Теорема Глисона

В математической физике теорема Глисона показывает, что правило, используемое для расчета вероятностей в квантовой физике , правило Борна , может быть выведено из обычного математического представления измерений в квантовой физике вместе с предположением о неконтекстуальности . Эндрю М. Глисон впервые доказал теорему в 1957 году: ^{[ 1 ]} ответ на вопрос, заданный Джорджем Макки , достижение, которое было исторически значимым, поскольку оно сыграло роль в демонстрации того, что широкие классы теорий скрытых переменных несовместимы с квантовой физикой. С тех пор было доказано множество вариаций. Теорема Глисона имеет особое значение для области квантовой логики и ее попытки найти минимальный набор математических аксиом для квантовой теории.

Формулировка теоремы

Концептуальный фон

В квантовой механике каждой физической системе соответствует гильбертово пространство . Для целей этого обзора предполагается, что гильбертово пространство конечномерно. В подходе, систематизированном Джоном фон Нейманом , измерение физической системы представлено самосопряженным оператором в этом гильбертовом пространстве, которое иногда называют «наблюдаемым». Собственные векторы такого оператора образуют ортонормированный базис гильбертова пространства, и каждый возможный результат этого измерения соответствует одному из векторов, составляющих базис. Оператор плотности — это положительно-полуопределенный оператор в гильбертовом пространстве, след которого равен 1. На языке фон Вайцзекера оператор плотности — это «каталог вероятностей»: для каждого измерения, которое можно определить, распределение вероятностей по результаты этого измерения можно вычислить с помощью оператора плотности. ^{[ 2 ]} Процедурой для этого является правило Борна , которое гласит, что $P(x_{i})=\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho ),$ где $\rho$ – оператор плотности, а $\Pi _{i}$ — оператор проецирования на базисный вектор, соответствующий результату измерения $x_{i}$ .

Правило Борна связывает вероятность с каждым единичным вектором в гильбертовом пространстве таким образом, что сумма этих вероятностей равна 1 для любого набора единичных векторов, содержащего ортонормированный базис. Более того, вероятность, связанная с единичным вектором, является функцией оператора плотности и единичного вектора, а не дополнительной информации, такой как выбор базиса для встраивания этого вектора. Теорема Глисона устанавливает обратное: все присвоения вероятностей единичные векторы (или, что то же самое, проектирующие на них операторы), удовлетворяющие этим условиям, принимают форму применения правила Борна к некоторому оператору плотности. Теорема Глисона верна, если размерность гильбертова пространства равна 3 или больше; контрпримеры существуют для измерения 2.

Вывод пространства состояний и правила Борна

Вероятность любого результата измерения квантовой системы должна быть действительным числом от 0 до 1 включительно, и чтобы быть непротиворечивым, для любого отдельного измерения вероятности различных возможных результатов должны в сумме составлять 1. Теорема Глисона показывает, что что любая функция, которая присваивает вероятности результатам измерений, определяемые операторами проекции, должна быть выражена через оператор плотности и правило Борна. Это дает не только правило расчета вероятностей, но и определяет множество возможных квантовых состояний.

Позволять $f$ быть функцией операторов проектирования на единичный интервал, обладающей тем свойством, что, если множество $\{\Pi _{i}\}$ проекционных операторов суммируются с единичной матрицей (т. е. если они соответствуют ортонормированному базису), то $\sum _{i}f(\Pi _{i})=1.$

Такая функция выражает присвоение значений вероятности результатам измерений, присвоение, которое является «внеконтекстным» в том смысле, что вероятность результата не зависит от того, в какое измерение включен этот результат, а только от математического представления этот конкретный результат, т. е. его оператор проекции. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^: §1.3^{[ 5 ]}^: §2.1^{[ 6 ]} Теорема Глисона утверждает, что для любой такой функции $f$ , существует положительно-полуопределенный оператор $\rho$ с единичным следом, таким, что $f(\Pi _{i})=\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho ).$

И правило Борна, и тот факт, что «каталоги вероятностей» являются положительно-полуопределенными операторами единичного следа, следуют из предположений, что измерения представлены ортонормированными базисами и что присвоения вероятностей «неконтекстуальны». Чтобы теорема Глисона была применима, пространство, в котором определяются измерения, должно быть вещественным или комплексным гильбертовым пространством или кватернионным модулем . ^{[ а ]} (Аргумент Глисона неприменим, если, например, попытаться построить аналог квантовой механики, используя p -адические числа .)

История и схема доказательства Глисона

В 1932 году Джон фон Нейман также сумел вывести правило Борна в своем учебнике Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [ Математические основы квантовой механики ]. Однако предположения, на которых фон Нейман построил свое доказательство, были довольно сильными и в конечном итоге были признаны недостаточно обоснованными. ^{[ 14 ]} В частности, фон Нейман предположил, что функция вероятности должна быть линейной для всех наблюдаемых, коммутирующих или некоммутирующих. Его доказательство было высмеяно Джоном Беллом как «не просто ложное, но и глупое!». ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} Глисон, с другой стороны, не предполагал линейности, а просто предполагал аддитивность коммутирующих проекторов вместе с неконтекстуальностью, предположения, которые считались более мотивированными и более физически значимыми. ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

К концу 1940-х годов Джордж Макки заинтересовался математическими основами квантовой физики, в частности, задаваясь вопросом, является ли правило Борна единственным возможным правилом для расчета вероятностей в теории, которая представляет измерения как ортонормированные основы в гильбертовом пространстве. ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} Макки обсуждал эту проблему с Ирвингом Сигалом из Чикагского университета , который, в свою очередь, поднял ее с Ричардом Кэдисоном , тогда еще аспирантом. Кадисон показал, что для двумерных гильбертовых пространств существует вероятностная мера, не соответствующая квантовым состояниям и правилу Борна. Результат Глисона подразумевает, что это происходит только в измерении 2. ^{[ 19 ]}

Первоначальное доказательство Глисона проходит в три этапа. ^{[ 20 ]}^: §2 В терминологии Глисона фреймовая функция — это функция с действительным знаком. $f$ на единичной сфере гильбертова пространства такая, что $\sum _{i}f(x_{i})=1$ всякий раз, когда векторы $x_{i}$ содержат ортонормированный базис. Неконтекстное присвоение вероятности, определенное в предыдущем разделе, эквивалентно функции кадра. ^{[ б ]} Любая такая мера, которую можно записать стандартным образом, то есть применяя правило Борна к квантовому состоянию, называется регулярной функцией системы отсчета. Глисон выводит последовательность лемм о том, когда реперная функция обязательно является регулярной, кульминацией которой является окончательная теорема. Во-первых, он устанавливает, что каждая непрерывная реперная функция в гильбертовом пространстве $\mathbb {R} ^{3}$ является регулярным. На этом этапе используется теория сферических гармоник . Затем он доказывает, что фрейм функционирует на $\mathbb {R} ^{3}$ должны быть непрерывными, что и устанавливает теорему для частного случая $\mathbb {R} ^{3}$ . Этот шаг считается самым трудным из доказательств. ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} Наконец, он показывает, что общую проблему можно свести к этому частному случаю. Глисон приписывает одну лемму, использованную на этом последнем этапе доказательства, своему аспиранту Ришару Пале . ^{[ 1 ]}^{: фн 3}

Робин Лит Хадсон охарактеризовал теорему Глисона как «знаменитую и чрезвычайно сложную». ^{[ 23 ]} Кук, Кин и Моран позже представили доказательство, которое длиннее, чем доказательство Глисона, но требует меньшего количества предварительных условий. ^{[ 21 ]}

Подразумеваемое

Теорема Глисона выдвигает на первый план ряд фундаментальных проблем квантовой теории измерений. Как утверждает Фукс , эта теорема «представляет собой чрезвычайно мощный результат», поскольку «она указывает на степень, в которой вероятностное правило Борна и даже структура пространства состояний операторов плотности зависят от других постулатов теории». Как следствие, квантовая теория представляет собой «более тесную упаковку, чем можно было подумать на первый взгляд». ^{[ 24 ]}^: 94–95 Соответственно, различные подходы к повторному выводу квантового формализма из альтернативных аксиом использовали теорему Глисона в качестве ключевого шага, устраняющего разрыв между структурой гильбертова пространства и правилом Борна. ^{[ с ]}

Скрытые переменные

Более того, эта теорема имеет историческое значение, поскольку она сыграла роль в исключении возможности существования определенных классов скрытых переменных в квантовой механике. теория скрытых переменных Детерминированная подразумевает, что вероятность данного результата всегда равна 0 или 1. Например, измерение Штерна-Герлаха на атоме со спином 1 покажет, что угловой момент атома вдоль выбранной оси равен единице. трех возможных значений, которые можно обозначить $-$ , $0$ и $+$ . В детерминированной теории скрытых переменных существует основное физическое свойство, которое фиксирует результат, полученный при измерении. В зависимости от ценности лежащего в основе физического свойства любой данный результат (например, результат $+$ ) должно быть либо невозможно, либо гарантировано. Но из теоремы Глисона следует, что такой детерминированной вероятностной меры не может быть. Отображение $u\to \langle \rho u,u\rangle$ непрерывен на единичной сфере гильбертова пространства для любого оператора плотности $\rho$ . Поскольку эта единичная сфера связна , никакая непрерывная вероятностная мера на ней не может быть детерминированной. ^{[ 26 ]}^: §1.3 Таким образом, теорема Глисона предполагает, что квантовая теория представляет собой глубокий и фундаментальный отход от классической интуиции, согласно которой неопределенность возникает из-за незнания скрытых степеней свободы. ^{[ 27 ]} Более конкретно, теорема Глисона исключает модели со скрытыми переменными, которые являются «неконтекстуальными». Чтобы избежать последствий теоремы Глисона, любая модель скрытых переменных для квантовой механики должна включать скрытые переменные, которые не являются свойствами, принадлежащими только измеряемой системе, но также зависят от внешнего контекста, в котором производятся измерения. Этот тип зависимости часто рассматривается как надуманный или нежелательный; в некоторых случаях это несовместимо со специальной теорией относительности . ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}

Чтобы построить контрпример для двумерного гильбертова пространства, известного как кубит , пусть скрытой переменной будет единичный вектор. ${\vec {\lambda }}$ в трехмерном евклидовом пространстве. Используя сферу Блоха , каждое возможное измерение кубита можно представить как пару противоположных точек на единичной сфере. Определение вероятности результата измерения равной 1, если точка, представляющая этот результат, находится в том же полушарии, что и ${\vec {\lambda }}$ и 0 в противном случае дает присвоение вероятностей результатам измерения, которое подчиняется предположениям Глисона. Однако это присвоение вероятности не соответствует ни одному допустимому оператору плотности. Введя распределение вероятностей по возможным значениям ${\vec {\lambda }}$ , можно построить модель кубита со скрытыми переменными, которая воспроизводит предсказания квантовой теории. ^{[ 27 ]}^{[ 29 ]}

Теорема Глисона послужила мотивом для более поздних работ Джона Белла , Эрнста Спекера и Саймона Кохена , которые привели к результату, часто называемому теоремой Кохена-Спкера , который также показывает, что неконтекстуальные модели со скрытыми переменными несовместимы с квантовой механикой. Как отмечалось выше, теорема Глисона показывает, что не существует вероятностной меры над лучами гильбертова пространства, которая принимает только значения 0 и 1 (пока размерность этого пространства превышает 2). Теорема Кохена – Спекера уточняет это утверждение, создавая конкретное конечное подмножество лучей, на котором не может быть определена такая вероятностная мера. ^{[ 27 ]}^{[ 30 ]} Тот факт, что такое конечное подмножество лучей должно существовать, следует из теоремы Глисона посредством аргумента логической компактности , но этот метод не строит искомое множество явно. ^{[ 20 ]}^: §1 В соответствующем результате об отсутствии скрытых переменных, известном как теорема Белла , предположение о том, что теория скрытых переменных является неконтекстуальной, заменяется предположением о том, что она локальна . Те же наборы лучей, которые используются в конструкциях Кохена–Спкера, также можно использовать для вывода доказательств типа Белла. ^{[ 27 ]}^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}

Питовский использует теорему Глисона, чтобы доказать, что квантовая механика представляет собой новую теорию вероятностей, в которой структура пространства возможных событий отличается от ее классической булевой алгебры. Он считает это аналогом того, как специальная теория относительности изменяет кинематику ньютоновской механики . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Теоремы Глисона и Кохена-Спкера цитировались в поддержку различных философий, включая перспективизм , конструктивный эмпиризм и агентный реализм . ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}

Квантовая логика

Теорема Глисона находит применение в квантовой логике, которая активно использует теорию решеток . Квантовая логика рассматривает результат квантового измерения как логическое предложение и изучает отношения и структуры, образованные этими логическими предложениями. Они организованы в решетку, в которой закон распределения , действующий в классической логике, ослаблен, чтобы отразить тот факт, что в квантовой физике не все пары величин могут быть измерены одновременно . ^{[ 36 ]} Теорема о представлении в квантовой логике показывает, что такая решетка изоморфна решетке подпространств векторного пространства со скалярным произведением . ^{[ 5 ]}^: §2 Используя теорему Солера , ( косое ) поле K, над которым определяется векторное пространство, можно доказать с помощью дополнительных гипотез как действительные числа , комплексные числа или кватернионы , что необходимо для выполнения теоремы Глисона. ^{[ 12 ]}^: §3^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}

Используя теорему Глисона, можно ограничить форму функции вероятности на элементах решетки. Предполагая, что отображение элементов решетки в вероятности неконтекстуально, теорема Глисона устанавливает, что оно должно быть выражаемо с помощью правила Борна.

Обобщения

Глисон первоначально доказал теорему, предполагая, что измерения, применяемые к системе, относятся к типу фон Неймана, т. е. что каждое возможное измерение соответствует ортонормированному базису гильбертова пространства. Позже Буш ^{[ 39 ]} и независимо Caves et al. ^{[ 24 ]}^: 116^{[ 40 ]} доказал аналогичный результат для более общего класса измерений, известных как меры с положительным операторным значением (POVM). Набор всех POVM включает набор измерений фон Неймана, поэтому предположения этой теоремы значительно сильнее, чем предположения Глисона. Это сделало доказательство этого результата более простым, чем доказательство Глисона, а выводы более сильными. В отличие от исходной теоремы Глисона, обобщенная версия с использованием POVM применима и к случаю одного кубита. ^{[ 41 ]}^{[ 42 ]} Однако предположение о неконтекстуальности POVM является спорным, поскольку POVM не являются фундаментальными, и некоторые авторы утверждают, что неконтекстуальность следует предполагать только для основных измерений фон Неймана. ^{[ 43 ]} Теорема Глисона в своей первоначальной версии не выполняется, если гильбертово пространство определено над рациональными числами , т. е. если компоненты векторов в гильбертовом пространстве ограничены рациональными числами или комплексными числами с рациональными частями. Однако, когда набор разрешенных измерений представляет собой набор всех POVM, теорема остается верной. ^{[ 40 ]}^{: §3.D}

Первоначальное доказательство Глисона не было конструктивным : одна из идей, от которых оно зависит, заключается в том, что каждая непрерывная функция, определенная на компакте, достигает своего минимума . Поскольку невозможно во всех случаях явно показать, где находится минимум, доказательство, основанное на этом принципе, не будет конструктивным доказательством. Однако теорему можно переформулировать таким образом, чтобы можно было найти конструктивное доказательство. ^{[ 20 ]}^{[ 44 ]}

Теорему Глисона можно распространить на некоторые случаи, когда наблюдаемые теории образуют алгебру фон Неймана . В частности, можно показать, что аналог результата Глисона верен, если алгебра наблюдаемых не имеет прямого слагаемого , которое можно представить как алгебру матриц 2 × 2 над коммутативной алгеброй фон Неймана (т. е. нет прямого слагаемого типа I ₂ ). По сути, единственным препятствием для доказательства теоремы является тот факт, что первоначальный результат Глисона не справедлив, когда гильбертово пространство является пространством кубита. ^{[ 45 ]}

Примечания

^ Дополнительную информацию по этому вопросу см. в Piron, ^{[ 7 ]}^: §6 Дриш, ^{[ 8 ]} Хорвиц и Биденхарн, ^{[ 9 ]} Разон и Хорвиц, ^{[ 10 ]} Варадараджан, ^{[ 11 ]}^: 83 Кассинелли и Лахти, ^{[ 12 ]}^: §2 и Моретти и Оппио. ^{[ 13 ]}
^ Глисон допускает возможность того, что функция кадра нормализуется на константу, отличную от 1, но сосредоточение внимания на случае «единичного веса», как это сделано здесь, не приводит к какой-либо потере общности .
^ Это обсуждается Барнумом и др., ^{[ 3 ]} Кассинелли и Лахти, ^{[ 12 ]}^: §2 Лестница, ^{[ 25 ]} и Вилце. ^{[ 26 ]}^: §1.4

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства» . Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. дои : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . МР 0096113 .
^ Дришнер, М.; Гёрниц, Т.; фон Вайцзеккер, CF (1 марта 1988 г.). «Реконструкция абстрактной квантовой теории». Международный журнал теоретической физики . 27 (3): 289–306. Бибкод : 1988IJTP...27..289D . дои : 10.1007/bf00668895 . ISSN 0020-7748 . S2CID 122866239 .
^ Jump up to: ^а ^б Барнум, Х.; Пещеры, CM ; Финкельштейн, Дж.; Фукс, Калифорния; Шак, Р. (08 мая 2000 г.). «Квантовая вероятность из теории принятия решений?» . Труды Лондонского королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 456 (1997): 1175–1182. arXiv : Quant-ph/9907024 . Бибкод : 2000RSPSA.456.1175B . CiteSeerX 10.1.1.769.8732 . дои : 10.1098/rspa.2000.0557 . ISSN 1364-5021 . S2CID 11563591 .
^ Jump up to: ^а ^б Питовский, Итамар (2003). «Ставка на результаты измерений: байесовская теория квантовой вероятности». Исследования по истории и философии современной физики . 34 (3): 395–414. arXiv : Quant-ph/0208121 . Бибкод : 2003ШПМП..34..395П . дои : 10.1016/S1355-2198(03)00035-2 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Питовский, Итамар (2006). «Квантовая механика как теория вероятности». В Демопулосе, Уильям; Питовский, Итамар (ред.). Физическая теория и ее интерпретация: Очерки в честь Джеффри Баба . Спрингер . п. 213. arXiv : quant-ph/0510095 . Бибкод : 2005quant.ph.10095P . ISBN 9781402048760 . OCLC 917845122 .
^ Кунджвал, Рави; Спеккенс, Роб В. (9 сентября 2015 г.). «От теоремы Кохена – Спекера к неконтекстуальным неравенствам без предположения детерминизма». Письма о физических отзывах . 115 (11): 110403. arXiv : 1506.04150 . Бибкод : 2015PhRvL.115k0403K . doi : 10.1103/PhysRevLett.115.110403 . ПМИД 26406812 . S2CID 10308680 .
^ Пайрон, К. (1 октября 1972 г.). «Обзор общей квантовой физики». Основы физики . 2 (4): 287–314. Бибкод : 1972FoPh....2..287P . дои : 10.1007/bf00708413 . ISSN 0015-9018 . S2CID 123364715 .
^ Дриш, Томас (1 апреля 1979 г.). «Обобщение теоремы Глисона». Международный журнал теоретической физики . 18 (4): 239–243. Бибкод : 1979IJTP...18..239D . дои : 10.1007/bf00671760 . ISSN 0020-7748 . S2CID 121825926 .
^ Хорвиц, LP; Биденхарн, LC (1984). «Кватернионная квантовая механика: вторичное квантование и калибровочные поля». Анналы физики . 157 (2): 432–488. Бибкод : 1984AnPhy.157..432H . дои : 10.1016/0003-4916(84)90068-x .
^ Разон, Аарон; Хорвиц, LP (1 августа 1991 г.). «Операторы проектирования и состояния в тензорном произведении кватернионных гильбертовых модулей». Acta Applicandae Mathematicae . 24 (2): 179–194. дои : 10.1007/bf00046891 . ISSN 0167-8019 . S2CID 119666741 .
^ Варадараджан, Виравали С. (2007). Геометрия квантовой теории (2-е изд.). Springer Science+Business Media . ISBN 978-0-387-96124-8 . OCLC 764647569 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Кассинелли, Г.; Лахти, П. (13 ноября 2017 г.). «Квантовая механика: почему сложное гильбертово пространство?» . Философские труды Королевского общества А. 375 (2106): 20160393. Бибкод : 2017RSPTA.37560393C . дои : 10.1098/rsta.2016.0393 . ISSN 1364-503X . ПМИД 28971945 .
^ Моретти, Вальтер; Оппио, Марко (16 октября 2018 г.). «Правильная формулировка теоремы Глисона в кватернионных гильбертовых пространствах». Анналы Анри Пуанкаре . 19 (11): 3321–3355. arXiv : 1803.06882 . Бибкод : 2018АнХП...19.3321М . дои : 10.1007/s00023-018-0729-8 . S2CID 53630146 .
^ Белл, Джон (1966). «К проблеме скрытых переменных в квантовой механике». Обзоры современной физики . 38 (3): 447. Бибкод : 1966РвМП...38..447Б . дои : 10.1103/RevModPhys.38.447 . ОСТИ 1444158 .
^ Баб, Джеффри (2010). «Доказательство фон Неймана об отсутствии скрытых переменных: переоценка». Основы физики . 40 (9–10): 1333–1340. arXiv : 1006.0499 . Бибкод : 2010FoPh...40.1333B . дои : 10.1007/s10701-010-9480-9 . S2CID 118595119 .
^ Jump up to: ^а ^б Мермин, Н. Дэвид ; Шак, Рюдигер (2018). «Гомер кивнул: удивительная оплошность фон Неймана». Основы физики . 48 (9): 1007–1020. arXiv : 1805.10311 . Бибкод : 2018FoPh...48.1007M . дои : 10.1007/s10701-018-0197-5 . S2CID 118951033 .
^ Перес, Ашер (1992). «Экспериментальная проверка теоремы Глисона». Буквы по физике А. 163 (4): 243–245. Бибкод : 1992PhLA..163..243P . дои : 10.1016/0375-9601(92)91005-C .
^ Макки, Джордж В. (1957). «Квантовая механика и гильбертово пространство». Американский математический ежемесячник . 64 (8П2): 45–57. дои : 10.1080/00029890.1957.11989120 . JSTOR 2308516 .
^ Jump up to: ^а ^б Чернофф, Пол Р. «Энди Глисон и квантовая механика» (PDF) . Уведомления АМС . 56 (10): 1253–1259.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Грушовский, Эхуд; Питовский, Итамар (1 июня 2004 г.). «Обобщения теоремы Кохена и Спекера и эффективность теоремы Глисона». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 35 (2): 177–194. arXiv : Quant-ph/0307139 . Бибкод : 2004SHPMP..35..177H . дои : 10.1016/j.shpsb.2003.10.002 . S2CID 15265001 .
^ Jump up to: ^а ^б Кук, Роджер; Кин, Майкл; Моран, Уильям (1985). «Элементарное доказательство теоремы Глисона». Математические труды Кембриджского философского общества . 98 (1): 117–128. Бибкод : 1985MPCPS..98..117C . дои : 10.1017/S0305004100063313 . S2CID 124627182 .
^ Питовский, Итамар (1998). «Бесконечные и конечные теоремы Глисона и логика неопределенности» . Журнал математической физики . 39 (1): 218–228. Бибкод : 1998JMP....39..218P . дои : 10.1063/1.532334 .
^ Хадсон, Робин Лит (1986). «Геометрия квантовой теории». Математический вестник . 70 (454): 332–333. дои : 10.2307/3616230 . JSTOR 3616230 .
^ Jump up to: ^а ^б Фукс, Кристофер А. (2011). Достижение совершеннолетия с квантовой информацией: заметки об идее Павла . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19926-1 . OCLC 535491156 .
^ Лестница, Аллен (2015). «Квантовая логика и квантовая реконструкция». Основы физики . 45 (10): 1351–1361. arXiv : 1501.05492 . Бибкод : 2015FoPh...45.1351S . дои : 10.1007/s10701-015-9879-4 . S2CID 126435 .
^ Jump up to: ^а ^б Уилце, А. (10 августа 2021 г.). «Квантовая логика и теория вероятностей» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весны 2017 г.).
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Мермин, Н. Дэвид (1 июля 1993 г.). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла». Обзоры современной физики . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Бибкод : 1993РвМП...65..803М . дои : 10.1103/RevModPhys.65.803 . S2CID 119546199 .
^ Шимони, Абнер (1984). «Контекстные теории скрытых переменных и неравенства Белла». Британский журнал философии науки . 35 (1): 25–45. дои : 10.1093/bjps/35.1.25 .
^ Харриган, Николас; Спеккенс, Роберт В. (2010). «Эйнштейн, неполнота и эпистемический взгляд на квантовые состояния». Основы физики . 40 (2): 125–157. arXiv : 0706.2661 . Бибкод : 2010FoPh...40..125H . дои : 10.1007/s10701-009-9347-0 . S2CID 32755624 .
^ Перес, Ашер (1991). «Два простых доказательства теоремы Кохена-Спкера» . Журнал физики A: Математический и общий . 24 (4): Л175–Л178. Бибкод : 1991JPhA...24L.175P . дои : 10.1088/0305-4470/24/4/003 . ISSN 0305-4470 .
^ Лестница, Аллен (1983). «Квантовая логика, реализм и определенность ценностей». Философия науки . 50 (4): 578–602. дои : 10.1086/289140 . S2CID 122885859 .
^ Хейвуд, Питер; Рыжий, Майкл Л.Г. (1983). «Нелокальность и парадокс Кохена – Спекера». Основы физики . 13 (5): 481–499. Бибкод : 1983FoPh...13..481H . дои : 10.1007/BF00729511 . S2CID 120340929 .
^ Эдвардс, Дэвид (1979). «Математические основы квантовой механики». Синтезируйте . 42 : 1–70. дои : 10.1007/BF00413704 . S2CID 46969028 .
^ ван Фраассен, Бас (1991). Квантовая механика: взгляд эмпирика . Кларендон Пресс . ISBN 9780198239802 . OCLC 1005285550 .
^ Барад, Карен (2007). Встреча со Вселенной на полпути: квантовая физика и запутанность материи и смысла . Издательство Университета Дьюка . ISBN 9780822339175 . OCLC 894219980 .
^ Двуреченский, Анатолий (1992). Теорема Глисона и ее приложения . Математика и ее приложения, Vol. 60. Дордрехт: Клювер Акад. Опубл. п. 348. ИСБН 978-0-7923-1990-0 . OCLC 751579618 .
^ Баэз, Джон К. (01 декабря 2010 г.). «Теорема Солера» . Кафе «Н-Категория» . Проверено 24 апреля 2017 г.
^ Моретти, Вальтер; Оппио, Марко (01.06.2019). «Квантовая теория в кватернионном гильбертовом пространстве: как симметрия Пуанкаре сводит теорию к стандартной комплексной». Обзоры по математической физике . 31 (4): 1950013–502. arXiv : 1709.09246 . Бибкод : 2019RvMaP..3150013M . дои : 10.1142/S0129055X19500132 . S2CID 119733863 .
^ Буш, Пол (2003). «Квантовые состояния и обобщенные наблюдаемые: простое доказательство теоремы Глисона». Письма о физических отзывах . 91 (12): 120403. arXiv : quant-ph/9909073 . Бибкод : 2003PhRvL..91l0403B . doi : 10.1103/PhysRevLett.91.120403 . ПМИД 14525351 . S2CID 2168715 .
^ Jump up to: ^а ^б Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Манн, Киран К.; Ренес, Джозеф М. (2004). «Выводы типа Глисона из правила квантовой вероятности для обобщенных измерений». Основы физики . 34 (2): 193–209. arXiv : Quant-ph/0306179 . Бибкод : 2004FoPh...34..193C . дои : 10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5 . S2CID 18132256 .
^ Спеккенс, Роберт В. (2014). «Статус детерминизма в доказательствах невозможности неконтекстуальной модели квантовой теории». Основы физики . 44 (11): 1125–1155. arXiv : 1312.3667 . Бибкод : 2014FoPh...44.1125S . дои : 10.1007/s10701-014-9833-x . S2CID 118469528 .
^ Райт, Виктория Дж.; Вейгерт, Стефан (2019). «Теорема типа Глисона для кубитов, основанная на смесях проективных измерений». Журнал физики А. 52 (5): 055301. arXiv : 1808.08091 . Бибкод : 2019JPhA...52e5301W . дои : 10.1088/1751-8121/aaf93d . S2CID 119309162 .
^ Грудка, Анджей; Куржинский, Павел (2008). «Есть ли контекстуальность для одного кубита?». Письма о физических отзывах . 100 (16): 160401. arXiv : 0705.0181 . Бибкод : 2008PhRvL.100p0401G . doi : 10.1103/PhysRevLett.100.160401 . ПМИД 18518167 . S2CID 13251108 .
^ Ричман, Фред; Бриджес, Дуглас (10 марта 1999 г.). «Конструктивное доказательство теоремы Глисона» . Журнал функционального анализа . 162 (2): 287–312. дои : 10.1006/jfan.1998.3372 . hdl : 2292/3547 .
^ Хамхальтер, Ян (31 октября 2003 г.). Квантовая теория меры . Springer Science & Business Media . ISBN 9781402017148 . МР 2015280 . OCLC 928681664 . Збл 1038.81003 .

[14] Дополнительную информацию по этому вопросу см. в Piron, ^{[ 7 ]}^: §6 Дриш, ^{[ 8 ]} Хорвиц и Биденхарн, ^{[ 9 ]} Разон и Хорвиц, ^{[ 10 ]} Варадараджан, ^{[ 11 ]}^: 83 Кассинелли и Лахти, ^{[ 12 ]}^: §2 и Моретти и Оппио. ^{[ 13 ]}

[22] Глисон допускает возможность того, что функция кадра нормализуется на константу, отличную от 1, но сосредоточение внимания на случае «единичного веса», как это сделано здесь, не приводит к какой-либо потере общности .

[29] Это обсуждается Барнумом и др., ^{[ 3 ]} Кассинелли и Лахти, ^{[ 12 ]}^: §2 Лестница, ^{[ 25 ]} и Вилце. ^{[ 26 ]}^: §1.4

[gleason1957-1] Jump up to: ^а ^б Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства» . Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. дои : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . МР 0096113 .

[2] Дришнер, М.; Гёрниц, Т.; фон Вайцзеккер, CF (1 марта 1988 г.). «Реконструкция абстрактной квантовой теории». Международный журнал теоретической физики . 27 (3): 289–306. Бибкод : 1988IJTP...27..289D . дои : 10.1007/bf00668895 . ISSN 0020-7748 . S2CID 122866239 .

[barnum2000-3] Jump up to: ^а ^б Барнум, Х.; Пещеры, CM ; Финкельштейн, Дж.; Фукс, Калифорния; Шак, Р. (08 мая 2000 г.). «Квантовая вероятность из теории принятия решений?» . Труды Лондонского королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 456 (1997): 1175–1182. arXiv : Quant-ph/9907024 . Бибкод : 2000RSPSA.456.1175B . CiteSeerX 10.1.1.769.8732 . дои : 10.1098/rspa.2000.0557 . ISSN 1364-5021 . S2CID 11563591 .

[pitowsky2003-4] Jump up to: ^а ^б Питовский, Итамар (2003). «Ставка на результаты измерений: байесовская теория квантовой вероятности». Исследования по истории и философии современной физики . 34 (3): 395–414. arXiv : Quant-ph/0208121 . Бибкод : 2003ШПМП..34..395П . дои : 10.1016/S1355-2198(03)00035-2 .

[pitowsky2006-5] Jump up to: ^а ^б ^с Питовский, Итамар (2006). «Квантовая механика как теория вероятности». В Демопулосе, Уильям; Питовский, Итамар (ред.). Физическая теория и ее интерпретация: Очерки в честь Джеффри Баба . Спрингер . п. 213. arXiv : quant-ph/0510095 . Бибкод : 2005quant.ph.10095P . ISBN 9781402048760 . OCLC 917845122 .

[6] Кунджвал, Рави; Спеккенс, Роб В. (9 сентября 2015 г.). «От теоремы Кохена – Спекера к неконтекстуальным неравенствам без предположения детерминизма». Письма о физических отзывах . 115 (11): 110403. arXiv : 1506.04150 . Бибкод : 2015PhRvL.115k0403K . doi : 10.1103/PhysRevLett.115.110403 . ПМИД 26406812 . S2CID 10308680 .

[7] Пайрон, К. (1 октября 1972 г.). «Обзор общей квантовой физики». Основы физики . 2 (4): 287–314. Бибкод : 1972FoPh....2..287P . дои : 10.1007/bf00708413 . ISSN 0015-9018 . S2CID 123364715 .

[8] Дриш, Томас (1 апреля 1979 г.). «Обобщение теоремы Глисона». Международный журнал теоретической физики . 18 (4): 239–243. Бибкод : 1979IJTP...18..239D . дои : 10.1007/bf00671760 . ISSN 0020-7748 . S2CID 121825926 .

[9] Хорвиц, LP; Биденхарн, LC (1984). «Кватернионная квантовая механика: вторичное квантование и калибровочные поля». Анналы физики . 157 (2): 432–488. Бибкод : 1984AnPhy.157..432H . дои : 10.1016/0003-4916(84)90068-x .

[10] Разон, Аарон; Хорвиц, LP (1 августа 1991 г.). «Операторы проектирования и состояния в тензорном произведении кватернионных гильбертовых модулей». Acta Applicandae Mathematicae . 24 (2): 179–194. дои : 10.1007/bf00046891 . ISSN 0167-8019 . S2CID 119666741 .

[11] Варадараджан, Виравали С. (2007). Геометрия квантовой теории (2-е изд.). Springer Science+Business Media . ISBN 978-0-387-96124-8 . OCLC 764647569 .

[cassinelli2017-12] Jump up to: ^а ^б ^с Кассинелли, Г.; Лахти, П. (13 ноября 2017 г.). «Квантовая механика: почему сложное гильбертово пространство?» . Философские труды Королевского общества А. 375 (2106): 20160393. Бибкод : 2017RSPTA.37560393C . дои : 10.1098/rsta.2016.0393 . ISSN 1364-503X . ПМИД 28971945 .

[13] Моретти, Вальтер; Оппио, Марко (16 октября 2018 г.). «Правильная формулировка теоремы Глисона в кватернионных гильбертовых пространствах». Анналы Анри Пуанкаре . 19 (11): 3321–3355. arXiv : 1803.06882 . Бибкод : 2018АнХП...19.3321М . дои : 10.1007/s00023-018-0729-8 . S2CID 53630146 .

[bell1966-15] Белл, Джон (1966). «К проблеме скрытых переменных в квантовой механике». Обзоры современной физики . 38 (3): 447. Бибкод : 1966РвМП...38..447Б . дои : 10.1103/RevModPhys.38.447 . ОСТИ 1444158 .

[16] Баб, Джеффри (2010). «Доказательство фон Неймана об отсутствии скрытых переменных: переоценка». Основы физики . 40 (9–10): 1333–1340. arXiv : 1006.0499 . Бибкод : 2010FoPh...40.1333B . дои : 10.1007/s10701-010-9480-9 . S2CID 118595119 .

[mermin2018-17] Jump up to: ^а ^б Мермин, Н. Дэвид ; Шак, Рюдигер (2018). «Гомер кивнул: удивительная оплошность фон Неймана». Основы физики . 48 (9): 1007–1020. arXiv : 1805.10311 . Бибкод : 2018FoPh...48.1007M . дои : 10.1007/s10701-018-0197-5 . S2CID 118951033 .

[18] Перес, Ашер (1992). «Экспериментальная проверка теоремы Глисона». Буквы по физике А. 163 (4): 243–245. Бибкод : 1992PhLA..163..243P . дои : 10.1016/0375-9601(92)91005-C .

[19] Макки, Джордж В. (1957). «Квантовая механика и гильбертово пространство». Американский математический ежемесячник . 64 (8П2): 45–57. дои : 10.1080/00029890.1957.11989120 . JSTOR 2308516 .

[chernoff2009-20] Jump up to: ^а ^б Чернофф, Пол Р. «Энди Глисон и квантовая механика» (PDF) . Уведомления АМС . 56 (10): 1253–1259.

[hp2004-21] Jump up to: ^а ^б ^с Грушовский, Эхуд; Питовский, Итамар (1 июня 2004 г.). «Обобщения теоремы Кохена и Спекера и эффективность теоремы Глисона». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 35 (2): 177–194. arXiv : Quant-ph/0307139 . Бибкод : 2004SHPMP..35..177H . дои : 10.1016/j.shpsb.2003.10.002 . S2CID 15265001 .

[cooke1985-23] Jump up to: ^а ^б Кук, Роджер; Кин, Майкл; Моран, Уильям (1985). «Элементарное доказательство теоремы Глисона». Математические труды Кембриджского философского общества . 98 (1): 117–128. Бибкод : 1985MPCPS..98..117C . дои : 10.1017/S0305004100063313 . S2CID 124627182 .

[pitowsky1998-24] Питовский, Итамар (1998). «Бесконечные и конечные теоремы Глисона и логика неопределенности» . Журнал математической физики . 39 (1): 218–228. Бибкод : 1998JMP....39..218P . дои : 10.1063/1.532334 .

[25] Хадсон, Робин Лит (1986). «Геометрия квантовой теории». Математический вестник . 70 (454): 332–333. дои : 10.2307/3616230 . JSTOR 3616230 .

[fuchs2011-26] Jump up to: ^а ^б Фукс, Кристофер А. (2011). Достижение совершеннолетия с квантовой информацией: заметки об идее Павла . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19926-1 . OCLC 535491156 .

[27] Лестница, Аллен (2015). «Квантовая логика и квантовая реконструкция». Основы физики . 45 (10): 1351–1361. arXiv : 1501.05492 . Бибкод : 2015FoPh...45.1351S . дои : 10.1007/s10701-015-9879-4 . S2CID 126435 .

[wilce2017-28] Jump up to: ^а ^б Уилце, А. (10 августа 2021 г.). «Квантовая логика и теория вероятностей» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весны 2017 г.).

[mermin1993-30] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Мермин, Н. Дэвид (1 июля 1993 г.). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла». Обзоры современной физики . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Бибкод : 1993РвМП...65..803М . дои : 10.1103/RevModPhys.65.803 . S2CID 119546199 .

[31] Шимони, Абнер (1984). «Контекстные теории скрытых переменных и неравенства Белла». Британский журнал философии науки . 35 (1): 25–45. дои : 10.1093/bjps/35.1.25 .

[:0-32] Харриган, Николас; Спеккенс, Роберт В. (2010). «Эйнштейн, неполнота и эпистемический взгляд на квантовые состояния». Основы физики . 40 (2): 125–157. arXiv : 0706.2661 . Бибкод : 2010FoPh...40..125H . дои : 10.1007/s10701-009-9347-0 . S2CID 32755624 .

[33] Перес, Ашер (1991). «Два простых доказательства теоремы Кохена-Спкера» . Журнал физики A: Математический и общий . 24 (4): Л175–Л178. Бибкод : 1991JPhA...24L.175P . дои : 10.1088/0305-4470/24/4/003 . ISSN 0305-4470 .

[34] Лестница, Аллен (1983). «Квантовая логика, реализм и определенность ценностей». Философия науки . 50 (4): 578–602. дои : 10.1086/289140 . S2CID 122885859 .

[35] Хейвуд, Питер; Рыжий, Майкл Л.Г. (1983). «Нелокальность и парадокс Кохена – Спекера». Основы физики . 13 (5): 481–499. Бибкод : 1983FoPh...13..481H . дои : 10.1007/BF00729511 . S2CID 120340929 .

[36] Эдвардс, Дэвид (1979). «Математические основы квантовой механики». Синтезируйте . 42 : 1–70. дои : 10.1007/BF00413704 . S2CID 46969028 .

[37] ван Фраассен, Бас (1991). Квантовая механика: взгляд эмпирика . Кларендон Пресс . ISBN 9780198239802 . OCLC 1005285550 .

[38] Барад, Карен (2007). Встреча со Вселенной на полпути: квантовая физика и запутанность материи и смысла . Издательство Университета Дьюка . ISBN 9780822339175 . OCLC 894219980 .

[39] Двуреченский, Анатолий (1992). Теорема Глисона и ее приложения . Математика и ее приложения, Vol. 60. Дордрехт: Клювер Акад. Опубл. п. 348. ИСБН 978-0-7923-1990-0 . OCLC 751579618 .

[40] Баэз, Джон К. (01 декабря 2010 г.). «Теорема Солера» . Кафе «Н-Категория» . Проверено 24 апреля 2017 г.

[41] Моретти, Вальтер; Оппио, Марко (01.06.2019). «Квантовая теория в кватернионном гильбертовом пространстве: как симметрия Пуанкаре сводит теорию к стандартной комплексной». Обзоры по математической физике . 31 (4): 1950013–502. arXiv : 1709.09246 . Бибкод : 2019RvMaP..3150013M . дои : 10.1142/S0129055X19500132 . S2CID 119733863 .

[42] Буш, Пол (2003). «Квантовые состояния и обобщенные наблюдаемые: простое доказательство теоремы Глисона». Письма о физических отзывах . 91 (12): 120403. arXiv : quant-ph/9909073 . Бибкод : 2003PhRvL..91l0403B . doi : 10.1103/PhysRevLett.91.120403 . ПМИД 14525351 . S2CID 2168715 .

[caves2004-43] Jump up to: ^а ^б Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Манн, Киран К.; Ренес, Джозеф М. (2004). «Выводы типа Глисона из правила квантовой вероятности для обобщенных измерений». Основы физики . 34 (2): 193–209. arXiv : Quant-ph/0306179 . Бибкод : 2004FoPh...34..193C . дои : 10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5 . S2CID 18132256 .

[44] Спеккенс, Роберт В. (2014). «Статус детерминизма в доказательствах невозможности неконтекстуальной модели квантовой теории». Основы физики . 44 (11): 1125–1155. arXiv : 1312.3667 . Бибкод : 2014FoPh...44.1125S . дои : 10.1007/s10701-014-9833-x . S2CID 118469528 .

[45] Райт, Виктория Дж.; Вейгерт, Стефан (2019). «Теорема типа Глисона для кубитов, основанная на смесях проективных измерений». Журнал физики А. 52 (5): 055301. arXiv : 1808.08091 . Бибкод : 2019JPhA...52e5301W . дои : 10.1088/1751-8121/aaf93d . S2CID 119309162 .

[46] Грудка, Анджей; Куржинский, Павел (2008). «Есть ли контекстуальность для одного кубита?». Письма о физических отзывах . 100 (16): 160401. arXiv : 0705.0181 . Бибкод : 2008PhRvL.100p0401G . doi : 10.1103/PhysRevLett.100.160401 . ПМИД 18518167 . S2CID 13251108 .

[47] Ричман, Фред; Бриджес, Дуглас (10 марта 1999 г.). «Конструктивное доказательство теоремы Глисона» . Журнал функционального анализа . 162 (2): 287–312. дои : 10.1006/jfan.1998.3372 . hdl : 2292/3547 .

[48] Хамхальтер, Ян (31 октября 2003 г.). Квантовая теория меры . Springer Science & Business Media . ISBN 9781402017148 . МР 2015280 . OCLC 928681664 . Збл 1038.81003 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ а ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ б ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ с ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 12 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 13 ]

[ 25 ]