоретические «вероятности» при ряде допущений, которые помогают упростить вычисления, позволяя таким псевдовероятностям быть отрицательными в определенных случаях, как впервые указал Эспен Гардер Хауг в 2004 году.

Строгое математическое определение отрицательных вероятностей и их свойств было недавно получено Марком Бургином и Гюнтером Мейснером (2011). Авторы также показывают, как отрицательные вероятности могут быть применены к ценообразованию финансовых опционов .

Инженерное дело

Концепция отрицательных вероятностей также была предложена для надежных моделей размещения объектов, в которых объекты подвержены отрицательно коррелированным рискам сбоев, когда местоположение объектов, распределение клиентов и планы резервного обслуживания определяются одновременно. Ли и др. предложил структуру виртуальных станций, которая преобразует сеть объекта с положительно коррелированными сбоями в эквивалентную с добавлением виртуальных вспомогательных станций, причем эти виртуальные станции подвергаются независимым сбоям. Такой подход сводит проблему от проблемы с коррелирующими сбоями к проблеме без нее. Се и др. Позже было показано, что с помощью той же модели моделирования можно также устранить отрицательно коррелированные сбои, за исключением того, что виртуальная вспомогательная станция теперь может выйти из строя из-за «склонности к сбоям», которая

... наследует все математические характеристики и свойства вероятности отказа, за исключением того, что мы допускаем, чтобы она была больше 1...

Это открытие открывает возможности для использования компактных смешанно-целочисленных математических программ для оптимального проектирования надежного местоположения объектов обслуживания в зависимости от места и положительных/отрицательных/смешанных корреляций сбоями в работе объектов.

Предложенная концепция «склонности» в Xie et al. оказывается тем, что Фейнман и другие называли «квазивероятностью». Обратите внимание: если квазивероятность больше 1, то 1 минус это значение дает отрицательную вероятность. В контексте надежного местоположения объекта действительно физически проверяемым наблюдением являются состояния нарушения работы объекта (вероятности которых гарантированно находятся в пределах обычного диапазона [0,1]), но не существует прямой информации о состояниях нарушения работы станции или соответствующих им вероятностях. . Следовательно, «вероятности» разрушения станций, интерпретируемые как «вероятности воображаемых промежуточных состояний», могут превышать единицу и поэтому называются квазивероятностями.

См. также

• Существование состояний с отрицательной нормой (или полей с неправильным знаком кинетического члена, таких как призраки Паули – Вилларса ) позволяет вероятностям быть отрицательными. См. Призраки (физика) .
• Подписанная мера
• Распределение квазивероятностей Вигнера