Код стабилизатора

В квантовых вычислениях и квантовой связи код -стабилизатор — это класс квантовых кодов для выполнения квантовой коррекции ошибок . Торический код и поверхностные коды в более общем смысле: — это типы кодов-стабилизаторов, которые считаются очень важными для практической реализации обработки квантовой информации.

Концептуальная основа

Квантовые коды, исправляющие ошибки, восстанавливают зашумленные, декогерентное квантовое состояние в чистое квантовое состояние. А Стабилизатор квантового кода исправления ошибок добавляет вспомогательные кубиты к кубитам, которые мы хотим защитить. Схема унитарного кодирования вращаетглобальное состояние в подпространство большего гильбертова пространства . Это сильно запутано ,закодированное состояние корректирует локальные шумные ошибки. Квантовый код, исправляющий ошибки, выполняет квантовые вычисления и квантовая коммуникация практична, предоставляя отправителю иприемник для моделирования бесшумного канала кубита с учетом шумного канала кубита чей шум соответствует определенной модели ошибок. Первые квантовые коды, исправляющие ошибки, поразительно похожи на классические блочные коды по своей работе и производительности.

Стабилизационная теория квантовой коррекции ошибок позволяет импортировать некоторыеклассические двоичные или четверичные коды для использования в качестве квантового кода. Однако при импортеклассический код, он должен удовлетворять принципу двойственности (или самоортогональности)ограничение. Исследователи нашли множество примеров классических кодов, удовлетворяющихэто ограничение, но в большинстве классических кодов его нет. Тем не менее, импортировать классические коды таким способом по-прежнему полезно (хотя посмотрите, как формализм стабилизатора с помощью запутанности преодолевает эту трудность).

Математическая основа

Стабилизационный формализм использует элементыгруппа Паули $\Pi$ при формулировании квантовых кодов, исправляющих ошибки. Набор $\Pi =\left\{I,X,Y,Z\right\}$ состоит из операторов Паули :

$I\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ X\equiv {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\ Y\equiv {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\ Z\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$

Вышеупомянутые операторы действуют на один кубит – состояние, представленное вектором в двумерном пространстве. Гильбертово пространство . Операторы в $\Pi$ иметь собственные значения $\pm 1$ и либо ездить на работу или против поездок на работу . Набор $\Pi ^{n}$ состоит из $n$-кратные тензорные произведения Операторы Паули :

$\Pi ^{n}=\left\{{\begin{array}{c}e^{i\phi }A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}:\forall j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}A_{j}\in \Pi ,\ \ \phi \in \left\{0,\pi /2,\pi ,3\pi /2\right\}\end{array}}\right\}.$

Элементы $\Pi ^{n}$ действовать в квантовом регистре $n$ кубиты. Мы в дальнейшем иногда опускайте символы тензорного произведения , чтобы

$A_{1}\cdots A_{n}\equiv A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}.$

The $n$-сложенная группа Паули $\Pi ^{n}$ играет важную роль как для схемы кодирования, так и дляпроцедура исправления ошибок кода квантового стабилизатора над $n$ кубиты.

Определение

Давайте определим $\left[n,k\right]$ стабилизатор квантовый с коррекцией ошибоккод для кодирования $k$ логические кубиты в $n$ физические кубиты. Скорость такогокод $k/n$. Его стабилизатор ${\mathcal {S}}$ является абелевой подгруппой группы $n$-сложенная группа Паули $\Pi ^{n}$. ${\mathcal {S}}$не содержит оператора $-I^{\otimes n}$. Одновременный $+1$- собственное пространство операторов образует кодовое пространство .Кодовое пространство имеет размерность $2^{k}$ чтобы мы могли закодировать $k$ кубиты в него.стабилизатор ${\mathcal {S}}$ имеет минимальное представление в терминах $n-k$независимые генераторы

$\left\{g_{1},\ldots ,g_{n-k}\ |\ \forall i\in \left\{1,\ldots ,n-k\right\},\ g_{i}\in {\mathcal {S}}\right\}.$

Генераторынезависимы в том смысле, что ни один из них не является продуктом любых других двух (вплоть док глобальной фазе ). Операторы $g_{1},\ldots ,g_{n-k}$ функционировать в том жеаналогично тому, как это делает матрица проверки четности для классического линейного блочного кода .

стабилизатора

Одно из фундаментальных понятий квантовой теории исправления ошибок состоит в том, что онодостаточно для исправления дискретного набора ошибок с поддержкой в ​​группе Паули $\Pi ^{n}$. Предположим, что ошибки, влияющие назакодированные квантовые состояния являются подмножеством ${\mathcal {E}}$ группы Паули $\Pi ^{n}$:

${\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}.$

Потому что ${\mathcal {E}}$ и ${\mathcal {S}}$ оба являются подмножествами $\Pi ^{n}$, ошибка $E\in {\mathcal {E}}$ что влияет назакодированное квантовое состояние либо коммутирует , либо антикоммутирует с каким-либо конкретнымэлемент $g$ в ${\mathcal {S}}$. Ошибка $E$ исправимо, если этоантикоммутирует с элементом $g$ в ${\mathcal {S}}$. Антикоммутирующая ошибка $E$ обнаруживается путем измерения каждого элемента $g$ в ${\mathcal {S}}$ ивычисление синдрома $\mathbf {r}$ выявление $E$. Синдром является бинарным.вектор $\mathbf {r}$ с длиной $n-k$ элементы которого определяют, является лиошибка $E$ добирается или антикоммутирует с каждым $g\in {\mathcal {S}}$. Ошибка $E$ который коммутирует с каждым элементом $g$ в ${\mathcal {S}}$ исправимо, еслии только если он находится в ${\mathcal {S}}$. Это искажает закодированное состояние, если онокоммутирует с каждым элементом ${\mathcal {S}}$ но не лежит ${\mathcal {S}}$. Итак, компактно резюмируем условия исправления ошибок стабилизатора:код стабилизатора может исправить любые ошибки $E_{1},E_{2}$ в ${\mathcal {E}}$ если

$E_{1}^{\dagger }E_{2}\notin {\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\right)$

или

$E_{1}^{\dagger }E_{2}\in {\mathcal {S}}$

где ${\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\right)$ является централизатором ​ ${\mathcal {S}}$ (т.е. подгруппа элементов, которые коммутируют со всеми членами ${\mathcal {S}}$, также известный как коммутант).

Простой пример кода стабилизатора

Простой пример кода стабилизатора — трехкубитный код. $\left[[3,1,3\right]]$ код стабилизатора. Он кодирует $k=1$ логический кубитв $n=3$ физические кубиты и защищает от однобитового переворотаошибка в наборе $\left\{X_{i}\right\}$. Это не защищает от других ошибок Паули, таких как ошибки переворота фазы в наборе. $\left\{Y_{i}\right\}$.или $\left\{Z_{i}\right\}$. Это имеет кодовое расстояние $d=3$. Его стабилизатор состоит из $n-k=2$ Операторы Паули:

${\begin{array}{ccc}g_{1}&=&Z&Z&I\\g_{2}&=&I&Z&Z\\\end{array}}$

Если ошибок инвертирования битов нет, оба оператора $g_{1}$ и $g_{2}$ ехать на работу, синдром +1,+1, ошибок не обнаружено.

Если в первом закодированном кубите произошла ошибка переворота битов, оператор $g_{1}$ будет против поездок на работу и $g_{2}$ ехать на работу, синдром равен -1,+1, и ошибка обнаружена. Если во втором закодированном кубите произошла ошибка переворота битов, оператор $g_{1}$ будет против поездок на работу и $g_{2}$ антикоммутационный, синдром -1,-1, и ошибка обнаружена. Если в третьем закодированном кубите произошла ошибка переворота битов, оператор $g_{1}$ буду ездить на работу и $g_{2}$ антикоммутационный, синдром +1,-1, и ошибка обнаружена.

Пример кода стабилизатора

Основная статья: Пятикубитный код исправления ошибок

Примером кода стабилизатора является пять кубитов. $\left[[5,1,3\right]]$ код стабилизатора. Он кодирует $k=1$ логический кубитв $n=5$ физические кубиты и защищает от произвольного одиночного кубитаошибка. Он имеет кодовое расстояние $d=3$. Его стабилизатор состоит из $n-k=4$ Операторы Паули:

${\begin{array}{ccccccc}g_{1}&=&X&Z&Z&X&I\\g_{2}&=&I&X&Z&Z&X\\g_{3}&=&X&I&X&Z&Z\\g_{4}&=&Z&X&I&X&Z\end{array}}$

Вышеуказанные операторы ездят на работу. Таким образом, кодовое пространство является одновременным+1-собственное пространство вышеуказанных операторов. Предположим, произошла однокубитная ошибка.закодированный квантовый регистр. В наборе ошибка одного кубита $\left\{X_{i},Y_{i},Z_{i}\right\}$ где $A_{i}$ обозначает ошибку Паули на кубите $i$.Несложно проверить, что любая произвольная однокубитная ошибка имеетуникальный синдром. Приемник исправляет любую ошибку одного кубита, определяясиндром посредством измерения четности и применения корректирующей операции.

группой Паули и

Между элементами существует простое, но полезное сопоставление. $\Pi$ и двоичный файл векторное пространство $\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}$. Это отображение даетупрощение теории квантового исправления ошибок. Он представляет собой квантовые кодыс двоичными векторами и бинарными операциями, а не с операторами Паули и матричные операции соответственно.

Сначала мы даем отображение для случая одного кубита. Предполагать $\left[A\right]$— множество эквивалентности оператора классов $A$ которые имеют одну и ту же фазу :

$\left[A\right]=\left\{\beta A\ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.$

Позволять $\left[\Pi \right]$ – набор бесфазных операторов Паули, где $\left[\Pi \right]=\left\{\left[A\right]\ |\ A\in \Pi \right\}$.Определите карту $N:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \Pi$ как

$00\to I,\,\,01\to X,\,\,11\to Y,\,\,10\to Z$

Предполагать $u,v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}$. Давайте использоватьстенография $u=\left(z|x\right)$ и $v=\left(z^{\prime }|x^{\prime }\right)$ где $z$, $x$, $z^{\prime }$, $x^{\prime }\in \mathbb {Z} _{2}$. Дляпример, предположим $u=\left(0|1\right)$. Затем $N\left(u\right)=X$.карта $N$ индуцирует изоморфизм $\left[N\right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \left[\Pi \right]$ потому что сложение векторовв $\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}$ эквивалентно умножениюОператоры Паули до глобальной фазы:

$\left[N\left(u+v\right)\right]=\left[N\left(u\right)\right]\left[N\left(v\right)\right].$

Позволять $\odot$ обозначают симплектическое произведение двух элементов $u,v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}$:

$u\odot v\equiv zx^{\prime }-xz^{\prime }.$

Симплектическое произведение $\odot$ дает коммутационные соотношения элементов $\Pi$:

$N\left(u\right)N\left(v\right)=\left(-1\right)^{\left(u\odot v\right)}N\left(v\right)N\left(u\right).$

Симплектическое произведение и отображение $N$ таким образом, дайте полезный способ фразыОтношения Паули в терминах бинарной алгебры .Расширение приведенных выше определений и отображение $N$ для нескольких кубитовпростой. Позволять $\mathbf {A} =A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}$ обозначаютпроизвольный элемент $\Pi ^{n}$. Аналогично можно определить бесфазный $n$-кубитная группа Паули $\left[\Pi ^{n}\right]=\left\{\left[\mathbf {A} \right]\ |\ \mathbf {A} \in \Pi ^{n}\right\}$ где

$\left[\mathbf {A} \right]=\left\{\beta \mathbf {A} \ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.$

Групповая операция $\ast$ для вышеуказанного класса эквивалентности выглядит следующим образом:

$\left[\mathbf {A} \right]\ast \left[\mathbf {B} \right]\equiv \left[A_{1}\right]\ast \left[B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}\right]\ast \left[B_{n}\right]=\left[A_{1}B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}B_{n}\right]=\left[\mathbf {AB} \right].$

Класс эквивалентности $\left[\Pi ^{n}\right]$ образует коммутативную группу в эксплуатации $\ast$. Рассмотрим $2n$-мерное векторное пространство

$\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}=\left\{\left(\mathbf {z,x} \right):\mathbf {z} ,\mathbf {x} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{n}\right\}.$

Он образует коммутативную группу $(\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n},+)$ соперация $+$ определяется как сложение двоичных векторов. Мы используем обозначения $\mathbf {u} =\left(\mathbf {z} |\mathbf {x} \right),\mathbf {v} =\left(\mathbf {z} ^{\prime }|\mathbf {x} ^{\prime }\right)$ представлять любые векторы $\mathbf {u,v} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}$ соответственно. Каждыйвектор $\mathbf {z}$ и $\mathbf {x}$ имеет элементы $\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)$ и $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ соответственно сподобные представления для $\mathbf {z} ^{\prime }$ и $\mathbf {x} ^{\prime }$.Симплектическое произведение $\odot$ из $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ является

$\mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}z_{i}x_{i}^{\prime }-x_{i}z_{i}^{\prime },$

или

$\mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}u_{i}\odot v_{i},$

где $u_{i}=\left(z_{i}|x_{i}\right)$ и $v_{i}=\left(z_{i}^{\prime }|x_{i}^{\prime }\right)$. Давайте определим карту $\mathbf {N} :\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \Pi ^{n}$ следующее:

$\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\equiv N\left(u_{1}\right)\otimes \cdots \otimes N\left(u_{n}\right).$

Позволять

$\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\equiv X^{x_{1}}\otimes \cdots \otimes X^{x_{n}},\,\,\,\,\,\,\,\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\equiv Z^{z_{1}}\otimes \cdots \otimes Z^{z_{n}},$

так что $\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)$ и $\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)$ принадлежат к одному и тому же класс эквивалентности :

$\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]=\left[\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\right].$

Карта $\left[\mathbf {N} \right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \left[\Pi ^{n}\right]$ является изоморфизмом одного и того жеПричина указана так же, как и в предыдущем случае:

$\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u+v} \right)\right]=\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\right],$

где $\mathbf {u,v} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}$. Симплектическое произведение фиксирует коммутационные отношения любых операторов $\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)$ и $\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)$:

$\mathbf {N\left(\mathbf {u} \right)N} \left(\mathbf {v} \right)=\left(-1\right)^{\left(\mathbf {u} \odot \mathbf {v} \right)}\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right).$

Вышеупомянутое бинарное представление и симплектическая алгебра полезны при созданиисвязь между классической линейной коррекцией ошибок и квантовой коррекцией ошибок более очевидна.

Сравнивая квантовые коды исправления ошибок на этом языке с симплектическим векторными пространствами , мы можем увидеть следующее. Симплектическое изотропное подпространство соответствует прямой сумме алгебр Паули (т.е. закодированных кубитов), а подпространство соответствует набору стабилизаторов.

Ссылки

• Д. Готтесман, «Коды стабилизатора и квантовая коррекция ошибок», quant-ph/9705052, доктор философии Калифорнийского технологического института. диссертация. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
• Шор, Питер В. (1 октября 1995 г.). «Схема уменьшения декогеренции в памяти квантового компьютера». Физический обзор А. 52 (4). Американское физическое общество (APS): R2493–R2496. Бибкод : 1995PhRvA..52.2493S . дои : 10.1103/physreva.52.r2493 . ISSN   1050-2947 . ПМИД   9912632 .
• Колдербанк, Арканзас; Шор, Питер В. (1 августа 1996 г.). «Существуют хорошие квантовые коды, исправляющие ошибки». Физический обзор А. 54 (2). Американское физическое общество (APS): 1098–1105. arXiv : Quant-ph/9512032 . Бибкод : 1996PhRvA..54.1098C . дои : 10.1103/physreva.54.1098 . ISSN   1050-2947 . ПМИД   9913578 . S2CID   11524969 .
• Стейн, AM (29 июля 1996 г.). «Коды, исправляющие ошибки в квантовой теории». Письма о физических отзывах . 77 (5). Американское физическое общество (APS): 793–797. Бибкод : 1996PhRvL..77..793S . дои : 10.1103/physrevlett.77.793 . ISSN   0031-9007 . ПМИД   10062908 .
• А. Калдербанк, Э. Рейнс, П. Шор и Н. Слоан, «Квантовая коррекция ошибок с помощью кодов на основе GF(4)», IEEE Trans. Инф. Теория, том. 44, стр. 1369–1387, 1998. Доступно по адресу https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006.