Теория Холево

Теорема Холево — важная ограничительная теорема в квантовых вычислениях , междисциплинарной области физики и информатики . Иногда ее называют границей Холево , поскольку она устанавливает верхнюю границу объема информации, которую можно знать о квантовом состоянии (доступной информации). Он был опубликован Александром Холево в 1973 году.

Формулировка теоремы

Предположим, Алиса хочет послать Бобу классическое сообщение, закодировав его в квантовое состояние, и предположим, что она может подготовить состояние из некоторого фиксированного набора $\{\rho _{1},...,\rho _{n}\}$, с i-м состоянием, подготовленным с вероятностью $p_{i}$. Позволять $X$ быть классическим регистром, содержащим выбор состояния, сделанный Алисой. Цель Боба — восстановить стоимость $X$ по результатам измерений о состоянии он получил. Позволять $Y$ быть классическим регистром, содержащим результаты измерений Боба. Обратите внимание, что $Y$ следовательно, является случайной величиной, распределение вероятностей которой зависит от выбора Бобом измерения .

Теорема Холево ограничивает степень корреляции между классическими регистрами. $X$ и $Y$, независимо от выбора измерения Бобом, с точки зрения информации Холево . Это полезно на практике, поскольку информация Холево не зависит от выбора измерения, и поэтому ее вычисление не требует выполнения оптимизации возможных измерений.

Точнее, определить доступную информацию между $X$ и $Y$ поскольку (классическая) взаимная информация между двумя регистрами максимизируется по всем возможным вариантам измерений на стороне Боба: $$I_{\rm {acc}}(X:Y)=\sup _{\{\Pi _{i}^{B}\}_{i}}I(X:Y|\{\Pi _{i}^{B}\}_{i}),$$где $I(X:Y|\{\Pi _{i}^{B}\}_{i})$ (классическая) взаимная информация совместного распределения вероятностей, определяемая формулой $p_{ij}=p_{i}\operatorname {Tr} (\Pi _{j}^{B}\rho _{i})$. В настоящее время не известна формула для аналитического решения оптимизации при определении доступной информации в общем случае. Тем не менее, у нас всегда есть верхняя граница: $$I_{\rm {acc}}(X:Y)\leq \chi (\eta )\equiv S\left(\sum _{i}p_{i}\rho _{i}\right)-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}),$$где $\eta \equiv \{(p_{i},\rho _{i})\}_{i}$ — это ансамбль состояний, который Алиса использует для отправки информации, и $S$ — энтропия фон Неймана . Этот $\chi (\eta )$ называется информацией Холево или Холево χ величиной .

Обратите внимание, что информация Холево также равна квантовой взаимной информации классического квантового состояния, соответствующего ансамблю: $$\chi (\eta )=I\left(\sum _{i}p_{i}|i\rangle \!\langle i|\otimes \rho _{i}\right),$$с $I(\rho _{AB})\equiv S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB})$ квантовая взаимная информация двудольного состояния $\rho _{AB}$. Отсюда следует, что теорему Холево можно кратко резюмировать как ограничение доступной информации в терминах квантовой взаимной информации для классических квантовых состояний.

Доказательство

Рассмотрим составную систему, описывающую весь процесс коммуникации, включающий классический ввод Алисы. $X$, квантовая система $Q$и классический результат Боба $Y$. Классический ввод $X$ можно записать как классический регистр $\rho ^{X}:=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|$ относительно некоторого ортонормированного базиса $\{|x\rangle \}_{x=1}^{n}$. Написав $X$ таким образом, энтропия фон Неймана $S(X)$ государства $\rho ^{X}$ соответствует энтропии Шеннона $H(X)$ распределения вероятностей $\{p_{x}\}_{x=1}^{n}$:

$S(X)=-\operatorname {tr} \left(\rho ^{X}\log \rho ^{X}\right)=-\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)=-\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}=H(X).$

Начальное состояние системы, где Алиса готовит состояние $\rho _{x}$ с вероятностью $p_{x}$, описывается

$\rho ^{XQ}:=\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}.$

После этого Алиса отправляет квантовое состояние Бобу. Поскольку Боб имеет доступ только к квантовой системе $Q$ но не ввод $X$, он получает смешанное состояние вида $\rho :=\operatorname {tr} _{X}\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}$. Боб измеряет это состояние относительно POVM. элементов $\{E_{y}\}_{y=1}^{m}$и вероятности $\{q_{y}\}_{y=1}^{m}$ измерения результатов $y=1,2,\dots ,m$ сформировать классический вывод $Y$. Этот процесс измерения можно описать как квантовый инструмент.

${\mathcal {E}}^{Q}(\rho _{x})=\sum _{y=1}^{m}q_{y|x}\rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|,$

где $q_{y|x}=\operatorname {tr} \left(E_{y}\rho _{x}\right)$ это вероятность результата $y$ учитывая состояние $\rho _{x}$, пока $\rho _{y|x}=W{\sqrt {E_{y}}}\rho _{x}{\sqrt {E_{y}}}W^{\dagger }/q_{y|x}$ для какого-то унитарного $W$ – это нормализованное состояние после измерения . Тогда состояние всей системы после процесса измерения будет

$\rho ^{XQ'Y}:=\left[{\mathcal {I}}^{X}\otimes {\mathcal {E}}^{Q}\right]\!\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|.$

Здесь ${\mathcal {I}}^{X}$ это идентификационный канал в системе $X$. С ${\mathcal {E}}^{Q}$ является квантовым каналом , и квантовая взаимная информация монотонна при полностью положительных отображениях, сохраняющих след, $S(X:Q'Y)\leq S(X:Q)$. Кроме того, поскольку частичная трассировка $Q'$ также полностью положителен и сохраняет следы, $S(X:Y)\leq S(X:Q'Y)$. Эти два неравенства дают

$S(X:Y)\leq S(X:Q).$

В левой части интересующие величины зависят только от

$\rho ^{XY}:=\operatorname {tr} _{Q'}\left(\rho ^{XQ'Y}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes |y\rangle \langle y|=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x,y}|x,y\rangle \langle x,y|,$

с совместными вероятностями $p_{x,y}=p_{x}q_{y|x}$. Четко, $\rho ^{XY}$ и $\rho ^{Y}:=\operatorname {tr} _{X}(\rho ^{XY})$, которые имеют ту же форму, что и $\rho ^{X}$, опишите классические регистры. Следовательно,

$S(X:Y)=S(X)+S(Y)-S(XY)=H(X)+H(Y)-H(XY)=I(X:Y).$

Тем временем, $S(X:Q)$ зависит от срока

$\log \rho ^{XQ}=\log \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \left(p_{x}\rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes I^{Q}+\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \rho _{x},$

где $I^{Q}$ - тождественный оператор квантовой системы $Q$. Тогда правая часть равна

${\begin{aligned}S(X:Q)&=S(X)+S(Q)-S(XQ)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\rho ^{XQ}\log \rho ^{XQ}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\underbrace {\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)} _{-S(X)}+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(\rho )+\sum _{x=1}^{n}p_{x}\underbrace {\operatorname {tr} \left(\rho _{x}\log \rho _{x}\right)} _{-S(\rho _{x})}\\&=S(\rho )-\sum _{x=1}^{n}p_{x}S(\rho _{x}),\end{aligned}}$

что завершает доказательство.

Комментарии и замечания

По сути, граница Холево доказывает, что при наличии n кубитов , хотя они и могут «переносить» большее количество (классической) информации (благодаря квантовой суперпозиции), количество классической информации, которую можно получить , то есть получить к ней доступ , может быть только до до n классических (неквантовых) битов . Также теоретически и экспериментально было установлено, что существуют вычисления, в которых квантовые биты в процессе вычислений переносят больше информации, чем это возможно классически.

См. также

• Сверхплотное кодирование

Дальнейшее чтение

• Холево, Александр С. (1973). «Границы количества информации, передаваемой по квантовому каналу связи». Проблемы передачи информации . 9 : 177–183.
• Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-63235-5 . OCLC   43641333 . (см. стр. 531, подраздел 12.1.1 – уравнение (12.6))
• Уайльд, Марк М. (2011). «От классической к квантовой теории Шеннона». arXiv : 1106.1445v2 [ квант-ph ]. . См., в частности, раздел 11.6 и последующие. Теорема Холево представлена ​​в виде упражнения 11.9.1 на стр. 288.