Квантовая емкость

В теории квантовой связи квантовая емкость — это наивысшая скорость, с которой квантовая информация может передаваться при многих независимых использованиях зашумленного квантового канала от отправителя к получателю. Он также равен максимальной скорости, с которой может возникнуть запутывание в канале, и прямая классическая связь не может его улучшить. Теорема о квантовой емкости важна для теории квантовой коррекции ошибок и, в более широком смысле, для теории квантовых вычислений . Теорема, дающая нижнюю границу квантовой пропускной способности любого канала, в просторечии известна как теорема LSD, в честь авторов Ллойда , Шор , и Деветак который доказал это с возрастающей строгостью.

Хеширование для каналов Паули

Теорема LSD утверждает, что когерентная информация квантового канала — это достижимая скорость для надежной квантовой связи. Для канала Паули связная информация имеет простую форму и доказательство того, что это достижимо, также особенно просто. Мы докажите теорему для этого особого случая, используя случайные коды стабилизатора и исправляя только вероятные ошибки, которые производит канал.

Теорема (ограничение хеширования). Существует стабилизирующий квантовый код исправления ошибок , который достигает предела хеширования. $R=1-H\left(\mathbf {p} \right)$ для канала Паули следующего вида:

$$\rho \mapsto p_{I}\rho +p_{X}X\rho X+p_{Y}Y\rho Y+p_{Z}Z\rho Z,$$

где $\mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)$ и $H\left(\mathbf {p} \right)$ - энтропия этого вектора вероятности.

Доказательство . Рассмотрите возможность исправления только типичных ошибок. То есть рассмотрим определение типичный набор ошибок следующий:

$$T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\equiv \left\{a^{n}:\left\vert -{\frac {1}{n}}\log _{2}\left(\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\right)-H\left(\mathbf {p} \right)\right\vert \leq \delta \right\},$$

где $a^{n}$ это некоторая последовательность, состоящая из букв $\left\{I,X,Y,Z\right\}$ и $\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}$ - это вероятность того, что канал IID Паули выдаст некоторую ошибку тензорного произведения $E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}$. Этот типичный набор состоит из вероятных ошибок в том смысле, что

$$\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\geq 1-\epsilon ,$$

для всех $\epsilon >0$ и достаточно большой $n$. Исправление ошибокусловия для кода стабилизатора ${\mathcal {S}}$ в данном случае это $\{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}$ является исправимым набором ошибок, если

$$E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\notin N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}},$$

для всех пар ошибок $E_{a^{n}}$ и $E_{b^{n}}$ такой, что $a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}$ где $N({\mathcal {S}})$ является нормализатором ​ ${\mathcal {S}}$. Также рассматривается математическое ожидание вероятности ошибки при случайном выборе кода стабилизатора.

Действуйте следующим образом:

$${\begin{aligned}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{p_{e}\right\}&=\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}\\&\leq \mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right\}+\epsilon .\end{aligned}}$$

Первое равенство следует по определению: ${\mathcal {I}}$ – индикаторная функция, равная единице, если $E_{a^{n}}$ является неисправимым при ${\mathcal {S}}$ и равна нулю в противном случае. Первое неравенство следует из того, что мы исправляем только типичные ошибки, поскольку набор нетипичных ошибок имеет пренебрежимо малую массу вероятности. Второе равенство получается путем замены математического ожидания и суммы. Третье равенство следует из того, что ожидание индикаторной функции — это вероятность того, что выбранное ею событие произойдет.

Продолжая, мы имеем:

$$=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\right\}$$

$\leq \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{A^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}$

$=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\bigcup \limits _{b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}$

$\leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}$

$\leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}2^{-\left(n-k\right)}$

$\leq 2^{2n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-\left(n-k\right)}$

$=2^{-n\left[1-H\left(\mathbf {p} \right)-k/n-3\delta \right]}.$

Первое равенство следует из условий исправления ошибок для кода квантового стабилизатора, где $N\left({\mathcal {S}}\right)$ является нормализатором ${\mathcal {S}}$. Первое неравенство следует из игнорирования любого потенциального вырождения в коде: мы считаем ошибку неисправимой, если она лежит в нормализаторе $N\left({\mathcal {S}}\right)$ и вероятность может быть больше только потому, что $N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)$. Второе равенство следует из осознания того, что вероятности критерия существования и объединения событий эквивалентны. Второе неравенство следует из применения оценки объединения. Третье неравенство следует из того, что вероятность фиксированного оператора $E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}$ не равно тождеству, коммутирующему соператоры стабилизатора случайного стабилизатора могут быть ограничены сверху следующим образом: $\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}={\frac {2^{n+k}-1}{2^{2n}-1}}\leq 2^{-\left(n-k\right)}.$Аргументация здесь состоит в том, что случайный выбор кода стабилизатора эквивалентеноператоры фиксации $Z_{1}$, ..., $Z_{n-k}$ и выполнение равномерно случайногоКлиффорд унитарный. Вероятность того, что фиксированный оператор коммутирует с ${\overline {Z}}_{1}$, ..., ${\overline {Z}}_{n-k}$ тогда это просто количествонетождественные операторы в нормализаторе ( $2^{n+k}-1$) разделить на общее количество нетождественных операторов ( $2^{2n}-1$). После применения приведенной выше оценки мы затем используем следующие границы типичности:

$$\forall a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}:\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\leq 2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]},$$

$$\left\vert T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\right\vert \leq 2^{n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}.$$

Делаем вывод, что пока скорость $k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta$математическое ожидание вероятности ошибки становится сколь угодно малым, так что существует хотя бы один выбор кода стабилизатора с одинаковой границей вероятности ошибки.

См. также

• Квантовые вычисления