Квантовая взаимная информация

В теории информации квантовой квантовая взаимная информация или взаимная информация фон Неймана , в честь Джона фон Неймана , является мерой корреляции между подсистемами квантового состояния. Это квантовомеханический аналог Шеннона взаимной информации .

Мотивация

Для простоты будем считать, что все объекты в статье конечномерны.

Определение квантовой взаимной энтропии мотивировано классическим случаем. Для распределения вероятностей двух переменных p ( x , y ) два маргинальных распределения:

$p(x)=\sum _{y}p(x,y),\qquad p(y)=\sum _{x}p(x,y).$

Классическая взаимная информация I ( X : Y ) определяется формулой

$I(X:Y)=S(p(x))+S(p(y))-S(p(x,y))$

где S ( q ) обозначает энтропию Шеннона распределения вероятностей q .

Можно рассчитать непосредственно

${\begin{aligned}S(p(x))+S(p(y))&=-\left(\sum _{x}p_{x}\log p(x)+\sum _{y}p_{y}\log p(y)\right)\\&=-\left(\sum _{x}\left(\sum _{y'}p(x,y')\log \sum _{y'}p(x,y')\right)+\sum _{y}\left(\sum _{x'}p(x',y)\log \sum _{x'}p(x',y)\right)\right)\\&=-\left(\sum _{x,y}p(x,y)\left(\log \sum _{y'}p(x,y')+\log \sum _{x'}p(x',y)\right)\right)\\&=-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x)p(y)\end{aligned}}$

Таким образом, взаимная информация

$I(X:Y)=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}},$

Где логарифм берется по основанию 2, чтобы получить взаимную информацию в битах . Но это и есть относительная энтропия между p ( x , y ) и p ( x ) p ( y ). Другими словами, если мы предположим, что две переменные x и y не коррелируют, взаимная информация — это несоответствие в неопределенности, возникающее в результате этого (возможно, ошибочного) предположения.

Из свойства относительной энтропии следует, что I ( X : Y ) ≥ 0 и равенство имеет место тогда и только тогда, когда p ( x , y ) = p ( x ) p ( y ).

Определение

Квантовомеханический аналог классических распределений вероятностей моделируется с помощью матриц плотности .

Рассмотрим квантовую систему, которую можно разделить на две части, A и B, так что в каждой части можно проводить независимые измерения. Пространство состояний всей квантовой системы тогда является тензорным произведением пространств двух частей .

$H_{AB}:=H_{A}\otimes H_{B}.$

Пусть ρ ^АБ — матрица плотности, действующая на состояния в H _AB . Энтропия фон Неймана матрицы плотности S( ρ ) представляет собой квантовомеханический аналог энтропии Шеннона.

$S(\rho )=-\operatorname {Tr} \rho \log \rho .$

Для распределения вероятностей p ( x , y ) маргинальные распределения получаются путем интегрирования переменных x или y . Соответствующей операцией для матриц плотности является частичный след . Таким образом, можно приписать ρ состояние подсистемы A по формуле

$\rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho ^{AB}$

где Tr _B — частичный след относительно B. системы Это приведенное состояние ρ ^АБ по А. системе Приведенная фон Неймана ρ энтропия ^АБ относительно А системы

$\;S(\rho ^{A}).$

С ( п ^Б ) определяется таким же образом.

Теперь можно видеть, что определение квантовой взаимной информации, соответствующее классическому определению, должно быть следующим.

$\;I(A\!:\!B):=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB}).$

Квантовую взаимную информацию можно интерпретировать так же, как и в классическом случае: можно показать, что

$I(A\!:\!B)=S(\rho ^{AB}\|\rho ^{A}\otimes \rho ^{B})$

где $S(\cdot \|\cdot )$ обозначает квантовую относительную энтропию . Обратите внимание, что существует альтернативное обобщение взаимной информации на квантовый случай. Разница между ними для данного состояния называется квантовым дискордом — мерой квантовых корреляций рассматриваемого состояния.

Свойства

Когда государство $\rho ^{AB}$ является чистым (и, следовательно, $S(\rho ^{AB})=0$), взаимная информация в два раза превышает энтропию запутанности состояния:

$I(A\!:\!B)=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB})=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})=2S(\rho ^{A})$

Однако положительная квантовая взаимная информация не обязательно указывает на запутанность. Классическая смесь разделимых состояний всегда будет иметь нулевую запутанность, но может иметь ненулевой QMI, например

$\rho ^{AB}={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|\right)$

${\begin{aligned}I(A\!:\!B)&=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB})\\&=S\left({\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)\right)+S\left({\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)\right)-S\left({\frac {1}{2}}(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|)\right)\\&=\log 2+\log 2-\log 2=\log 2\end{aligned}}$

В этом случае состояние является просто классически коррелированным состоянием.

Многопартийное

Предположим, что система состоит из n подсистем. $A_{1},\dots ,A_{n}$ затем:

$I(A_{1}\!:\!A_{2}:\dots :A_{n})=\sum [S(X_{k_{1}},\,X_{k_{2}},\dots ,X_{k_{n-1}})]-(n-1)S(A_{1},\,A_{2},\,\dots ,\,A_{n})$

где $X_{k_{i}}\in \{A_{1},\,A_{2},\,\dots ,\,A_{n}\}$ и сумма ведется по всем различным комбинациям подсистемы без повторений.

Например, возьмите $n=3$:

$I(A\!:\!B\!:\!C)=S(AB)+S(AC)+S(BC)-2S(ABC)$

Возьми сейчас $n=4$:

$I(A_{1}\!:\!A_{2}\!:\!A_{3}\!:\!A_{4})=S(A_{1}A_{2}A_{3})+S(A_{1}A_{2}A_{4})+S(A_{1}A_{3}A_{4})+S(A_{2}A_{3}A_{4})-3S(A_{1}A_{2}A_{3}A_{4})$

Обратите внимание: на самом деле мы делаем частичную трассировку по одной подсистеме за раз. $n=4$ Например, в первом члене мы прослеживаем $A_{4}$, во втором члене след завершается $A_{3}$ и так далее.