Постоянный кодекс

Код Стина — это инструмент квантовой коррекции ошибок, представленный Эндрю Стином в 1996 году. Это код CSS (Калдербанк-Шор-Стин), использующий классический двоичный код Хэмминга [7,4,3] для исправления обоих кубитов. ошибок переворота (ошибки X) и ошибки переворота фазы (ошибки Z). Код Стина кодирует один логический кубит в 7 физических кубитах и способен исправлять произвольные ошибки одного кубита.

Его проверочная матрица в стандартной форме имеет вид

{\begin{bmatrix}H&0\\0&H\end{bmatrix}}

где H — матрица проверки четности кода Хэмминга и определяется выражением

H={\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&1&1\\0&1&0&1&1&0&1\\0&0&1&0&1&1&1\end{bmatrix}}.

The $[[7,1,3]]$ Код Стина — первый в семействе квантовых кодов Хэмминга, кодов с параметрами $[[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]$ для целых чисел $r\geq 3$ . Это также квантовый цветовой код.

формализме стабилизатора Выражение в

В квантовом коде, исправляющем ошибки, кодовое пространство — это подпространство общего гильбертова пространства, в котором существуют все логические состояния. В $n$ -кубитного кода стабилизатора , мы можем описать это подпространство с помощью его стабилизирующей группы Паули, набора всех $n$ -кубитные операторы Паули, которые стабилизируют каждое логическое состояние. Формализм стабилизатора позволяет нам определить кодовое пространство кода стабилизатора, указав его стабилизирующую группу Паули. Мы можем эффективно описать эту экспоненциально большую группу, перечислив ее генераторы .

Поскольку код Стина кодирует один логический кубит в 7 физических кубитах, кодовое пространство для кода Стина представляет собой $2$ -мерное подпространство его $2^{7}$ -мерное гильбертово пространство.

В формализме стабилизатора код Стина имеет 6 генераторов:

{\begin{aligned}&IIIXXXX\\&IXXIIXX\\&XIXIXIX\\&IIIZZZZ\\&IZZIIZZ\\&ZIZIZIZ.\end{aligned}}

Обратите внимание, что каждый из приведенных выше генераторов представляет собой тензорное произведение 7 однокубитных операций Паули. Например, $IIIXXXX$ это просто сокращение от $I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X$ , то есть тождество первых трех кубитов и $X$ вентиль на каждом из последних четырех кубитов. Тензорные произведения часто опускаются в обозначениях для краткости.

Логическое $X$ и $Z$ ворота

{\begin{aligned}X_{L}&=XXXXXXX\\Z_{L}&=ZZZZZZZ.\end{aligned}}

Логическое $|0\rangle$ и $|1\rangle$ состояния кода Стина

{\begin{aligned}|0\rangle _{L}=&{\frac {1}{\sqrt {8}}}[|0000000\rangle +|1010101\rangle +|0110011\rangle +|1100110\rangle \\&+|0001111\rangle +|1011010\rangle +|0111100\rangle +|1101001\rangle ]\\|1\rangle _{L}=&X_{L}|0\rangle _{L}.\end{aligned}}

Произвольные кодовые состояния имеют вид $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}$ .

Ссылки [ править ]

Стейн, Эндрю (1996). «Многочастичная интерференция и квантовая коррекция ошибок». Учеб. Р. Сок. Лонд. А. 452 (1954): 2551–2577. arXiv : Quant-ph/9601029 . Бибкод : 1996RSPSA.452.2551S . дои : 10.1098/rspa.1996.0136 . S2CID 8246615 .