Моногамия запутанности

В квантовой физике « моногамия » квантовой запутанности относится к фундаментальному свойству, заключающемуся в том, что она не может быть свободно разделена между сколь угодно большим количеством сторон.

Чтобы два кубита A и B были максимально запутаны , они не должны быть запутаны с каким третьим кубитом C. ни Даже если A и B не максимально запутаны, степень запутанности между ними ограничивает степень, до которой любой из них может быть запутан с C . В полной общности для $n\geq 3$ кубиты $A_{1},\ldots ,A_{n}$моногамия характеризуется неравенством Коффмана-Кунду-Вуттерса (CKW), которое гласит, что

$\sum _{k=2}^{n}\tau (\rho _{A_{1}A_{k}})\leq \tau (\rho _{A_{1}(A_{2}{\ldots }A_{n})})$

где $\rho _{A_{1}A_{k}}$ — матрица плотности подсостояния, состоящего из кубитов $A_{1}$ и $A_{k}$ и $\tau$ - это «клубок», количественная оценка двусторонней запутанности, равная квадрату совпадения .

Моногамия, которая тесно связана со свойством запрета клонирования , является чисто особенностью квантовых корреляций и не имеет классического аналога. Предположим, что две классические случайные величины X и Y коррелируют, мы можем скопировать или «клонировать» X , чтобы создать произвольное количество случайных величин, которые имеют точно такую ​​же корреляцию с Y . Если вместо этого мы позволим X и Y быть запутанными квантовыми состояниями, то X нельзя будет клонировать, и такого рода «полигамный» результат невозможен.

Моногамия запутанности имеет широкие последствия для приложений квантовой механики, от физики черных дыр до квантовой криптографии , где она играет ключевую роль в безопасности распределения квантовых ключей .

Доказательство

Моногамия двусторонней запутанности была установлена ​​для трехсторонних систем с точки зрения согласия Коффманом, Кунду и Вуттерсом в 2000 году. В 2006 году Осборн и Верстрете распространили этот результат на многочастный случай, доказав неравенство CKW.

Пример

Для иллюстрации рассмотрим трехкубитное состояние. $|\psi \rangle \in (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes 3}$ состоящий из A , B и C. кубитов Предположим, что A и B образуют (максимально запутанную) пару ЭПР . Мы покажем, что:

$|\psi \rangle =|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes |\phi \rangle _{C}$

для некоторого действительного квантового состояния $|\phi \rangle _{C}$. По определению запутанности это означает, что должен быть полностью распутан от A и B. C

При измерении в стандартном базисе A и B коллапсируют до состояний $|00\rangle$ и $|11\rangle$ с вероятностью ${\frac {1}{2}}$ каждый. Отсюда следует, что:

$|\psi \rangle =|00\rangle \otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )+|11\rangle \otimes (\beta _{0}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle )$

для некоторых $\alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}\in \mathbb {C}$ такой, что $|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2}=|\beta _{0}|^{2}+|\beta _{1}|^{2}={\frac {1}{2}}$. Мы можем переписать состояния A и B в терминах диагональных базисных векторов. $|+\rangle$ и $|-\rangle$:

$|\psi \rangle ={\frac {1}{2}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle )\otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )+{\frac {1}{2}}(|++\rangle -|+-\rangle -|-+\rangle +|--\rangle )\otimes (\beta _{0}|0\rangle +\beta _{1}|1\rangle )$

$={\frac {1}{2}}(|++\rangle +|--\rangle )\otimes ((\alpha _{0}+\beta _{0})|0\rangle +(\alpha _{1}+\beta _{1})|1\rangle )+{\frac {1}{2}}(|+-\rangle +|-+\rangle )\otimes ((\alpha _{0}-\beta _{0})|0\rangle +(\alpha _{1}-\beta _{1})|1\rangle )$

Будучи максимально запутанными, A и B коллапсируют в одно из двух состояний. $|++\rangle$ или $|--\rangle$ при измерении по диагонали. Вероятность наблюдения результатов $|+-\rangle$ или $|-+\rangle$ равен нулю. Следовательно, согласно приведенному выше уравнению, должно быть так, что $\alpha _{0}-\beta _{0}=0$ и $\alpha _{1}-\beta _{1}=0$. Отсюда сразу следует, что $\alpha _{0}=\beta _{0}$ и $\alpha _{1}=\beta _{1}$. Мы можем переписать наше выражение для $|\psi \rangle$ соответственно:

$|\psi \rangle =(|++\rangle +|--\rangle )\otimes (\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle )$

$=|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes ({\sqrt {2}}\alpha _{0}|0\rangle +{\sqrt {2}}\alpha _{1}|1\rangle )$

$=|{\text{EPR}}\rangle _{AB}\otimes |\phi \rangle _{C}$

Это показывает, что исходное состояние можно записать как произведение чистого состояния в AB и чистого состояния в C что состояние ЭПР в кубитах A и B не запутано с кубитом C. , а это означает ,