Измерение четности

Квантовая схема, демонстрирующая измерение четности

Измерение четности (также называемое операторным измерением ) — это процедура в квантовой информатике, используемая для обнаружения ошибок в квантовых кубитах. Измерение четности проверяет равенство двух кубитов и возвращает истинный или ложный ответ, который можно использовать для определения необходимости проведения коррекции. Дополнительные измерения могут быть выполнены для системы размером более двух кубитов. Поскольку измерение четности не измеряет состояние отдельных битов, а скорее получает информацию обо всем состоянии, оно считается примером совместного измерения. Совместные измерения не приводят к разрушению исходного состояния кубита, как это происходит при обычных квантовых измерениях. Говоря математическим языком, измерения четности используются для проецирования состояния в собственное состояние оператора и получения его собственного значения .

Измерение четности является важной концепцией квантовой коррекции ошибок . Из измерения четности можно применить соответствующую унитарную операцию для исправления ошибки, не зная начального состояния кубита.

Четность и проверка четности

Кубит — это двухуровневая система, и когда мы измеряем один кубит, в результате мы можем получить либо 1, либо 0. Единица соответствует нечетной четности, а ноль соответствует четной четности. Это и есть проверка четности. Эту идею можно распространить за пределы отдельных кубитов. Это можно обобщить за пределы одного кубита, и это полезно в QEC. Идея проверок четности в QEC состоит в том, чтобы иметь только информацию о четности нескольких кубитов данных по одному (вспомогательному) кубиту, не раскрывая никакой другой информации. Для проверки четности можно использовать любую унитарную единицу. Если мы хотим иметь информацию о четности действительной квантовой наблюдаемой U, нам нужно последовательно применить вентили с контролируемым U между вспомогательным кубитом и кубитами данных. Например, для выполнения измерения проверки четности в базисе X нам необходимо последовательно применить вентили CNOT между вспомогательным кубитом и кубитами данных, поскольку управляемым вентилем в этом случае является вентиль CNOT (CX).

Уникальное состояние вспомогательного кубита затем используется для определения четности или нечетности кубитов. Когда кубиты входных состояний равны, будет измерена четность, что указывает на то, что ошибки не произошло. Когда кубиты неравны, будет измерена нечетная четность, указывающая на ошибку инвертирования одного бита.

При наличии более двух кубитов можно выполнить дополнительные измерения четности, чтобы определить, имеют ли кубиты одинаковое значение, а если нет, то определить, какое из них является выбросом. Например, в системе из трех кубитов можно сначала выполнить измерение четности на первом и втором кубитах, а затем на первом и третьем кубитах. В частности, измеряется $Z\otimes Z\otimes I$ чтобы определить, является ли $X$ ошибка произошла на первых двух кубитах, а затем $Z\otimes I\otimes Z$ чтобы определить, является ли $X$ ошибка произошла на первом и третьем кубитах.

В схеме вспомогательный кубит готовится в $|0\rangle$ состояние. Во время измерения выполняется вентиль CNOT для вспомогательного бита, зависящий от первого проверяемого кубита, за которым следует второй вентиль CNOT, выполняемый для вспомогательного бита, зависящего от второго проверяемого кубита. Если эти кубиты одинаковы, двойные вентили CNOT вернут вспомогательный кубит в исходное состояние. $|0\rangle$ состояние, что указывает на четность. Если эти кубиты не одинаковы, двойные вентили CNOT изменят вспомогательный кубит на противоположный. $|1\rangle$ состояние, которое указывает на нечетную четность. Глядя на вспомогательные кубиты, можно выполнить соответствующую коррекцию.

Альтернативно, измерение четности можно рассматривать как проекцию состояния кубита в собственное состояние оператора и получение его собственного значения. Для $Z\otimes Z\otimes I$ измерение, проверка вспомогательного кубита в базисе $|0\rangle \pm \ |1\rangle$ вернет собственное значение измерения. Если здесь измеренное собственное значение равно +1, это указывает на четность битов без ошибок. Если измеренное собственное значение равно -1, это указывает на нечетную четность битов с ошибкой переворота битов.

Пример

Алиса, отправитель, хочет передать кубит Бобу, получателю. Состояние любого кубита, который Алиса хотела бы отправить, можно записать как $a\ |0\rangle +b\ |1\rangle$ где $a\$и $b\$являются коэффициентами. Алиса кодирует это в три кубита, так что начальное состояние, которое она передает, будет $a\ |000\rangle +b\ |111\rangle$. После шума в канале состояние трех кубитов можно увидеть в следующей таблице с соответствующей вероятностью:

Изменения состояния вследствие шума в квантовой схеме

Состояние кубита	Вероятность	Вспомогательные кубиты	Коррекция
$(a\ |000\rangle +b\ |111\rangle )\$	$(1-p)^{3}$	$|00\rangle$	не нужен
$(a\ |100\rangle +b\ |011\rangle )\$	$p(1-p)^{2}$	$|11\rangle$	применять $\sigma _{x}$ к первому кубиту
$(a\ |010\rangle +b\ |101\rangle )$	$p(1-p)^{2}$	$|10\rangle$	применять $\sigma _{x}$ ко второму кубиту
$(a\ |001\rangle +b\ |110\rangle )$	$p(1-p)^{2}$	$|01\rangle$	применять $\sigma _{x}$ к третьему кубиту
$(a\ |110\rangle +b\ |001\rangle )$	$p^{2}(1-p)$	$|01\rangle$	применять $\sigma _{x}$ к третьему кубиту
$(a\ |101\rangle +b\ |010\rangle )$	$p^{2}(1-p)$	$|10\rangle$	применять $\sigma _{x}$ ко второму кубиту
$(a\ |011\rangle +b\ |100\rangle )$	$p^{2}(1-p)$	$|11\rangle$	применять $\sigma _{x}$ к первому кубиту
$(a\ |111\rangle +b\ |000\rangle )\$	$p^{3}$	$|00\rangle$	не нужен

Измерение четности может быть выполнено в измененном состоянии, при этом измерения будут храниться в двух вспомогательных кубитах. Сначала проверяется четность первого и второго кубитов. Если они равны, то $|0\rangle$ хранится в первом вспомогательном кубите. Если они не равны, то $|1\rangle$ хранится в первом вспомогательном кубите. То же действие выполняется при сравнении первого и третьего кубитов, при этом проверка сохраняется во втором вспомогательном кубите. Важно отметить, что нам на самом деле не нужно знать состояние входного кубита, и мы можем выполнять операции CNOT, указывающие четность, без этих знаний. Вспомогательные кубиты указывают, какой бит был изменен, а $\sigma _{x}$ Операция коррекции может быть выполнена по мере необходимости.

Измерение четности при квантовой коррекции ошибок

Самый простой способ визуализировать это — на схеме выше. Во-первых, входное состояние $|\psi \rangle$ кодируется в 3 бита, и выполняются проверки четности с последующей коррекцией ошибок на основе результатов вспомогательных кубитов внизу. Наконец, выполняется декодирование для возврата к той же основе входного состояния.

Матрица проверки четности

Матрица проверки четности для квантовой схемы также может быть построена с использованием этих принципов. Для некоторого сообщения x, закодированного как Gx , где G соответствует матрице-генератору , Hx = 0, где H — матрица четности, содержащая 0 и 1 для ситуации, когда ошибки нет. Однако если в одном компоненте возникает ошибка, то по шаблону ошибок можно определить, какой бит неправильный.

Типы измерений четности

Два типа измерения четности — косвенные и прямые. Косвенные измерения четности совпадают с типичным способом измерения четности, описанным выше, путем измерения вспомогательного кубита для определения четности входных битов. Прямые измерения четности отличаются от предыдущего типа тем, что измеряются в общем режиме с четностями, связанными с кубитами, без необходимости использования вспомогательного кубита. В то время как косвенные измерения четности могут создать нагрузку на экспериментальные возможности, прямые измерения могут повлиять на точность начальных состояний.

Пример

Например, учитывая эрмитовский и унитарный оператор $U$ (собственные значения которых $\pm 1$) и государство $|\psi \rangle$, схема в правом верхнем углу выполняет измерение четности на $U$. После первого вентиля Адамара состояние схемы следующее:

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |\psi \rangle +|1\rangle |\psi \rangle )$

После применения вентиля с управляемым U состояние схемы меняется на

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |\psi \rangle +|1\rangle U|\psi \rangle )$

После применения второго вентиля Адамара состояние схемы меняется на

${\frac {1}{2}}|0\rangle (|\psi \rangle +U|\psi \rangle )+{\frac {1}{2}}|1\rangle (|\psi \rangle -U|\psi \rangle )$

Если состояние верхнего кубита после измерения $|0\rangle$, затем $|\phi \rangle =|\psi \rangle +U|\psi \rangle$; что такое $+1$ собственное состояние $U$. Если состояние верхнего кубита $|1\rangle$, затем $|\phi \rangle =|\psi \rangle -U|\psi \rangle$; что такое $-1$ собственное состояние $U$.

Эксперименты и приложения

В экспериментах измерения четности являются не только механизмом квантовой коррекции ошибок, но также могут помочь в борьбе с неидеальными условиями. Учитывая существующую возможность ошибок переворота битов, существует дополнительная вероятность ошибок в результате утечки. Это явление связано с возбуждением неиспользованных высокоэнергетических кубитов. кубитах было продемонстрировано На сверхпроводящих трансмон- , что измерения четности можно применять повторно во время квантовой коррекции ошибок для устранения ошибок утечки. Повторяющиеся измерения четности можно использовать для стабилизации запутанного состояния и предотвращения ошибок утечки (что обычно невозможно при типичной квантовой коррекции ошибок), но первая группа, добившаяся этого, сделала это в 2020 году. Выполнив чередование проверок XX и ZZ, которые могут в конечном итоге определить, возникает ли ошибка переворота X (бит), Y (iXZ) или Z (фаза). Результаты этих измерений четности вспомогательных кубитов используются со скрытыми моделями Маркова для завершения обнаружения и исправления утечек.