Квантовая информация с непрерывной переменной
с непрерывной переменной ( CV ) Квантовая информация — это область квантовой информатики , которая использует физические наблюдаемые , такие как сила электромагнитного поля , числовые значения которого принадлежат непрерывным интервалам . [1] [2] [3] Одним из основных приложений являются квантовые вычисления . В некотором смысле квантовые вычисления с непрерывной переменной являются «аналоговыми», а квантовые вычисления с использованием кубитов — «цифровыми». Говоря более техническим языком, первый использует гильбертовы пространства бесконечномерные , тогда как гильбертовы пространства для систем, состоящих из наборов кубитов , являются конечномерными. [4] Одной из причин изучения квантовых вычислений с непрерывной переменной является понимание того, какие ресурсы необходимы, чтобы сделать квантовые компьютеры более мощными, чем классические. [5]
Реализация [ править ]
Одним из подходов к реализации протоколов квантовой информации с непрерывной переменной в лаборатории являются методы квантовой оптики . [6] [7] [8] Моделируя каждую моду электромагнитного поля как квантовый гармонический осциллятор с соответствующими операторами рождения и уничтожения, можно определить канонически сопряженную пару переменных для каждой моды, так называемые «квадратуры», которые играют роль положения и импульса. наблюдаемых . Эти наблюдаемые создают фазовое пространство , на котором могут быть определены распределения квазивероятностей Вигнера . Квантовые измерения в такой системе можно проводить с помощью гомодинных и гетеродинных детекторов .
Квантовая телепортация непрерывно-переменной квантовой информации была достигнута оптическими методами в 1998 году. [9] [10] ( Наука назвала этот эксперимент одним из «10 лучших» достижений года. [11] ) В 2013 году методы квантовой оптики были использованы для создания « кластерного состояния », типа подготовки, необходимого для односторонних (основанных на измерениях) квантовых вычислений, включающих более 10 000 запутанных временных мод, доступных по две одновременно. [12] В другой реализации в частотной области, в гребенке оптических частот оптического параметрического генератора, было одновременно запутано 60 мод. [13]
Другое предложение — модифицировать квантовый компьютер с ионной ловушкой : вместо хранения одного кубита на внутренних энергетических уровнях иона можно в принципе использовать положение и импульс иона как непрерывные квантовые переменные. [14]
Приложения [ править ]
Квантовые системы с непрерывной переменной могут использоваться для квантовой криптографии и, в частности, квантового распределения ключей . [1] Квантовые вычисления являются еще одним потенциальным применением, и были рассмотрены различные подходы. [1] Первый метод, предложенный Сетом Ллойдом и Сэмюэлем Л. Браунштейном в 1999 году, был в традиции схемной модели : квантовые логические элементы создаются гамильтонианами , которые в данном случае являются квадратичными функциями квадратур гармонического осциллятора. [5] Позже квантовые вычисления, основанные на измерениях, были адаптированы к условиям бесконечномерных гильбертовых пространств. [15] [16] Тем не менее, третья модель квантовых вычислений с непрерывной переменной кодирует конечномерные системы (наборы кубитов ) в бесконечномерные. Эта модель принадлежит Дэниелу Готтесману , Алексею Китаеву и Джону Прескиллу . [17]
Классическая эмуляция [ править ]
Во всех подходах к квантовым вычислениям важно знать, может ли рассматриваемая задача эффективно выполняться классическим компьютером. Алгоритм . может быть описан на языке квантовой механики, но при более тщательном анализе оказывается, что его можно реализовать, используя только классические ресурсы Такой алгоритм не сможет в полной мере использовать дополнительные возможности, предоставляемые квантовой физикой. В теории квантовых вычислений с использованием конечномерных гильбертовых пространств теорема Готтесмана-Нилла показывает, что существует набор квантовых процессов, которые можно эффективно эмулировать на классическом компьютере. Обобщая эту теорему на случай непрерывных переменных, можно показать, что аналогичным образом класс квантовых вычислений с непрерывными переменными можно моделировать, используя только классические аналоговые вычисления. В этот класс входят, по сути, некоторые вычислительные задачи, использующие квантовую запутанность . [18] Когда квазивероятностные представления Вигнера всех величин — состояний, временной эволюции и измерений — участвующих в вычислении, неотрицательны, тогда их можно интерпретировать как обычные распределения вероятностей, указывая на то, что вычисление можно смоделировать как по существу классическое. [15] Этот тип конструкции можно рассматривать как континуальное обобщение игрушечной модели Спеккенса . [19]
систем с помощью дискретных Вычисление непрерывных функций квантовых
Иногда, и это несколько сбивает с толку, термин «непрерывные квантовые вычисления» используется для обозначения другой области квантовых вычислений: исследования того, как использовать квантовые системы, имеющие конечномерные гильбертовые пространства, для вычисления или аппроксимации ответов на математические вопросы, связанные с непрерывными вычислениями. функции . Основной мотивацией для исследования квантовых вычислений непрерывных функций является то, что многие научные проблемы имеют математические формулировки в терминах непрерывных величин. [20] Вторая мотивация — изучить и понять, каким образом квантовые компьютеры могут быть более мощными, чем классические. Вычислительную сложность задачи можно определить количественно с точки зрения минимальных вычислительных ресурсов, необходимых для ее решения. В квантовых вычислениях ресурсы включают количество кубитов, доступных компьютеру, и количество запросов , которые можно сделать к этому компьютеру. Известна классическая сложность многих непрерывных задач. Поэтому, когда будет получена квантовая сложность этих задач, можно будет ответить на вопрос, являются ли квантовые компьютеры мощнее классических. Кроме того, степень улучшения можно оценить количественно. Напротив, сложность дискретных задач обычно неизвестна. Например, классическая сложность факторизации целых чисел неизвестна .
Одним из примеров научной проблемы, которая естественным образом выражается в непрерывных терминах, является интеграция путей . Общая техника интеграции путей имеет множество применений, включая квантовую механику , квантовую химию , статистическую механику и вычислительные финансы . Поскольку случайность присутствует во всей квантовой теории, обычно требуется, чтобы квантовая вычислительная процедура давала правильный ответ не с уверенностью, а с высокой вероятностью. Например, можно стремиться к процедуре, которая вычисляет правильный ответ с вероятностью не менее 3/4. Также указывается степень неопределенности, обычно путем установки максимально допустимой ошибки. Таким образом, целью квантового вычисления может быть вычисление численного результата задачи интегрирования по путям с точностью до ошибки не более ε с вероятностью 3/4 или более. В этом контексте известно, что квантовые алгоритмы могут превосходить свои классические аналоги, а вычислительная сложность интеграции путей, измеряемая количеством раз, которое, как ожидается, придется отправить запрос квантовому компьютеру, чтобы получить хороший ответ, растет по мере того, как обратная ε. [21]
Другие непрерывные задачи, для решения которых изучались квантовые алгоритмы, включают поиск собственных значений матрицы , [22] оценка фазы, [23] проблема собственных значений Штурма – Лиувилля, [24] решение дифференциальных уравнений по формуле Фейнмана–Каца , [25] проблемы с начальной стоимостью, [26] аппроксимация функции [27] многомерная интеграция., [28] и квантовая криптография [29]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с Видбрук, Кристиан; Пирандола, Стефано; Гарсиа-Патрон, Рауль; Серф, Николас Дж.; Ральф, Тимоти К.; Шапиро, Джеффри Х.; Ллойд, Сет (1 мая 2012 г.). «Гауссова квантовая информация». Обзоры современной физики . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Бибкод : 2012РвМП...84..621Вт . дои : 10.1103/RevModPhys.84.621 . S2CID 119250535 .
- ^ Браунштейн, Сэмюэл Л.; ван Лок, Питер (29 июня 2005 г.). «Квантовая информация с непрерывными переменными». Обзоры современной физики . 77 (2): 513–577. arXiv : Quant-ph/0410100 . Бибкод : 2005РвМП...77..513Б . дои : 10.1103/RevModPhys.77.513 . S2CID 118990906 .
- ^ Адессо, Херардо; Рэджи, Сэмми; Ли, Энтони Р. (12 марта 2014 г.). «Непрерывная переменная квантовая информация: гауссовы состояния и не только». Открытые системы и информационная динамика . 21 (1n02): 1440001. arXiv : 1401.4679 . дои : 10.1142/S1230161214400010 . ISSN 1230-1612 . S2CID 15318256 .
- ^ Браунштейн, СЛ; Пати, АК (6 декабря 2012 г.). Квантовая информация с непрерывными переменными . Springer Science & Business Media. CiteSeerX 10.1.1.762.4959 . дои : 10.1007/978-94-015-1258-9 . ISBN 9789401512589 .
- ^ Перейти обратно: а б Ллойд, Сет ; Браунштейн, Сэмюэл Л. (1 января 1999 г.). «Квантовые вычисления над непрерывными переменными». Письма о физических отзывах . 82 (8): 1784–1787. arXiv : Quant-ph/9810082 . Бибкод : 1999PhRvL..82.1784L . doi : 10.1103/PhysRevLett.82.1784 . S2CID 119018466 .
- ^ Бартлетт, Стивен Д.; Сандерс, Барри К. (1 января 2002 г.). «Универсальные квантовые вычисления с непрерывной переменной: требование оптической нелинейности для подсчета фотонов». Физический обзор А. 65 (4): 042304. arXiv : quant-ph/0110039 . Бибкод : 2002PhRvA..65d2304B . дои : 10.1103/PhysRevA.65.042304 . S2CID 118896298 .
- ^ Меникуччи, Николас К.; Фламмия, Стивен Т.; Пфистер, Оливье (14 июля 2008 г.). «Односторонние квантовые вычисления в гребенке оптических частот». Письма о физических отзывах . 101 (13): 130501. arXiv : 0804.4468 . Бибкод : 2008PhRvL.101m0501M . doi : 10.1103/PhysRevLett.101.130501 . ПМИД 18851426 . S2CID 1307950 .
- ^ Таска, Д.С.; Гомес, Р.М.; Тоскано, Ф.; Соуто Рибейро, PH; Уолборн, SP (01 января 2011 г.). «Квантовые вычисления с непрерывными переменными и пространственными степенями свободы фотонов». Физический обзор А. 83 (5): 052325. arXiv : 1106.3049 . Бибкод : 2011PhRvA..83e2325T . дои : 10.1103/PhysRevA.83.052325 . S2CID 118688635 .
- ^ Фурусава, А.; Соренсен, Дж.Л.; Браунштейн, СЛ; Фукс, Калифорния; Кимбл, HJ; Ползик, Э.С. (23 октября 1998 г.). «Безусловная квантовая телепортация». Наука . 282 (5389): 706–709. Бибкод : 1998Sci...282..706F . дои : 10.1126/science.282.5389.706 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 9784123 .
- ^ Браунштейн, Сэмюэл Л.; Фукс, Кристофер А.; Кимбл, HJ (1 февраля 2000 г.). «Критерии квантовой телепортации с непрерывной переменной». Журнал современной оптики . 47 (2–3): 267–278. arXiv : Quant-ph/9910030 . Бибкод : 2000JMOp...47..267B . дои : 10.1080/09500340008244041 . ISSN 0950-0340 . S2CID 16713029 .
- ^ «Занявшие второе место: новости и редакция». Наука . 282 (5397): 2157–2161. 18 декабря 1998 г. Бибкод : 1998Sci...282.2157. . дои : 10.1126/science.282.5397.2157 . ISSN 0036-8075 . S2CID 220101560 .
- ^ Ёкояма, Шота; Укай, Рюдзи; Армстронг, Сейджи К.; Сорнфипхатфонг, Шанонд; Кадзи, Тосиюки; Сузуки, Сигенари; Ёсикава, Дзюнъити; Ёнедзава, Хидехиро; Меникуччи, Николас К. (2013). «Сверхкрупномасштабные состояния кластера с непрерывными переменными, мультиплексированные во временной области». Природная фотоника . 7 (12): 982–986. arXiv : 1306.3366 . Бибкод : 2013NaPho...7..982Y . дои : 10.1038/nphoton.2013.287 . S2CID 53575929 .
- ^ Чен, Моран; Меникуччи, Николас К.; Пфистер, Оливье (28 марта 2014 г.). «Экспериментальная реализация многочастичного перепутывания 60 мод квантовой оптической гребенки частот». Письма о физических отзывах . 112 (12): 120505. arXiv : 1311.2957 . Бибкод : 2014PhRvL.112l0505C . doi : 10.1103/PhysRevLett.112.120505 . ПМИД 24724640 . S2CID 18093254 .
- ^ Ортис-Гутьеррес, Луис; Габриэлли, Бруна; Муньос, Луис Ф.; Перейра, Кайна Т.; Филгейрас, Джефферсон Г.; Вильяр, Алессандро С. (15 августа 2017 г.). «Квантовые вычисления непрерывных переменных на колебательных модах одного захваченного иона». Оптические коммуникации . 397 : 166–174. arXiv : 1603.00065 . Бибкод : 2017OptCo.397..166O . дои : 10.1016/j.optcom.2017.04.011 . S2CID 118617424 .
- ^ Перейти обратно: а б Меникуччи, Николас К.; ван Лок, Питер; Гу, Майл; Видбрук, Кристиан; Ральф, Тимоти К.; Нильсен, Майкл А. (13 сентября 2006 г.). «Универсальные квантовые вычисления с состояниями кластера с непрерывной переменной». Письма о физических отзывах . 97 (11): 110501. arXiv : quant-ph/0605198 . Бибкод : 2006PhRvL..97k0501M . doi : 10.1103/PhysRevLett.97.110501 . ПМИД 17025869 . S2CID 14715751 .
- ^ Чжан, Цзин; Браунштейн, Сэмюэл Л. (16 марта 2006 г.). «Гауссов аналог кластерных состояний с непрерывной переменной». Физический обзор А. 73 (3): 032318. arXiv : quant-ph/0501112 . Бибкод : 2006PhRvA..73c2318Z . дои : 10.1103/PhysRevA.73.032318 . S2CID 119511825 .
- ^ Готтесман, Дэниел; Китаев, Алексей; Прескилл, Джон (11 июня 2001 г.). «Кодирование кубита в генераторе». Физический обзор А. 64 (1): 012310. arXiv : quant-ph/0008040 . Бибкод : 2001PhRvA..64a2310G . дои : 10.1103/PhysRevA.64.012310 . S2CID 18995200 .
- ^ Бартлетт, Стивен Д.; Сандерс, Барри К.; Браунштейн, Сэмюэл Л.; Немото, Каэ (14 февраля 2002 г.). «Эффективное классическое моделирование непрерывных переменных квантовых информационных процессов». Письма о физических отзывах . 88 (9): 097904. arXiv : quant-ph/0109047 . Бибкод : 2002PhRvL..88i7904B . doi : 10.1103/PhysRevLett.88.097904 . ПМИД 11864057 . S2CID 2161585 .
- ^ Бартлетт, Стивен Д.; Рудольф, Терри; Спеккенс, Роберт В. (10 июля 2012 г.). «Реконструкция гауссовой квантовой механики из механики Лиувилля с эпистемическим ограничением». Физический обзор А. 86 (1): 012103. arXiv : 1111.5057 . Бибкод : 2012PhRvA..86a2103B . дои : 10.1103/PhysRevA.86.012103 . S2CID 119235025 .
- ^ Папагеоргиу, А. «Непрерывные квантовые вычисления: описание проекта» . Quantum.cs.columbia.edu . Проверено 15 мая 2017 г.
- ^ Трауб, Дж. Ф.; Возняковский, Х. (1 октября 2002 г.). «Интеграция путей на квантовом компьютере». Квантовая обработка информации . 1 (5): 365–388. arXiv : Quant-ph/0109113 . дои : 10.1023/А:1023417813916 . ISSN 1570-0755 . S2CID 5821196 .
- ^ Якш, Питер; Папагеоргиу, Анаргирос (19 декабря 2003 г.). «Приближение собственных векторов, приводящее к экспоненциальному ускорению расчета собственных квантовых значений». Письма о физических отзывах . 91 (25): 257902. arXiv : quant-ph/0308016 . Бибкод : 2003PhRvL..91y7902J . doi : 10.1103/PhysRevLett.91.257902 . ПМИД 14754158 . S2CID 1855075 .
- ^ Бессен, Арвид Дж. (8 апреля 2005 г.). «Нижняя граница оценки квантовой фазы». Физический обзор А. 71 (4): 042313. arXiv : quant-ph/0412008 . Бибкод : 2005PhRvA..71d2313B . дои : 10.1103/PhysRevA.71.042313 . S2CID 118887469 .
- ^ Папагеоргиу, А.; Возняковский, Х (2005). «Классическая и квантовая сложность проблемы собственных значений Штурма – Лиувилля». Квантовая обработка информации . 4 (2): 87–127. arXiv : Quant-ph/0502054 . Бибкод : 2005quant.ph..2054P . дои : 10.1007/s11128-005-4481-x . S2CID 11089349 .
Папагеоргиу, А.; Возняковски, Х. (1 апреля 2007 г.). «Проблема собственных значений Штурма-Лиувилля и NP-полные задачи в квантовой среде с запросами». Квантовая обработка информации . 6 (2): 101–120. arXiv : Quant-ph/0504191 . дои : 10.1007/s11128-006-0043-0 . ISSN 1570-0755 . S2CID 7604869 . - ^ Квас, Марек (18 октября 2004 г.). «Сложность многомерной интеграции путей Фейнмана-Каца в рандомизированных и квантовых условиях». arXiv : Quant-ph/0410134 .
- ^ Качевич, Болеслав (2004). «Рандомизированные и квантовые алгоритмы ускоряют решение задач с начальными значениями». Журнал сложности . 20 (6): 821–834. arXiv : Quant-ph/0311148 . дои : 10.1016/j.jco.2004.05.002 . S2CID 9949704 .
Щесны, Марек (12 декабря 2006 г.). «Рандомизированное и квантовое решение начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений порядка k». arXiv : Quant-ph/0612085 .
Качевич, Болеслав (2005). «Улучшенные оценки рандомизированной и квантовой сложности задач с начальным значением». Журнал сложности . 21 (5): 740–756. arXiv : Quant-ph/0405018 . дои : 10.1016/j.jco.2005.05.003 . S2CID 5934254 . - ^ Новак, Эрих; Слоан, Ян Х.; Возняковский, Хенрик (1 апреля 2004 г.). «Разрешимость аппроксимации весовых пространств Коробова на классических и квантовых компьютерах». Основы вычислительной математики . 4 (2): 121–156. arXiv : Quant-ph/0206023 . дои : 10.1007/s10208-002-0074-6 . ISSN 1615-3375 . S2CID 10519614 .
Генрих, Стефан (2004). «Квантовое приближение I. Вложения конечномерных пространств Lp». Журнал сложности . 20 (1): 5–26. arXiv : Quant-ph/0305030 . дои : 10.1016/j.jco.2003.08.002 . S2CID 6044488 .
Генрих, Стефан (2004). «Квантовое приближение II. Вложения Соболева». Журнал сложности . 20 (1): 27–45. arXiv : Quant-ph/0305031 . дои : 10.1016/j.jco.2003.08.003 . S2CID 6061625 . - ^ Генрих, Стефан (2002). «Квантовое суммирование с применением к интегрированию». Журнал сложности . 18 (1): 1–50. arXiv : Quant-ph/0105116 . дои : 10.1006/jcom.2001.0629 . S2CID 14365504 .
Генрих, Стефан (1 февраля 2003 г.). «Квантовое интегрирование в классах Соболева». Журнал сложности . 19 (1): 19–42. arXiv : Quant-ph/0112153 . дои : 10.1016/S0885-064X(02)00008-0 . S2CID 5471897 .
Новак, Эрих (2001). «Квантовая сложность интегрирования». Журнал сложности . 17 (1): 2–16. arXiv : Quant-ph/0008124 . дои : 10.1006/jcom.2000.0566 . S2CID 2271590 . - ^ Му, Йи (1996). «Общие криптографические биты через квантованные квадратурные фазовые амплитуды света». Журнал оптических коммуникаций . 123 (1–3): 334–352. Бибкод : 1996OptCo.123..344M . дои : 10.1016/0030-4018(95)00688-5 . S2CID 18374270 .
