Протокол KLM

Схема KLM или протокол KLM — это реализация линейных оптических квантовых вычислений (LOQC), разработанная в 2000 году Эмануэлем Ниллом , Рэймондом Лафламмом и Джерардом Дж. Милберном . Этот протокол позволяет создавать универсальные квантовые компьютеры, используя исключительно линейные оптические инструменты. Протокол KLM использует линейные оптические элементы, источники одиночных фотонов и детекторы фотонов в качестве ресурсов для построения схемы квантовых вычислений, включающей только вспомогательные ресурсы, квантовую телепортацию и коррекцию ошибок .

Обзор

Схема KLM вызывает эффективное взаимодействие между фотонами путем проведения проективных измерений с помощью фотодетекторов , что попадает в категорию недетерминированных квантовых вычислений . Он основан на нелинейном сдвиге знака между двумя кубитами , который использует два вспомогательных фотона и постселекцию. Он также основан на демонстрации того, что вероятность успеха квантовых вентилей можно приблизить к единице, используя запутанные состояния, приготовленные недетерминированно, и квантовую телепортацию с однокубитными операциями. Без достаточно высокого уровня успеха одного блока квантовых вентилей может потребоваться экспоненциальное количество вычислительных ресурсов. Схема KLM основана на том факте, что правильное квантовое кодирование может эффективно сократить ресурсы для получения точно закодированных кубитов по отношению к достигаемой точности и может сделать LOQC отказоустойчивым к потере фотонов , неэффективности детектора и фазовой декогеренции . LOQC может быть надежно реализован с помощью схемы KLM с достаточно низкими требованиями к ресурсам, чтобы обеспечить практическую масштабируемость, что делает ее столь же многообещающей технологией квантовой обработки информации, как и другие известные реализации.

Элементы LOQC в схеме KLM

Кубиты и режимы

Чтобы не потерять общности, обсуждение ниже не ограничивается конкретным примером представления режима. Состояние, записанное как $|0,1\rangle _{VH}$ означает состояние с нулевым фотоном в режиме $V$ (может быть канал «вертикальной» поляризации) и один фотон в моде $H$ (может быть канал «горизонтальной» поляризации).

В протоколе KLM каждый из фотонов обычно находится в одной из двух мод, причем моды у фотонов различны (вероятность того, что мода занята более чем одним фотоном, равна нулю). Это происходит не только при реализации управляемых квантовых вентилей, таких как CNOT. Когда состояние системы соответствует описанию, фотоны можно различить, поскольку они находятся в разных модах, и поэтому состояние кубита можно представить с помощью одного фотона в двух режимах: вертикальном (V) и горизонтальном (H): для пример, $|0\rangle \equiv |0,1\rangle _{VH}$ и $|1\rangle \equiv |1,0\rangle _{VH}$. Состояния, определяемые через занятие мод, принято называть состояниями Фока .

Такие обозначения полезны в квантовых вычислениях , квантовой связи и квантовой криптографии . Например, используя эти обозначения, очень легко учесть потерю одного фотона , просто добавив состояние вакуума $|0,0\rangle _{VH}$ содержащий ноль фотонов в этих двух модах. Другой пример: при наличии двух фотонов в двух разделенных модах (например, в двух временных интервалах или двух плечах интерферометра ) легко описать запутанное состояние двух фотонов. Синглетное состояние (два связанных фотона с общим спиновым квантовым числом $s=0$) можно описать следующим образом:если $|1,0\rangle _{VH}^{a},|0,1\rangle _{VH}^{a}$ и $|1,0\rangle _{VH}^{b},|0,1\rangle _{VH}^{b}$ описывают базисные состояния двух разделенных мод, тогда синглетное состояние будет $(|1,0\rangle _{VH}^{a}|0,1\rangle _{VH}^{b}-|0,1\rangle _{VH}^{a}|1,0\rangle _{VH}^{b})/{\sqrt {2}}.$

Состояние измерения/считывания

В протоколе KLM квантовое состояние можно считывать или измерять с помощью детекторов фотонов в выбранных модах. Если фотодетектор обнаруживает фотонный сигнал в данном режиме, это означает, что перед измерением соответствующее состояние режима является 1-фотонным. Как обсуждалось в предложении KLM, Потеря фотонов и эффективность регистрации существенно влияют на достоверность результатов измерений. Соответствующая проблема сбоя и методы исправления ошибок будут описаны позже.

Треугольник с заостренным влево треугольником будет использоваться на принципиальных схемах для обозначения оператора считывания состояния в этой статье.

Реализации элементарных квантовых вентилей

Не принимая во внимание коррекцию ошибок и другие проблемы, основной принцип реализации элементарных квантовых вентилей с использованием только зеркал, светоделителей и фазовращателей заключается в том, что, используя эти линейные оптические элементы, можно построить любую произвольную унитарную операцию с 1 кубитом; другими словами, эти линейные оптические элементы поддерживают полный набор операторов на любом отдельном кубите.

Унитарная матрица, связанная с светоделителем $\mathbf {B} _{\theta ,\phi }$ является:

$U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-e^{i\phi }\sin \theta \\e^{-i\phi }\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$,

где $\theta$ и $\phi$ определяются амплитудой отражения $r$ и амплитуда передачи $t$ (для более простого случая связь будет указана позже). Для симметричного светоделителя, имеющего фазовый сдвиг $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ при условии унитарного преобразования $|t|^{2}+|r|^{2}=1$ и $t^{*}r+tr^{*}=0$, можно показать, что

$U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi ={\frac {\pi }{2}}})={\begin{bmatrix}t&r\\r&t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-i\sin \theta \\-i\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}=\cos \theta {\hat {I}}-i\sin \theta {\hat {\sigma }}_{x}=e^{-i\theta {\hat {\sigma }}_{x}}$,

что представляет собой вращение состояния одного кубита вокруг $x$-ось по $2\theta =2\cos ^{-1}(|t|)$ в сфере Блоха .

Зеркало — это частный случай, когда коэффициент отражения равен 1, так что соответствующий унитарный оператор представляет собой матрицу вращения , определяемую формулой

$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$.

Для большинства случаев светоделителей, используемых в QIP, угол падения $\theta =45^{\circ }$.

Аналогично, оператор фазовращателя $\mathbf {P} _{\phi }$ ассоциируется с унитарным оператором, описываемым $U(\mathbf {P} _{\phi })=e^{i\phi }$, или, если записано в 2-режимном формате

$U(\mathbf {P} _{\phi })={\begin{bmatrix}e^{i\phi }&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{i\phi /2}&0\\0&e^{-i\phi /2}\end{bmatrix}}{\text{(global phase ignored)}}=e^{i{\frac {\phi }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}}$,

что эквивалентно вращению $-\phi$ о $z$-ось.

Поскольку любые два $SU(2)$ вращения вдоль ортогональных вращающихся осей могут генерировать произвольные вращения в сфере Блоха, можно использовать набор симметричных светоделителей и зеркал для реализации произвольного вращения. $SU(2)$ операторы для QIP. На рисунках ниже приведены примеры реализации вентиля Адамара и вентиля Паули-X (вентиль НЕ) с использованием светоделителей (показаны в виде прямоугольников, соединяющих два набора пересекающихся линий с параметрами $\theta$ и $\phi$) и зеркала (показаны в виде прямоугольников, соединяющих два набора пересекающихся линий с параметром $R(\theta )$).

Реализация вентиля Адамара с светоделителем и зеркалом. Квантовая схема находится в верхней части.

Реализация затвора Паули-Х (НЕ затвора) со светоделителем. Квантовая схема находится в верхней части.

На рисунках выше кубит кодируется с использованием двух режимных каналов (горизонтальные линии): $\left\vert 0\right\rangle$ представляет фотон в верхней моде, а $\left\vert 1\right\rangle$ представляет фотон в нижней моде.

В схеме KLM манипуляции с кубитами реализуются посредством серии недетерминированных операций с возрастающей вероятностью успеха. Первое усовершенствование этой реализации, которое будет обсуждаться, — это недетерминированный условный вентиль с откидным знаком.

Реализация недетерминированного условного знакового вентиля

Важным элементом схемы KLM является условный переворот знака или нелинейный гейт переворота знака ( NS-gate ), как показано на рисунке ниже справа. Это дает нелинейный фазовый сдвиг на одной моде, обусловленный двумя вспомогательными модами.

Линейная оптическая реализация NS-ворота. Элементы, обведенные рамкой с пунктирной рамкой, представляют собой реализацию линейной оптики с тремя светоделителями и одним фазовращателем (параметры см. в тексте). Режимы 2 и 3 являются вспомогательными режимами.

На рисунке справа метки слева от нижнего поля обозначают режимы. Выходной сигнал принимается только в том случае, если обнаружен один фотон в режиме 2 и ноль фотонов в режиме 3, где вспомогательные режимы 2 и 3 подготовлены как $|1,0\rangle _{2,3}$ состояние. Нижний индекс $x$ — фазовый сдвиг выходного сигнала, который определяется параметрами выбранных внутренних оптических элементов. Для $x=-1$ случае используются следующие параметры: $\theta _{1}=22.5^{\circ }$, $\phi _{1}=0^{\circ }$, $\theta _{2}=65.5302^{\circ }$, $\phi _{2}=0^{\circ }$, $\theta _{3}=-22.5^{\circ }$, $\phi _{3}=0^{\circ }$, и $\phi _{4}=180^{\circ }$. Для $x=e^{i\pi /2}$ случае параметры могут быть выбраны как $\theta _{1}=36.53^{\circ }$, $\phi _{1}=88.24^{\circ }$, $\theta _{2}=62.25^{\circ }$, $\phi _{2}=-66.53^{\circ }$, $\theta _{3}=-36.53^{\circ }$, $\phi _{3}=-11.25^{\circ }$, и $\phi _{4}=102.24^{\circ }$. Аналогичным образом, изменяя параметры светоделителей и фазовращателей или комбинируя несколько вентилей NS, можно создавать различные квантовые вентили. Используя два вспомогательных режима, Нилл изобрел следующий вентиль с контролируемой Z (см. рисунок справа) с вероятностью успеха 2/27.

Реализация линейной оптики Controlled-Z Gate со вспомогательными режимами, обозначенными как 2 и 3. $\theta =54.74^{\circ }$ и $\theta '=17.63^{\circ }$.

Преимущество использования вентилей NS заключается в том, что выходные данные могут быть гарантированно обработаны по условию с некоторой вероятностью успеха, которую можно повысить почти до 1. Используя конфигурацию, показанную на рисунке выше справа, вероятность успеха $x=-1$ NS-ворота $1/4$. Чтобы еще больше повысить успешную скорость и решить проблему масштабируемости, необходимо использовать телепортацию ворот, описанную ниже.

почти

Учитывая использование недетерминированных квантовых вентилей для KLM, вероятность $p^{N}$ что схема с $N$ ворота с вероятностью успеха одиночных ворот $p$ будет работать отлично, запустив схему один раз. Поэтому операции необходимо в среднем повторять порядка $p^{-N}$ раз или $p^{-N}$ такие системы должны работать параллельно. В любом случае требуемое время или ресурсы схемы масштабируются экспоненциально. В 1999 году Готтесман и Чуанг отметили, что вероятностные вентили можно подготовить автономно от квантовой схемы, используя квантовую телепортацию . Основная идея заключается в том, что каждый вероятностный вентиль готовится в автономном режиме, а сигнал об успешном событии телепортируется обратно в квантовую схему. Иллюстрация квантовой телепортации представлена ​​на рисунке справа. Как можно видеть, квантовое состояние в режиме 1 телепортируется в режим 3 посредством измерения Белла и запутанного ресурсного состояния Белла. $|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|10\rangle )$, где состояние 1 можно считать подготовленным в автономном режиме.

Ресурс Bell State $|\Phi ^{+}\rangle$ может быть сгенерировано из состояния $|10\rangle$ с помощью зеркала с параметром $\theta ={\frac {\pi }{4}}.$

Квантовое представление квантовой телепортации.

Используя телепортацию, можно подготовить множество вероятностных ворот параллельно с $n$- фотонные запутанные состояния , посылающие управляющий сигнал в режим вывода. Через использование $n$ вероятностные ворота параллельно в автономном режиме, вероятность успеха ${\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}$ можно получить, что близко к 1, так как $n$ становится большим. Количество вентилей, необходимых для реализации определенной точности, масштабируется полиномиально, а не экспоненциально. В этом смысле протокол KLM является ресурсоэффективным. Один эксперимент с использованием первоначально предложенного KLM вентиля «управляемое НЕ» с четырехфотонным входом был продемонстрирован в 2011 году: и дал среднюю точность $F=0.82\pm 0.01$.

Обнаружение и исправление ошибок

Как обсуждалось выше, вероятность успеха телепортационных врат можно сделать сколь угодно близкой к 1, подготовив более крупные запутанные состояния . Однако асимптотический подход к вероятности 1 довольно медленный по отношению к фотонов. числу $n$. Более эффективный подход заключается в кодировании отказа (ошибки) ворот на основе четко определенного режима отказа телепортов. В протоколе KLM неисправность телепорта можно диагностировать, если ноль или $n+1$ фотоны обнаруживаются. Если вычислительное устройство можно будет закодировать против случайных измерений некоторого определенного количества фотонов, тогда можно будет исправить сбои вентиля, и вероятность в конечном итоге успешного применения вентиля увеличится.

Было проведено множество экспериментальных испытаний с использованием этой идеи (см., например, работы ). Однако для достижения вероятности успеха, очень близкой к 1, по-прежнему необходимо большое количество операций. Для продвижения протокола KLM как жизнеспособной технологии необходимы более эффективные квантовые вентили. Это тема следующей части.

Улучшения

В этом разделе обсуждаются улучшения протокола KLM, которые были изучены после первоначального предложения.

Существует множество способов улучшить протокол KLM для LOQC и сделать LOQC более перспективным. Ниже приведены некоторые предложения из обзорной статьи Ref. и другие последующие статьи:

• Использование состояний кластера в оптических квантовых вычислениях .
• на основе схем Возвращение к оптическим квантовым вычислениям .
• Использование одноэтапной детерминированной многочастной очистки запутанности с помощью линейной оптики для генерации запутанных фотонных состояний.

Существует несколько протоколов для использования состояний кластера для улучшения протокола KLM. Модель вычислений с этими протоколами представляет собой реализацию LOQC одностороннего квантового компьютера :

• Протокол Йорана-Резника — этот протокол использует кластерные цепочки для увеличения вероятности успешной телепортации.
• Протокол Нильсена — этот протокол улучшает протокол Йорана-Резника, сначала используя телепортацию для добавления кубитов в цепочки кластеров, а затем использует увеличенные цепочки кластеров для дальнейшего увеличения вероятности успеха телепортации.
• Протокол Брауна-Рудольфа — этот протокол улучшает протокол Нильсена, используя телепортацию не только для добавления кубитов в цепочки кластеров, но и для их объединения.

См. также

• Выборка бозонов