Теорема оптической эквивалентности

Теорема оптической эквивалентности в квантовой оптике утверждает эквивалентность между средним значением оператора в гильбертовом пространстве и средним значением связанной с ним функции в формулировке фазового пространства относительно распределения квазивероятностей . Впервые об этой теореме сообщил Джордж Сударшан в 1963 году для нормально упорядоченных операторов. и позже в том же десятилетии был обобщен до любого порядка.

Пусть Ω — порядок некоммутативных операторов рождения и уничтожения , и пусть $g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })$ — оператор, выражаемый в виде степенного ряда по операторам рождения и уничтожения, удовлетворяющий порядку Ω. Тогда теорема оптической эквивалентности кратко выражается как

$\langle g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })\rangle =\langle g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\rangle .$

Здесь α понимается как собственное значение оператора уничтожения в когерентных состояниях и формально заменяется при разложении g в степенной ряд . Левая часть приведенного выше уравнения представляет собой математическое ожидание в гильбертовом пространстве, тогда как правая часть представляет собой математическое ожидание относительно распределения квазивероятностей.

Мы можем написать каждый из них явно для большей ясности. Позволять ${\hat {\rho }}$ быть оператором плотности и ${\bar {\Omega }}$ — порядок, обратный Ω. Распределение квазивероятностей, связанное с Ω, задается, по крайней мере формально, формулой

${\hat {\rho }}={\frac {1}{\pi }}\int f_{\bar {\Omega }}(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha .$

Приведенное выше уравнение становится

$\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }))=\int f_{\bar {\Omega }}(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha .$

Например, пусть Ω — нормальный порядок . Это означает, что g можно записать в степенной ряд следующего вида:

$g_{N}({\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}})=\sum _{n,m}c_{nm}{\hat {a}}^{\dagger n}{\hat {a}}^{m}.$

Распределение квазивероятностей, связанное с нормальным порядком, представляет собой P-представление Глаубера – Сударшана . В этих терминах мы приходим к

$\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot g_{N}({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }))=\int P(\alpha )g(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha .$

Эта теорема подразумевает формальную эквивалентность между средними значениями нормально упорядоченных операторов в квантовой оптике и соответствующими комплексными числами в классической оптике.