Спиновое квантовое число

В физике и химии спиновое квантовое число — это квантовое число (обозначаемое s ), которое описывает собственный угловой момент (или спиновый угловой момент, или просто спин ) электрона или другой частицы . Оно имеет одинаковое значение для всех частиц одного типа, например s = ⁠ 1/2 ⁠ всех для электронов. Это целое число для всех бозонов , таких как фотоны , и полунечетное целое число для всех фермионов , таких как электроны и протоны .

Компонента спина вдоль заданной оси задается спиновым магнитным квантовым числом , условно ms _{обозначаемым} . Значение m _s — это составляющая спинового углового момента в единицах приведенной постоянной Планка ħ , параллельная заданному направлению (обычно называемому осью z ). Он может принимать значения в диапазоне от + s до – s с целым приращением. Для электрона m _s может быть либо ⁠+ + 1 / 2 ⁠ или ⁠− + 1 / 2 ⁠ .

Номенклатура

Квантовая проекция S на z для получастиц со спином

Фраза « спиновое квантовое число» относится к квантованному спиновому угловому моменту . Символ s используется для обозначения спинового квантового числа, а m _s описывается как спиновое магнитное квантовое число. или как z -компонента спина s _z .

И полный спин, и z-компонент спина квантуются, что приводит к двум квантовым числам: спину и квантовым числам спинового магнита. (Общее) спиновое квантовое число имеет только одно значение для каждой элементарной частицы. некоторых вводных учебниках по химии m _В описывается как спиновое квантовое число . и s не упоминается, поскольку его значение ⁠ 1/2 ⁠ ; — фиксированное свойство электрона некоторые даже используют переменную s вместо m _s .

Два спиновых квантовых числа $s$ и $m_{s}$ являются аналогами спинового углового момента двух квантовых чисел орбитального углового момента. $l$ и $m_{l}$.

Спиновые квантовые числа применимы также к системам связанных спинов, таким как атомы, которые могут содержать более одного электрона. Используются символы с заглавной буквы: S для полного электронного спина и m _S или MS _для компонента оси z . Пара электронов в спин- синглетном состоянии имеет S = 0, а пара в триплетном состоянии - S = 1, при этом m _S = -1, 0 или +1. Квантовые числа ядерного спина обычно обозначаются I для обозначения спина и m _I или MI _для компонента оси z .

Название «спин» происходит от геометрического вращения электрона вокруг оси, предложенного Уленбеком и Гаудсмитом . Однако быстро стало понятно, что эта упрощенная картина физически нереалистична, поскольку для этого потребовалось бы, чтобы электроны вращались быстрее скорости света. Поэтому оно было заменено более абстрактным квантовомеханическим описанием.

История

Смотрите также: Спин (физика) § История

В период между 1916 и 1925 годами был достигнут большой прогресс в отношении расположения электронов в таблице Менделеева . Чтобы объяснить эффект Зеемана в атоме Бора, Зоммерфельд предположил, что электроны будут основаны на трех «квантовых числах» n, k и m, которые описывают размер орбиты, форму орбиты и направление куда указывала орбита. Ирвинг Ленгмюр объяснил в своей статье 1919 года об электронах в их оболочках: «Ридберг указал, что эти числа получены из ряда $N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})$. Фактор два предполагает фундаментальную двойную симметрию для всех стабильных атомов». Этот $2n^{2}$ Конфигурация была принята Эдмундом Стоунером в октябре 1924 года в его статье «Распределение электронов по атомным уровням», опубликованной в «Философском журнале».

Качественный успех схемы квантовых чисел Зоммерфельда не смог объяснить эффект Зеемана в слабых магнитных полях, аномальный эффект Зеемана . В декабре 1924 г. Вольфганг Паули показал, что угловой момент остовного электрона не связан с эффектом, как предполагалось ранее. Скорее он предположил, что только внешние «легкие» электроны определяют угловой момент, и онвыдвинул гипотезу, что для этого требуется четвертое квантовое число с двузначностью. Это четвертое квантовое число стало спиновым магнитным квантовым числом.

Электронный спин

Основная статья: Спин (физика)

Спин- ⁠ 1/2 спина ⁠ квантовым числом углового частица характеризуется момента для s = ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . В решениях уравнения Шрёдингера-Паули угловой момент квантовается согласно этому числу, так что величина спинового углового момента равна

$$\|{\mathbf {S}}\|=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\ \hbar ~.$$

спектра водорода Тонкая структура наблюдается как дублет, соответствующий двум возможностям z -компоненты углового момента, где для любого заданного направления z : $$s_{z}=\pm {\tfrac {1}{2}}\hbar ~.$$

решение которого имеет только две возможные z -компоненты для электрона. В электроне две разные ориентации спина иногда называют «спин вверх» или «спин вниз».

Спиновое свойство электрона привело бы к возникновению магнитного момента , который был необходим для четвертого квантового числа.

Вектор магнитного момента спина электрона определяется выражением:

$$\ {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-{\frac {e}{\ 2m\ }}\ g_{\text{s}}\ {\mathbf {S}}\$$

где $-e$ – заряд электрона , $m$ - масса электрона , а $g_{\text{s}}$ — g-фактор спина электрона , который равен примерно 2,0023.Его проекция по оси z определяется спиновым магнитным квантовым числом. $m_{\text{s}}$ в соответствии с:

$$\mu _{z}=-m_{\text{s}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}=\pm {\tfrac {1}{2}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}\$$

где $\ \mu _{\mathsf {B}}\$ это магнетон Бора .

Когда атомы имеют четное количество электронов, спин каждого электрона на каждой орбитали имеет ориентацию, противоположную ориентации его непосредственного соседа (ов). Однако многие атомы имеют нечетное количество электронов или расположение электронов, в котором существует неодинаковое количество ориентаций «спин вверх» и «спин вниз». Говорят, что эти атомы или электроны имеют неспаренные спины, которые обнаруживаются в электронном спиновом резонансе .

Ядерный спин

Атомные ядра также имеют спины. Ядерный спин I является фиксированным свойством каждого ядра и может быть целым или полуцелым числом. Компонента m _I ядерного спина, параллельная оси z , может иметь (2 I + 1) значения I , I –1, ..., –I . Например, ¹⁴ Ядро N имеет I = 1, так что существует 3 возможных ориентации относительно оси z , соответствующих состояниям m _I = +1, 0 и −1.

Спины I различных ядер интерпретируются с помощью модели ядерной оболочки . Четно-четные ядра с четным числом протонов и нейтронов, такие как ¹² С и ¹⁶ О , спин равен нулю. Ядра с нечетными массовыми числами имеют полуцелые спины, например ⁠ 3 / 2 ⁠ для ⁷ Что , ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ за ¹³ С и ⁠ 5 / 2 ⁠ за ¹⁷ O , обычно соответствующий угловому моменту последнего добавленного нуклона . Нечетные ядра с нечетным числом протонов и нейтронов имеют целые спины, например 3 для ¹⁰ B и 1 для ¹⁴ Н. ​ Значения ядерного спина для данного изотопа находятся в списках изотопов для каждого элемента. (См. изотопы кислорода , изотопы алюминия и т. д. и т. п.)

Обнаружение вращения

Когда линии спектра водорода исследуются с очень высоким разрешением, оказывается, что они представляют собой близко расположенные дублеты. Это расщепление называется тонкой структурой и было одним из первых экспериментальных свидетельств спина электрона. Прямое наблюдение собственного углового момента электрона было достигнуто в эксперименте Штерна – Герлаха .

Эксперимент Штерна-Герлаха

Основная статья: эксперимент Штерна-Герлаха

Теория пространственного квантования спинового момента электронов атомов, находящихся в магнитном поле, нуждалась в экспериментальном подтверждении. В 1922 году (за два года до создания теоретического описания спина) Отто Штерн и Вальтер Герлах наблюдали его в проведенном ими эксперименте.

Атомы серебра испарялись с помощью электрической печи в вакууме. С помощью тонких щелей атомы направлялись в плоский луч, который проходил через неоднородное магнитное поле, прежде чем столкнуться с металлической пластиной. Законы классической физики предсказывают, что совокупность конденсированных атомов серебра на пластине должна образовать тонкую сплошную линию той же формы, что и исходный луч. Однако неоднородное магнитное поле привело к тому, что луч разделился на два отдельных направления, создав две линии на металлической пластине.

Явление можно объяснить пространственным квантованием спинового момента импульса. В атомах электроны спарены так, что один вращается вверх, а другой вниз, нейтрализуя влияние их вращения на действие атома в целом. Но в валентной оболочке атомов серебра имеется единственный электрон, спин которого остается неуравновешенным.

Несбалансированный спин создает спиновый магнитный момент , заставляя электрон действовать как очень маленький магнит. Когда атомы проходят через неоднородное магнитное поле, момент силы в магнитном поле влияет на диполь электрона до тех пор, пока его положение не совпадет с направлением более сильного поля. Тогда атом будет притягиваться к более сильному магнитному полю или от него на определенную величину, в зависимости от значения спина валентного электрона. Когда спин электрона ⁠+ + 1/2 и когда ⁠ атом удаляется от более сильного поля , спин ⁠− + 1/2 ⁠ . нему атом движется к Таким образом, пучок атомов серебра при прохождении через неоднородное магнитное поле расщепляется в соответствии со спином валентного электрона каждого атома.

В 1927 году Фиппс и Тейлор провели аналогичный эксперимент, используя атомы водорода, и получили аналогичные результаты. Позже учёные провели эксперименты с другими атомами, имеющими в валентной оболочке только один электрон: ( медь , золото , натрий , калий ). Каждый раз на металлической пластине образовывались две линии.

Атомное ядро ​​тоже может иметь спин, но протоны и нейтроны значительно тяжелее электронов (примерно в 1836 раз), а магнитный дипольный момент обратно пропорционален массе. Таким образом, магнитный дипольный момент ядра намного меньше, чем у всего атома. Этот небольшой магнитный диполь позже был измерен Штерном, Фришем и Истерманом.

Электронный парамагнитный резонанс

Для атомов или молекул с неспаренным электроном также можно наблюдать переходы в магнитном поле, при которых меняется только спиновое квантовое число без изменения электронной орбитали или других квантовых чисел. Это метод электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) или электронного спинового резонанса (ЭПР), используемый для изучения свободных радикалов . Поскольку меняется только магнитное взаимодействие спина, то изменение энергии гораздо меньше, чем при переходах между орбиталями, и спектры наблюдаются в микроволновой области.

Связь с векторами спина

Для решения либо нерелятивистского уравнения Паули , либо релятивистского уравнения Дирака квантованный угловой момент (см. квантовое число углового момента ) можно записать как: $$\Vert \mathbf {s} \Vert ={\sqrt {s\,(s+1)\,}}\,\hbar$$где

• $\mathbf {s}$ это квантованный вектор спина или спинор
• $\Vert \mathbf {s} \Vert$ — норма вектора спина
• s - спиновое квантовое число, связанное со спиновым угловым моментом.
• $\hbar$ – приведенная постоянная Планка .

Для произвольного направления z (обычно определяемого внешним магнитным полем) проекция спина z определяется выражением

$s_{z}=m_{s}\,\hbar$

где m _s — квантовое число магнитного спина , изменяющееся от − s до + s с шагом в единицу. Это генерирует 2 s + 1 различных значений m _s .

Допустимые значения для s — неотрицательные целые или полуцелые числа . Фермионы имеют полуцелые значения, включая электрон , протон и нейтрон , которые имеют s = ⁠+ + 1 / 2 ⁠ . Бозоны, такие как фотон и все мезоны , имеют целочисленные значения спина.

Алгебра

Алгебраическая теория спина является точной копией момента импульса в теории квантовой механики. Прежде всего, спин удовлетворяет фундаментальному коммутационному соотношению : $$\ [S_{i},S_{j}]=i\ \hbar \ \epsilon _{ijk}\ S_{k}\ ,$$$$\ \left[S_{i},S^{2}\right]=0\$$где $\ \epsilon _{ijk}\$ (антисимметричный) символ Леви-Чивита . Это означает, что невозможно знать две координаты вращения одновременно из-за ограничения принципа неопределенности .

Далее, векторы собственные $\ S^{2}\$ и $\ S_{z}\$ удовлетворить: $$\ S^{2}\ |s,m_{s}\rangle ={\hbar }^{2}\ s(s+1)\ |s,m_{s}\rangle \$$$$\ S_{z}\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ m_{s}\ |s,m_{s}\rangle \$$$$\ S_{\pm }\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)\ }}\;|s,m_{s}\pm 1\rangle \$$где $\ S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}\$ являются операторами лестницы (или «подъёма» и «опускания»).

Уровни энергии из уравнения Дирака

В 1928 году Поль Дирак разработал релятивистское волновое уравнение , теперь называемое уравнением Дирака , которое правильно предсказало спиновый магнитный момент и в то же время рассматривало электрон как точечную частицу. При решении уравнения Дирака для энергетических уровней электрона в атоме водорода все четыре квантовых числа, включая s, возникли естественным образом и хорошо согласовались с экспериментом.

Полный спин атома или молекулы

некоторых атомов спины общее нескольких неспаренных электронов ( s1 _Для , s2 _{квантовое} ...) связаны, образуя спиновое число S. , Это происходит особенно в легких атомах (или в молекулах, образованных только из легких атомов), когда спин-орбитальная связь слаба по сравнению со связью между спинами или связью между орбитальными угловыми моментами , ситуация, известная как LS- связь, потому что L и S являются константами движение . Здесь L — квантовое число полного орбитального углового момента.

Для атомов с четко определенным S кратность состояния определяется как 2 S + 1 . Это равно числу различных возможных значений полного (орбитального плюс спина) углового момента J для данной комбинации ( L , S ) при условии, что S ≤ L (типичный случай). Например, если S = ​​1, есть три состояния, которые образуют тройку . Собственные значения S z _и состояний равны +1ħ, 0 для этих трех −1ħ . Термин «символ атомного состояния» указывает на его L , S и J. значения

Например, основные состояния как атома кислорода , так и молекулы дикислорода имеют два неспаренных электрона и, следовательно, являются триплетными состояниями. Атомное состояние описывается термином символ ³ P, а молекулярное состояние обозначено символом термина ³ С ⁻
_г .

См. также

• Квантовое число полного углового момента
• Ротационная спектроскопия
• Основная квантовая механика

Внешние ссылки

• Вайс, Майкл (2001). «Полное рассмотрение спина, включая происхождение, эволюцию теории спина и детали уравнений спина» . Кафедра математики . Калифорнийский университет Риверсайд .