Классическая емкость

В квантовой теории информации классическая пропускная способность квантового канала — это максимальная скорость, с которой классические данные могут передаваться по нему без ошибок в пределах многих использований канала. Холево , Шумахер и Уэстморленд доказали следующую наименьшую верхнюю границу классической пропускной способности любого квантового канала: ${\mathcal {N}}$:

$\chi ({\mathcal {N}})=\max _{\rho ^{XA}}I(X;B)_{{\mathcal {N}}(\rho )}$

где $\rho ^{XA}$ представляет собой классически-квантовое состояние следующего вида:

$\rho ^{XA}=\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \langle x\vert ^{X}\otimes \rho _{x}^{A},$

$p_{X}(x)$ представляет собой распределение вероятностей, и каждое $\rho _{x}^{A}$ — оператор плотности, который можно ввести в канал ${\mathcal {N}}$.

Достижимость с

Кратко рассмотрим теорему HSW-кодирования (теоремузаявление о достижимости Холево информационной скорости $I(X;B)$ дляпередача классических данных по квантовому каналу). Сначала мы рассматриваемминимальное количество квантовой механики, необходимое для теоремы. Затем мы покрываемквантовой типичности, и, наконец, мы доказываем теорему, используя недавнее последовательноетехника декодирования.

Обзор квантовой механики

Чтобы доказать теорему о кодировании HSW, нам действительно нужно всего лишь несколько основныхвещи из квантовой механики . Во-первых, квантовое состояние — это единичный след,положительный оператор, известный как оператор плотности . Обычно мы обозначаем егок $\rho$, $\sigma$, $\omega$и т. д. Простейшая модель квантового канала известен как классически-квантовый канал:

$x\mapsto \rho _{x}.$

Смысл приведенных выше обозначений состоит в том, что ввод классической буквы $x$на передающем конце приводит к квантовому состоянию $\rho _{x}$ на приемеконец. Задача приемника – выполнить измерение для определенияввод отправителя. Если это правда, что государства $\rho _{x}$ идеальноотличимы друг от друга (т.е. если они имеют ортогональные носители такиечто $\mathrm {Tr} \,\left\{\rho _{x}\rho _{x^{\prime }}\right\}=0$ для $x\neq x^{\prime }$), то канал является бесшумным. Нас интересуют ситуациидля которого это не так. Если это правда, что государства $\rho _{x}$ всеездят друг с другом, то это фактически идентично ситуациидля классического канала, поэтому такие ситуации нас тоже не интересуют.Итак, нас интересует ситуация, в которой государства $\rho _{x}$ имеют перекрывающуюся поддержку и некоммутативны.

Самый общий способ описания квантового измерения — это положительная операторно-значная мера ( POVM ). Обычно мы обозначаем элементы POVM как $\left\{\Lambda _{m}\right\}_{m}$. Эти операторы должны удовлетворятьпозитивность и полнота для формирования действительного POVM:

$\Lambda _{m}\geq 0\ \ \ \ \forall m$

$\sum _{m}\Lambda _{m}=I.$

Вероятностная интерпретация квантовой механики утверждает, что если кто-тоизмеряет квантовое состояние $\rho$ с помощью измерительного устройства, соответствующегоПОВМ $\left\{\Lambda _{m}\right\}$, то вероятность $p\left(m\right)$ для получения результата $m$ равно

$p\left(m\right)={\text{Tr}}\left\{\Lambda _{m}\rho \right\},$

и состояние после измерения

$\rho _{m}^{\prime }={\frac {1}{p\left(m\right)}}{\sqrt {\Lambda _{m}}}\rho {\sqrt {\Lambda _{m}}},$

если человек, измеряющий, получает результат $m$. Нам достаточно этих правил.рассмотреть классические схемы связи по каналам cq.

Квантовая

Хороший обзор этой темы читатель может найти в статье о типичном подпространстве .

Лемма о мягком операторе

Следующая лемма важна для наших доказательств. Этодемонстрирует, что измерение, которое в среднем оказывается успешным с высокой вероятностьюв среднем не слишком беспокоит состояние:

Лемма: [Зима] Учитываяансамбль $\left\{p_{X}\left(x\right),\rho _{x}\right\}$ с ожидаемымоператор плотности $\rho \equiv \sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$, предполагатьчто оператор $\Lambda$ такой, что $I\geq \Lambda \geq 0$ добивается успеха с высокимвероятность состояния $\rho$:

${\text{Tr}}\left\{\Lambda \rho \right\}\geq 1-\epsilon .$

Тогда субнормализованное состояние ${\sqrt {\Lambda }}\rho _{x}{\sqrt {\Lambda }}$ близкона ожидаемом расстоянии следа от исходного состояния $\rho _{x}$:

$\mathbb {E} _{X}\left\{\left\Vert {\sqrt {\Lambda }}\rho _{X}{\sqrt {\Lambda }}-\rho _{X}\right\Vert _{1}\right\}\leq 2{\sqrt {\epsilon }}.$

(Обратите внимание, что $\left\Vert A\right\Vert _{1}$ — ядерная норма оператора $A$ так что $\left\Vert A\right\Vert _{1}\equiv$Тр $\left\{{\sqrt {A^{\dagger }A}}\right\}$.)

Нам также пригодится следующее неравенство. Это справедливо для любых операторов $\rho$, $\sigma$, $\Lambda$ такой, что $0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I$:

${\text{Tr}}\left\{\Lambda \rho \right\}\leq {\text{Tr}}\left\{\Lambda \sigma \right\}+\left\Vert \rho -\sigma \right\Vert _{1}.$ ( 1 )

Квантовая теоретико-информационная интерпретация приведенного выше неравенства такова:что вероятность получения результата $\Lambda$ из квантового измерениядействуя на государство $\rho$ ограничена сверху вероятностью полученияисход $\Lambda$ о состоянии $\sigma$ суммируется с различимостьюдва государства $\rho$ и $\sigma$.

Некоммутативное объединение

Лемма: [оценка Сена] Следующая оценкасправедливо для субнормализованного состояния $\sigma$ такой, что $0\leq \sigma$ и $Tr\left\{\sigma \right\}\leq 1$ с $\Pi _{1}$, ... , $\Pi _{N}$ существованиепроекторы: ${\text{Tr}}\left\{\sigma \right\}-{\text{Tr}}\left\{\Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\ \sigma \ \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\right\}\leq 2{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{i}\right)\sigma \right\}}},$

Мы можем думать о границе Сена как о «некоммутативном объединенииграница», поскольку она аналогична следующей границе объединенияиз теории вероятностей:

$\Pr \left\{\left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{N}\right)^{c}\right\}=\Pr \left\{A_{1}^{c}\cup \cdots \cup A_{N}^{c}\right\}\leq \sum _{i=1}^{N}\Pr \left\{A_{i}^{c}\right\},$

где $A_{1},\ldots ,A_{N}$ являются событиями. Аналогичная оценка для проекторалогика была бы

${\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\right)\rho \right\}\leq \sum _{i=1}^{N}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{i}\right)\rho \right\},$

если мы подумаем о $\Pi _{1}\cdots \Pi _{N}$ как проектор на пересечениеподпространства. Однако приведенная выше оценка справедлива только в том случае, если проекторы $\Pi _{1}$,..., $\Pi _{N}$ ездят на работу (выбирая $\Pi _{1}=\left\vert +\right\rangle \left\langle +\right\vert$, $\Pi _{2}=\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert$, и $\rho =\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert$ приводит контрпример). Если проекторы некоммутационные, то СенаBound — это следующий лучший вариант, и его достаточно для наших целей.

Теорема HSW с некоммутативной границей объединения

Теперь мы докажем теорему HSW с некоммутативной оценкой Сена. Мыразделите доказательство на несколько частей: генерация кодовой книги, построение POVM,и анализ ошибок.

Генерация кодовой книги. Сначала мы опишем, как Алиса и Боб договариваются ослучайный выбор кода. У них есть канал $x\rightarrow \rho _{x}$ ираспределение $p_{X}\left(x\right)$. Они выбирают $M$ классические последовательности $x^{n}$ согласно дистрибутиву IID\ $p_{X^{n}}\left(x^{n}\right)$.Выбрав их, они помечают их индексами как $\left\{x^{n}\left(m\right)\right\}_{m\in \left[M\right]}$. Это приводит к следующемуквантовые кодовые слова:

$\rho _{x^{n}\left(m\right)}=\rho _{x_{1}\left(m\right)}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}\left(m\right)}.$

Тогда квантовая кодовая книга $\left\{\rho _{x^{n}\left(m\right)}\right\}$. Тогда среднее состояние кодовой книги будет

$\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}}\right\}=\sum _{x^{n}}p_{X^{n}}\left(x^{n}\right)\rho _{x^{n}}=\rho ^{\otimes n},$ ( 2 )

где $\rho =\sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}$.

ПОВМ Строительство . Оценка Sens из приведенной выше леммы предлагает Бобу метод декодирования состояния, которое передает Алиса. Боб долженсначала спросите: «Является ли полученное состояние в среднем типичным?»подпространство?» Он может сделать это оперативно, выполнивтипичное измерение подпространства, соответствующее $\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$. Далее он спрашивает в последовательном порядке:"Находится ли полученное кодовое слово в $m^{\text{th}}$условно типичное подпространство?» Это в каком-то смыслеэквивалентно вопросу: «Является ли полученное кодовое слово $m^{\text{th}}$ переданное кодовое слово?" Он может задать этиоперативно задавать вопросы, выполняя измерения, соответствующиеусловно типовые проекторы $\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}$.

Почему эта схема последовательного декодирования должна работать хорошо? Причина в том, чтопередаваемое кодовое слово в среднем лежит в типичном подпространстве:

$\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \rho _{X^{n}}\right\}\right\}={\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}}\right\}\right\}$

$={\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \rho ^{\otimes n}\right\}$

$\geq 1-\epsilon ,$

где неравенство следует из (\ref{eq:1st-typ-prop}). Кроме того,проекторы $\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }$являются «хорошими детекторами» для штатов $\rho _{x^{n}\left(m\right)}$ (в среднем), поскольку из условного кванта выполнено условиетипичность:

$\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\ \rho _{X^{n}}\right\}\right\}\geq 1-\epsilon .$

Анализ ошибок . Вероятность обнаружения $m^{\text{th}}$правильное кодовое слово в нашей схеме последовательного декодирования равно

${\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\},$

где мы делаем сокращение ${\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi$. (Заметьте, что мыпроецируется в среднее типичное подпространство только один раз.) Таким образом, вероятностьнеправильное обнаружение $m^{\text{th}}$ кодовое слово задается

$1-{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\},$

а средняя вероятность ошибки этой схемы равна

$1-{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}.$

Вместо анализа средней вероятности ошибки мы анализируем математическое ожиданиесредней вероятности ошибки, где ожидание относительнослучайный выбор кода:

$1-\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}.$ ( 3 )

Наш первый шаг — применить оценку Сена к указанной выше величине. Но прежде чем делатьпоэтому нам следует немного переписать приведенное выше выражение, заметив, что

$1=\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}$

$=\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}+{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}$

$=\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}$

$=\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\right\}$

$\leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+\epsilon$

Подставляя в ( 3 ) (и забывая о малом $\epsilon$ термин на данный момент) дает верхнюю границу

$\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}$

$-\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}.$

Затем мы применяем оценку Сена к этому выражению с помощью $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ и последовательныйпроекторы как $\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }$, ${\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }$, ..., ${\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }$. Это дает верхнюю границу $\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.$Благодаря вогнутости квадратного корня мы можем оценить это выражение сверхук

$2\left[\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2}$

$\leq 2\left[\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2},$

где вторая оценка получается путем суммирования всех кодовых слов, не равныхк $m^{\text{th}}$ кодовое слово (эта сумма может быть только больше).

Сейчас мы сосредоточимся исключительно на том, чтобы показать, что член внутри квадратного корня можетсделать маленьким. Рассмотрим первый термин:

$\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}$

$\leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}+\left\Vert \rho _{X^{n}\left(m\right)}-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\Vert _{1}\right\}$

$\leq \epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}.$

где первое неравенство следует из ( 1 ) ивторое неравенство следует из леммы о мягком операторе исвойства безусловной и условной типичности. Рассмотрим теперьвторое слагаемое и следующую цепочку неравенств:

$\sum _{i\neq m}\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}$

$=\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$

$=\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho ^{\otimes n}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$

$\leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ {\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}$

Первое равенство следует из того, что кодовые слова $X^{n}\left(m\right)$ и $X^{n}\left(i\right)$ независимы, поскольку они различны. Второйравенство следует из ( 2 ). Первое неравенство следует из(\ref{eq:3rd-typ-prop}). Продолжая, мы имеем

$\leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\right\}$

$\leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ 2^{n\left[H\left(B|X\right)+\delta \right]}$

$=\sum _{i\neq m}2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}$

$\leq M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}.$

Первое неравенство следует из $\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I$ и обменслед с ожиданием. Второе неравенство следует из(\ref{eq:2nd-cond-typ}). Следующие два являются простыми.

Собрав все вместе, мы получаем окончательную оценку ожиданиясредняя вероятность ошибки:

$1-\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}$

$\leq \epsilon +2\left[\left(\epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}\right)+M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}\right]^{1/2}.$

Таким образом, пока мы выбираем $M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}$, существует код с нулевой вероятностью ошибки.

См. также

• Классическая способность с помощью запутывания
• Квантовая емкость
• Квантовая теория информации
• Типичное подпространство

Ссылки

• Холево, Александр С. (1998), «Пропускная способность квантового канала с общими состояниями сигнала», IEEE Transactions on Information Theory , 44 (1): 269–273, arXiv : quant-ph/9611023 , doi : 10.1109/18.651037 .
• Шумахер, Бенджамин; Уэстморленд, Майкл (1997), «Отправка классической информации через зашумленные квантовые каналы», Phys. Rev. A , 56 (1): 131–138, Bibcode : 1997PhRvA..56..131S , doi : 10.1103/PhysRevA.56.131 .
• Уайлд, Марк М. (2017), Квантовая теория информации , Издательство Кембриджского университета, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W , doi : 10.1017/9781316809976.001 , S2CID   2515538
• Сен, Пранаб (2012), «Достижение внутренней границы Хана-Кобаяши для канала квантовой интерференции путем последовательного декодирования», Международный симпозиум IEEE по материалам теории информации (ISIT 2012) , стр. 736–740, arXiv : 1109.0802 , doi : 10.1109 /ISIT.2012.6284656 , S2CID   15119225 .
• Гуха, Сайкат; Тан, Си-Хуэй; Уайлд, Марк М. (2012), «Приёмники с явной пропускной способностью для оптической связи и квантового чтения», Международный симпозиум IEEE по материалам теории информации (ISIT 2012) , стр. 551–555, arXiv : 1202.0518 , doi : 10.1109/ISIT .2012.6284251 , ISBN  978-1-4673-2579-0 , S2CID   8786400 .