Спинор

Спинор визуализируется как вектор, направленный вдоль ленты Мёбиуса , демонстрирующий инверсию знака, когда круг («физическая система») непрерывно вращается на полный оборот на 360 °.

В геометрии и физике спиноры (произносится как «спиннер» IPA / s p ɪ n ər / ) — это элементы комплексных чисел на основе векторного пространства , которое можно связать с евклидовым пространством . Спинор преобразуется линейно, когда евклидово пространство подвергается небольшому ( бесконечно малому ) вращению: но в отличие от геометрических векторов и тензоров , спинор преобразуется в отрицательный, когда пространство вращается на 360° (см. рисунок). Спинору требуется поворот на 720°, чтобы вернуться в исходное состояние. Это свойство характеризует спиноры: спиноры можно рассматривать как «квадратные корни» векторов (хотя это неточно и может вводить в заблуждение; их лучше рассматривать как «квадратные корни» секций векторных расслоений - в случае внешней алгебры) расслоения они . кокасательного расслоения , таким образом, становятся «квадратными корнями» дифференциальных форм ).

Также можно связать по существу аналогичное понятие спинора с пространством Минковского , и в этом случае преобразования Лоренца специальной теории относительности играют роль вращений. Спиноры были введены в геометрию Эли Картаном в 1913 году. В 1920-х годах физики обнаружили, что спиноры необходимы для описания собственного углового момента или «спина» электрона и других субатомных частиц.

Спиноры характеризуются специфическим поведением при вращении. Они изменяются по-разному в зависимости не только от общего окончательного вращения, но и от деталей того, как это вращение было достигнуто (с помощью непрерывного пути в группе вращения ). Существует два топологически различимых класса ( гомотопических класса ) путей посредством вращений, которые приводят к одному и тому же общему вращению, как показано в головоломке с трюком с поясом . Эти два неэквивалентных класса дают спинорные преобразования противоположного знака. Группа спинов — это группа всех вращений, отслеживающих класс. Он дважды охватывает группу вращений, поскольку каждое вращение может быть получено двумя неэквивалентными способами в качестве конечной точки пути. Пространство спиноров по определению оснащено (комплексным) линейным представлением спиновой группы, а это означает, что элементы спиновой группы действуют как линейные преобразования в пространстве спиноров, причем это действительно зависит от гомотопического класса. В математических терминах спиноры описываются двузначным проективным представлением группы вращений SO(3) .

Хотя спиноры могут быть определены исключительно как элементы пространства представления спиновой группы (или ее алгебры Ли бесконечно малых вращений), они обычно определяются как элементы векторного пространства, которое несет линейное представление алгебры Клиффорда . Алгебра Клиффорда — это ассоциативная алгебра , которая может быть построена из евклидова пространства и его внутреннего продукта независимо от базиса. И спиновая группа, и ее алгебра Ли естественным образом вложены в алгебру Клиффорда, и в приложениях с алгеброй Клиффорда часто проще всего работать. Пространство Клиффорда действует в спинорном пространстве, а элементы спинорного пространства являются спинорами. После выбора ортонормированного базиса евклидова пространства представление алгебры Клиффорда генерируется гамма-матрицами , матрицами, которые удовлетворяют набору канонических антикоммутационных отношений. Спиноры — это векторы-столбцы, на которые действуют эти матрицы. Например, в трёх евклидовых измерениях спиновые матрицы Паули представляют собой набор гамма-матриц, а двухкомпонентные комплексные векторы-столбцы, на которые действуют эти матрицы, являются спинорами. Однако конкретное матричное представление алгебры Клиффорда, а следовательно, и то, что именно представляет собой «вектор-столбец» (или спинор), существенно включает в себя выбор базиса и гамма-матрицы. В качестве представления спиновой группы эта реализация спиноров как (комплексная ) векторы-столбцы либо будут неприводимыми , если размерность нечетная, либо разложатся на пару так называемых «полуспиновых» представлений или представлений Вейля, если размерность четная.

Введение

Постепенное вращение можно представить в виде ленты в пространстве. , показаны два постепенных вращения разных классов: одно на 360° и одно на 720° с поясом Здесь, в головоломке . Решение головоломки — непрерывные манипуляции с ремнем, фиксируя концы, которые его раскручивают. Это невозможно при вращении на 360°, но возможно при вращении на 720°. Решение, показанное на второй анимации, дает явную гомотопию в группе вращений между вращением на 720° и единичным вращением на 0°.

Предмет, прикрепленный к ремням или веревкам, может непрерывно вращаться, не запутываясь. Обратите внимание, что после того, как куб совершает поворот на 360°, спираль меняет свое первоначальное положение на противоположное. Ремни возвращаются к исходной конфигурации после поворота на полные 720°.

Более крайний пример, демонстрирующий, что это работает с любым количеством строк. В пределе кусок сплошного непрерывного пространства может вращаться на месте, не разрываясь и не пересекаясь.

То, что характеризует спиноры и отличает их от геометрических векторов и других тензоров, неясно. Рассмотрите возможность применения поворота к координатам системы. Ни один объект в самой системе не переместился, а только координаты, поэтому всегда будет компенсирующее изменение в этих значениях координат при их применении к любому объекту системы. Например, геометрические векторы имеют компоненты, которые будут вращаться так же, как и координаты. В более широком смысле любой тензор , связанный с системой (например, напряжение какой-либо среды), также имеет описания координат, которые корректируются для компенсации изменений самой системы координат.

Спиноры не появляются на этом уровне описания физической системы, когда речь идет только о свойствах одного изолированного вращения координат. Скорее, спиноры появляются, когда мы представляем, что вместо одного вращения система координат постепенно ( непрерывно ) вращается между некоторой начальной и конечной конфигурацией. Для любой из знакомых и интуитивных («тензорных») величин, связанных с системой, закон преобразования не зависит от точных деталей того, как координаты пришли к своей окончательной конфигурации. Спиноры, с другой стороны, сконструированы таким образом, что делают их чувствительными к тому, как туда прибыло постепенное вращение координат: они демонстрируют зависимость от пути. Оказывается, что для любой окончательной конфигурации координат на самом деле существуют два (« топологически ») неэквивалентных постепенных (непрерывных) вращения системы координат, которые приводят к той же самой конфигурации. Эта неоднозначность называется гомотопическим классом. постепенного вращения. Трюк с поясом (показан, в котором оба конца повернутого объекта физически привязаны к внешней опорной точке) демонстрирует два разных вращения: одно на угол 2 π , а другое на угол 4 π , имеющие одинаковые конечные конфигурации, но разные классы. Спиноры на самом деле демонстрируют смену знака, которая действительно зависит от этого гомотопического класса. Это отличает их от векторов и других тензоров, ни один из которых не может чувствовать класс.

Спиноры могут быть представлены как конкретные объекты, используя выбор декартовых координат . Например, в трех евклидовых измерениях спиноры можно построить, выбрав спиновые матрицы Паули, соответствующие ( угловым моментам относительно) трех координатных осей. Это матрицы 2×2 с комплексными элементами, а двухкомпонентные комплексные векторы-столбцы, на которые эти матрицы действуют путем умножения матриц, являются спинорами. В этом случае спиновая группа изоморфна группе унитарных матриц размера 2 × 2 с определителем один, которая естественным образом находится внутри матричной алгебры. Эта группа действует путем сопряжения в реальном векторном пространстве, натянутом самими матрицами Паули: реализуя это как группу вращений между собой, но он также действует на векторы-столбцы (то есть на спиноры).

В более общем смысле, алгебра Клиффорда может быть построена из любого векторного пространства V, снабженного (невырожденной) квадратичной формой , такого как евклидово пространство со стандартным скалярным произведением или пространство Минковского со стандартной метрикой Лоренца. Пространство спиноров — это пространство вектор-столбцов с $2^{\lfloor \dim V/2\rfloor }$ компоненты. Ортогональная алгебра Ли (т. е. бесконечно малые «вращения») и спиновая группа, связанная с квадратичной формой, обе (канонически) содержатся в алгебре Клиффорда, поэтому каждое представление алгебры Клиффорда также определяет представление алгебры Ли и спиновой группы. . В зависимости от размерности и метрической сигнатуры эта реализация спиноров как векторов-столбцов может быть неприводимой или может разлагаться на пару так называемых «полуспиновых» представлений или представлений Вейля. Когда векторное пространство V четырехмерно, алгебра описывается гамма-матрицами .

Математическое определение

Более элементарное определение см. Также: спиноры в трех измерениях.

Пространство спиноров формально определяется как фундаментальное представление алгебры Клиффорда . (Оно может разлагаться, а может и не разлагаться на неприводимые представления.) Пространство спиноров также можно определить как спиновое представление ортогональной алгебры Ли . Эти спиновые представления также характеризуются как конечномерные проективные представления специальной ортогональной группы, которые не учитывают линейные представления. Эквивалентно, спинор - это элемент конечномерного группового представления спиновой группы , на котором центр действует нетривиально.

Обзор

По сути, существуют две основы для рассмотрения понятия спинора: точка зрения теории представлений и геометрическая точка зрения .

Теоретико-представительная точка зрения

С точки зрения теории представлений заранее известно, что существуют некоторые представления алгебры Ли ортогональной группы , которые не могут быть образованы обычными тензорными конструкциями. Эти недостающие представления затем называются спиновыми представлениями , а их составные спиноры . С этой точки зрения спинор должен принадлежать представлению двойного накрытия группы вращений SO ( n , $\mathbb {R}$) или, в более общем смысле, двойного накрытия обобщенной специальной ортогональной группы SO ⁺ ( п , q , $\mathbb {R}$) на пространствах с метрической сигнатурой ( p , q ) . Эти двойные накрытия представляют собой группы Ли , называемые спиновыми группами Spin( n ) или Spin( p , q ) . Все свойства спиноров, их применения и производные объекты проявляются в первую очередь в спиновой группе. Представления двойных накрытий этих групп дают двузначные проективные представления самих групп. (Это означает, что действие конкретного вращения на векторы в квантовом гильбертовом пространстве определено только с точностью до знака.)

Таким образом, учитывая представление, заданное данными $(V,{\text{Spin}}(p,q),\rho )$ где $V$ является векторным пространством над $K=\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ и $\rho$ является гомоморфизмом $\rho :{\text{Spin}}(p,q)\rightarrow {\text{GL}}(V)$, спинор — это элемент векторного пространства $V$.

Геометрическая точка зрения

С геометрической точки зрения можно явно построить спиноры, а затем исследовать, как они ведут себя под действием соответствующих групп Ли. Этот последний подход имеет то преимущество, что дает конкретное и элементарное описание того, что такое спинор. сложные свойства спиноров, такие как тождества Фирца Однако такое описание становится громоздким, когда необходимы .

Алгебры Клиффорда

Дополнительная информация: алгебра Клиффорда.

Язык алгебр Клиффорда (иногда называемые геометрическими алгебрами ) дает полную картину спиновых представлений всех спиновых групп и различных отношений между этими представлениями посредством классификации алгебр Клиффорда . Это в значительной степени устраняет необходимость в специальных конструкциях.

Подробно, пусть V — конечномерное комплексное векторное пространство с невырожденной симметричной билинейной формой g . Алгебра Клиффорда Cℓ( V , g ) — это алгебра, порожденная V вместе с антикоммутационным отношением xy + yx = 2 g ( x , y ) . Это абстрактная версия алгебры, порожденная гамма - матрицами или матрицами Паули . Если В = $\mathbb {C} ^{n}$, со стандартной формой g ( x , y ) = x ^Т y = x ₁ y ₁ + ... + x _n y _n обозначим алгебру Клиффорда через Cℓ _n ( $\mathbb {C}$). Поскольку из-за выбора ортонормированного базиса каждое комплексное векторное пространство с невырожденной формой изоморфно этому стандартному примеру, этим обозначением злоупотребляют в более общем смысле, если dim _{$\mathbb {C}$}( V ) знак равно п . Если n = 2 k четно, Cℓ _n ( $\mathbb {C}$) изоморфна как алгебра (неоднозначным образом) алгебре Mat(2 ^к ,  $\mathbb {C}$) из 2 ^к  × 2 ^к комплексные матрицы (по теореме Артина–Веддерберна и легко доказуемому факту, что алгебра Клиффорда центрально проста ). Если n = 2 k + 1 нечетно, Cℓ _{2 k +1} ( $\mathbb {C}$) изоморфна алгебре Mat(2 ^к ,  $\mathbb {C}$) ⊕ Мат(2 ^к ,  $\mathbb {C}$) двух копий 2 ^к  × 2 ^к сложные матрицы. Следовательно, в любом случае Cℓ( V , g ) имеет единственное (с точностью до изоморфизма) неприводимое представление (также называемое простым модулем Клиффорда ), обычно обозначаемое Δ, размерности 2. ^{[ н /2]} . Поскольку алгебра Ли so ( V , g ) вложена как подалгебра Ли в Cℓ( V , g ), снабженная коммутатором алгебры Клиффорда в качестве скобки Ли, пространство Δ также является представлением алгебры Ли so ( V , g ), называемым спиновое представление . Если n нечетно, это представление алгебры Ли неприводимо. Если n четное, оно распадается дальше на два неприводимых представления Δ = Δ ₊ ⊕ Δ _−, называемые представлениями Вейля или полуспиновыми представлениями .

Неприводимые представления над действительными числами в случае, когда V — вещественное векторное пространство, гораздо сложнее, и за более подробной информацией читатель отсылается к статье об алгебре Клиффорда .

Спиновые группы

Спиновое представление Δ представляет собой векторное пространство, оснащенное представлением спиновой группы, которое не учитывает представление (специальной) ортогональной группы. Вертикальные стрелки изображают короткую точную последовательность .

Спиноры образуют векторное пространство , обычно над комплексными числами , снабженное линейным групповым представлением группы спинов , которое не учитывает представление группы вращений (см. Диаграмму). Спиновая группа — это группа вращений, отслеживающая гомотопический класс. Спиноры необходимы для кодирования основной информации о топологии группы вращений, поскольку эта группа не является односвязной , а односвязная спиновая группа является ее двойным покрытием . Таким образом, для каждого вращения существуют два элемента спиновой группы, которые его представляют. Геометрические векторы и другие тензоры не могут почувствовать разницу между этими двумя элементами, но они дают противоположные знаки, когда воздействуют на любой спинор в представлении. Если рассматривать элементы спиновой группы как гомотопические классы однопараметрических семейств вращений, каждое вращение представляется двумя различными гомотопическими классами путей к тождеству. Если однопараметрическое семейство вращений визуализируется как лента в пространстве, причем параметром является параметр длины дуги этой ленты (ее касательная, нормальная, бинормальная система координат фактически дает вращение), то эти два различных гомотопических класса визуализируются в два государства головоломка с трюками с поясом (вверху). Пространство спиноров - это вспомогательное векторное пространство, которое может быть построено явно в координатах, но в конечном итоге существует только с точностью до изоморфизма, поскольку не существует «естественной» конструкции для них, которая не опиралась бы на произвольный выбор, такой как системы координат. Понятие спиноров, как такого вспомогательного математического объекта, может быть связано с любым векторным пространством, снабженным квадратичной формой, таким как евклидово пространство с его стандартным скалярным произведением или пространство Минковского с его метрикой Лоренца . В последнем случае «вращения» включают повышения Лоренца , но в остальном теория по существу аналогична.

Спинорные поля в физике

Приведенные выше конструкции с точки зрения алгебры Клиффорда или теории представлений можно рассматривать как определение спиноров как геометрических объектов в нульмерном пространстве-времени . Чтобы получить спиноры физики, такие как спинор Дирака , необходимо расширить конструкцию, чтобы получить спиновую структуру в 4-мерном пространстве-времени ( пространстве Минковского ). Фактически, каждый начинает с касательного многообразия пространства-времени, каждая точка которого представляет собой 4-мерное векторное пространство с симметрией SO (3,1), а затем строит спиновую группу в каждой точке. Окрестности точек наделены понятиями гладкости и дифференцируемости: стандартная конструкция представляет собой расслоение , слои которого представляют собой аффинные пространства, преобразующиеся относительно группы спинов. После построения расслоения можно затем рассмотреть дифференциальные уравнения, такие как уравнение Дирака или уравнение Вейля на расслоении. Эти уравнения (Дирака или Вейля) имеют решения, представляющие собой плоские волны , имеющие характерную для волокон симметрию: т. е. имеющие симметрии спиноров, полученные из (нульмерной) теории представления алгебры/спина Клиффорда, описанной выше. Такие плосковолновые решения (или другие решения) дифференциальных уравнений можно тогда правильно назвать фермионами ; фермионы обладают алгебраическими свойствами спиноров. По общему соглашению, термины «фермион» и «спинор» часто используются в физике как взаимозаменяемые, как синонимы друг друга.

Похоже, что все фундаментальные частицы в природе со спином 1/2 описываются уравнением Дирака, за возможным исключением нейтрино . Кажется, не существует какой-либо априорной причины, по которой это могло бы произойти. Совершенно правильным выбором для спиноров была бы несложная версия Cℓ _2,2 ( $\mathbb {R}$) , майорановский спинор . Также, по-видимому, не существует какого-либо конкретного запрета на появление спиноров Вейля в природе в качестве фундаментальных частиц.

Спиноры Дирака, Вейля и Майораны взаимосвязаны, и их связь можно выяснить на основе реальной геометрической алгебры. Спиноры Дирака и Вейля являются комплексными представлениями, а спиноры Майораны — вещественными представлениями.

Спиноров Вейля недостаточно для описания массивных частиц, таких как электроны , поскольку решения Вейля в виде плоских волн обязательно движутся со скоростью света; для массивных частиц уравнение Дирака необходимо . Первоначальная конструкция Стандартной модели физики элементарных частиц начинается с того, что электрон и нейтрино представляют собой безмассовые спиноры Вейля; механизм Хиггса придает электронам массу; классическое нейтрино оставалось безмассовым и, таким образом, было примером спинора Вейля. Однако из-за наблюдаемых осцилляций нейтрино теперь считается, что это не спиноры Вейля, а, возможно, спиноры Майораны. Неизвестно, существуют ли в природе фундаментальные спинорные частицы Вейля.

ситуация В физике конденсированного состояния иная: можно построить двух- и трехмерное «пространство-время» из самых разных физических материалов, от полупроводников до гораздо более экзотических материалов. В 2015 году международная группа под руководством ученых Принстонского университета объявила, что они нашли квазичастицу , которая ведет себя как фермион Вейля.

Спиноры в теории представлений

Основная статья: Спиновое представление

Одним из основных математических приложений конструкции спиноров является возможность явного построения линейных представлений алгебр Ли специальных ортогональных групп и, следовательно, спинорных представлений самих групп. На более глубоком уровне было обнаружено, что спиноры лежат в основе подходов к теореме об индексе Атьи-Зингера и обеспечивают конструкции, в частности, для дискретных серий представлений полупростых групп .

Спиновые представления специальных ортогональных алгебр Ли отличаются от тензорных , заданных конструкцией Вейля весами представлений . В то время как веса тензорных представлений представляют собой целочисленные линейные комбинации корней алгебры Ли, веса спиновых представлений представляют собой их полуцелые линейные комбинации. Подробные сведения можно найти в статье, посвященной спиновому представлению .

Попытки интуитивного понимания

Простыми словами, спинор можно описать как «векторы пространства, преобразования которых определенным образом связаны с вращениями в физическом пространстве». Сказано иначе:

Спиноры... обеспечивают линейное представление группы вращений в пространстве с любым числом $n$ размерностей, каждый спинор имеет $2^{\nu }$ компоненты, где $n=2\nu +1$ или $2\nu$.

Несколько способов иллюстрации повседневных аналогий были сформулированы в терминах фокуса с тарелками , танглоидов и других примеров ориентационной запутанности .

Тем не менее, эта концепция обычно считается общеизвестно трудной для понимания, о чем свидетельствует заявление Майкла Атьи , пересказанное биографом Дирака Грэмом Фармело:

Никто до конца не понимает спиноры. Их алгебра формально понятна, но их общее значение загадочно. В каком-то смысле они описывают «квадратный корень» геометрии, и точно так же, как для понимания квадратного корня из −1 потребовались столетия, то же самое можно сказать и о спинорах.

История

Наиболее общая математическая форма спиноров была открыта Эли Картаном в 1913 году. Слово «спинор» было введено Паулем Эренфестом в его работе по квантовой физике .

Спиноры были впервые применены в математической физике Вольфгангом Паули в 1927 году, когда он представил свои спиновые матрицы . В следующем году Поль Дирак открыл полностью релятивистскую теорию электрона спина , показав связь между спинорами и группой Лоренца . К 1930-м годам Дирак, Пит Хейн и другие сотрудники Института Нильса Бора (тогда известного как Институт теоретической физики Копенгагенского университета) создали такие игрушки, как танглоиды, для обучения и моделирования спинорного исчисления.

Спинорные пространства были представлены как левые идеалы матричной алгебры в 1930 году Гюставом Жюветом . и Фриц Заутер . Более конкретно, вместо представления спиноров в виде двумерных комплексных векторов-столбцов, как это сделал Паули, они представили их как комплексные матрицы размером 2 × 2, в которых только элементы левого столбца ненулевые. Таким образом спинорное пространство стало минимальным левым идеалом в Mat(2, $\mathbb {C}$) .

В 1947 году Марсель Рисс построил спинорные пространства как элементы минимального левого идеала алгебр Клиффорда . В 1966/1967 году Дэвид Хестенес заменил спинорные пространства четной подалгеброй Cℓ ⁰ _1,3 ( $\mathbb {R}$) алгебры пространства-времени Cℓ _1,3 ( $\mathbb {R}$). С 1980-х годов группа теоретической физики в Биркбек-колледже под руководством Дэвида Бома и Бэзила Хили разрабатывала алгебраические подходы к квантовой теории, основанные на идентификации спиноров с минимальными левыми идеалами Заутером и Риссом.

Примеры

Некоторые простые примеры спиноров в малых размерностях возникают при рассмотрении четно-градуированных подалгебр алгебры Клиффорда Cℓ _{p , q} ( $\mathbb {R}$) . Это алгебра, построенная на ортонормированном базисе из n = p + q взаимно ортогональных векторов при сложении и умножении, p из которых имеет норму +1, а q из которых имеет норму -1, с правилом произведения для базисных векторов $$e_{i}e_{j}={\begin{cases}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots ,p)\\-1&i=j,\,i\in (p+1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{cases}}$$

Два измерения

Алгебра Клиффорда Cℓ _2,0 ( $\mathbb {R}$) строится на основе одного единичного скаляра, 1, двух ортогональных единичных векторов, σ ₁ и σ ₂ , и одного единичного псевдоскаляра i = σ ₁ σ ₂ . Из приведенных выше определений очевидно, что ( σ ₁ ) ² знак равно ( п ₂ ) ² знак равно 1 и ( σ ₁ σ ₂ )( σ ₁ σ ₂ ) знак равно - σ ₁ σ ₁ σ ₂ σ ₂ знак равно -1 .

Чётная подалгебра Cℓ ⁰ _2,0 ( $\mathbb {R}$), натянутый на четно-градуированные базисные элементы Cℓ _2,0 ( $\mathbb {R}$), определяет пространство спиноров через свои представления. Он состоит из вещественных линейных комбинаций 1 и σ ₁ σ ₂ . Как реальная алгебра, Cℓ ⁰ _2,0 ( $\mathbb {R}$) изоморфно полю комплексных чисел  $\mathbb {C}$. В результате он допускает операцию сопряжения (аналог комплексного сопряжения ), иногда называемую обратной к элементу Клиффорда, определяемой формулой $$(a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}.$$ которое, согласно соотношениям Клиффорда, можно записать $$(a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}.$$

Действие четного элемента Клиффорда γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 ( $\mathbb {R}$) на векторах, рассматриваемых как 1-градуированные элементы из Cℓ _2,0 ( $\mathbb {R}$), определяется отображением общего вектора u = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ в вектор $$\gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},$$ где $\gamma ^{*}$ является сопряженным $\gamma$, а произведение — умножение Клиффорда. В этой ситуации спинор — обычное комплексное число. Действие $\gamma$ на спиноре $\phi$ дается обычным комплексным умножением: $$\gamma (\phi )=\gamma \phi .$$

Важной особенностью этого определения является различие между обычными векторами и спинорами, проявляющееся в том, что четно-градуированные элементы по-разному действуют на каждый из них. В общем, быстрая проверка отношений Клиффорда показывает, что четные элементы коммутируют с обычными векторами: $$\gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.$$

С другой стороны, по сравнению с его действием на спиноры $\gamma (\phi )=\gamma \phi$, действие $\gamma$ на обычных векторах выглядит как квадрат его действия на спиноры.

Рассмотрим, например, последствия этого для вращения плоскости. Поворот вектора на угол θ соответствует γ. ² = exp( θ σ ₁ σ ₂ ) , так что соответствующее действие на спиноры осуществляется через γ = ± exp( θ σ ₁ σ ₂ /2) . В общем случае из-за логарифмического ветвления невозможно последовательно выбрать знак. Таким образом, представление плоских вращений на спинорах двузначно.

В приложениях спиноров в двух измерениях обычно используют тот факт, что алгебра четно-градуированных элементов (то есть просто кольцо комплексных чисел) идентична пространству спиноров. Таким образом, из-за злоупотребления языком эти два понятия часто смешивают. Тогда можно говорить о «действии спинора на вектор». В общих чертах такие заявления бессмысленны. Но в размерностях 2 и 3 (применительно, например, к компьютерной графике ) они имеют смысл.

Примеры

• Четный элемент $$\gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})$$ соответствует повороту вектора на 90° от σ1 _σ2 вокруг σ2 в сторону , _что что можно проверить, подтвердив, $${\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}$$ Однако это соответствует повороту спинора всего на 45°: $${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}$$
• Аналогично четно-градуированный элемент γ = − σ ₁ σ ₂ соответствует повороту вектора на 180°: $$(-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}$$ но поворот спинора всего на 90°: $$(-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}$$
• Продолжая дальше, четный элемент γ = −1 соответствует повороту вектора на 360°: $$(-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}$$ но поворот спинора на 180°.

Три измерения

Основные статьи: Спиноры в трех измерениях , кватернионы и пространственное вращение

Алгебра Клиффорда Cℓ _3,0 ( $\mathbb {R}$) строится на основе одного единичного скаляра 1, трех ортогональных единичных векторов σ ₁ , σ ₂ и σ ₃ , трех единичных бивекторов σ ₁ σ ₂ , σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ и псевдоскаляра i знак равно σ ₁ σ ₂ σ ₃ . Несложно показать, что ( σ ₁ ) ² знак равно ( п ₂ ) ² = ( п ₃ ) ² знак равно 1 и ( σ ₁ σ ₂ ) ² знак равно ( σ ₂ σ ₃ ) ² знак равно ( п ₃ п ₁ ) ² знак равно ( σ ₁ σ ₂ σ ₃ ) ² = −1 .

Подалгебра четных элементов состоит из скалярных расширений, $$u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,$$ и векторные вращения $$u'=\gamma u\gamma ^{*},$$ где

$$\left.{\begin{aligned}\gamma &=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\{a_{1}\sigma _{2}\sigma _{3}+a_{2}\sigma _{3}\sigma _{1}+a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-iv\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}\right\}$$ ( 1 )

соответствует повороту вектора на угол θ вокруг оси, определяемой единичным вектором v = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ + a ₃ σ ₃ .

В частном случае легко видеть, что если v = σ ₃ , это воспроизводит вращение σ ₁ σ _2, рассмотренное в предыдущем разделе; и что такое вращение оставляет коэффициенты векторов в направлении σ ₃ неизменными, поскольку

$$\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.$$

Бивекторы σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ и σ ₁ σ ₂ на самом деле являются Гамильтона кватернионами i , j и k , открытыми в 1843 году:

$${\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}$$

При отождествлении четно-градуированных элементов с алгеброй $\mathbb {H}$ кватернионов, как и в случае с двумя измерениями, единственное представление алгебры четно-градуированных элементов находится в ней самой. Таким образом (реальное ) спиноры в трехмерном измерении являются кватернионами, а действие четно-градуированного элемента на спинор задается обычным кватернионным умножением.

Заметим, что в выражении (1) для поворота вектора на угол θ вдвое угол, входящий в γ, был уменьшен . Таким образом, вращение спинора γ ( ψ ) = γψ (обычное кватернионное умножение) повернет спинор ψ на угол, равный половине угла соответствующего векторного вращения. И снова проблема перевода векторного вращения в спинорное двузначна: выражение (1) с (180° + θ /2) вместо θ /2 даст то же самое векторное вращение, но с отрицательным значением спинорное вращение.

Спинорное/кватернионное представление вращений в 3D становится все более распространенным в компьютерной геометрии и других приложениях из-за заметной краткости соответствующей спиновой матрицы и простоты, с которой их можно умножать вместе, чтобы вычислить совокупный эффект последовательных вращений относительно разные оси.

Явные конструкции

Пространство спиноров можно построить явно с помощью конкретных и абстрактных конструкций. эквивалентность этих конструкций является следствием единственности спинорного представления комплексной алгебры Клиффорда. Полный пример в измерении 3 см. в разделе спиноры в трех измерениях .

Компонентные спиноры

Учитывая векторное пространство V и квадратичную форму g, явное матричное представление алгебры Клиффорда Cℓ( V , g ) можно определить следующим образом. Выберите ортонормированный базис e ¹ ... и ^н для Vie ​ g ( e ^м и ^н ) = час ^{примечание} где η ^вечер = ±1 и n ^{примечание} знак равно 0 для μ ≠ ν . Пусть k = ⌊ n /2⌋ . Исправить комплект из 2 шт. ^к  × 2 ^к матрицы γ ¹ ... с ^н такой, что γ ^м с ^н + с ^н с ^м = 2 часа ^{примечание} 1 (т.е. установить соглашение для гамма-матриц ). Тогда задание e ^м → с ^м однозначно продолжается до гомоморфизма алгебр Cℓ( V , g ) → Mat(2 ^к ,  $\mathbb {C}$), отправив моном e ^{м ₁} ⋅⋅⋅ и ^{м _к} в алгебре Клиффорда к произведению γ ^{м ₁} ⋅⋅⋅ с ^{м _к} матриц и расширяется линейно. Пространство $\Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}$ на котором действуют гамма-матрицы, теперь является пространством спиноров. Однако такие матрицы необходимо строить явно. В измерении 3 определение гамма-матриц как сигма-матриц Паули приводит к появлению знакомых двухкомпонентных спиноров, используемых в нерелятивистской квантовой механике . Аналогично, использование гамма-матриц Дирака 4 × 4 приводит к появлению 4-х компонентных спиноров Дирака, используемых в 3+1-мерной релятивистской квантовой теории поля . В общем случае, чтобы определить гамма-матрицы требуемого вида, можно использовать матрицы Вейля–Брауэра .

В этой конструкции представление алгебры Клиффорда Cℓ( V , g ) , алгебры Ли so ( V , g ) и спиновой группы Spin( V , g ) зависит от выбора ортонормированного базиса и выбора гамма-матрицы. Это может вызвать путаницу в отношении соглашений, но инварианты, такие как трассировки, не зависят от выбора. В частности, все физически наблюдаемые величины должны быть независимы от такого выбора. В этой конструкции спинор можно представить в виде вектора из 2 ^к комплексные числа и обозначается спинорными индексами (обычно α , β , γ ). В физической литературе такие индексы часто используются для обозначения спиноров, даже когда используется абстрактная спинорная конструкция.

Абстрактные спиноры

Существует по крайней мере два разных, но по сути эквивалентных способа абстрактного определения спиноров. Один подход направлен на идентификацию минимальных идеалов для левого действия Cℓ( V , g ) на себя. Это подпространства алгебры Клиффорда вида Cℓ( V , g ) ω , допускающие очевидное действие Cℓ( V , g ) путем левого умножения: c : xω → cxω . Есть два варианта этой темы: можно либо найти примитивный элемент ω , который является нильпотентным элементом алгебры Клиффорда, либо элемент, который является идемпотентом . Конструкция с помощью нильпотентных элементов более фундаментальна в том смысле, что из нее затем можно получить идемпотент. Таким образом, спинорные представления отождествляются с некоторыми подпространствами самой алгебры Клиффорда. Второй подход состоит в том, чтобы построить векторное пространство, используя выделенное подпространство V , а затем определить действие алгебры Клиффорда вне этого векторного пространства.

В любом подходе фундаментальным понятием является понятие изотропного подпространства W . Каждая конструкция зависит от начальной свободы выбора этого подпространства. В физических терминах это соответствует тому факту, что не существует протокола измерений, который мог бы указать базис спинового пространства, даже если предпочтительный базис V. задан

Как и выше, пусть ( V , g ) — n -мерное комплексное векторное пространство, снабженное невырожденной билинейной формой. Если V — действительное векторное пространство, то заменим V его комплексификацией. $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ и пусть g обозначает индуцированную билинейную форму на $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$. Пусть W — максимальное изотропное подпространство, т.е. максимальное подпространство в V такое, что g | _В = 0 . Если n = 2 k четно, то пусть W ′ — изотропное подпространство, дополнительное к W . Если n = 2 k + 1 нечетно, пусть W ′ будет максимальным изотропным подпространством с W ∩ W ′ = 0 , и пусть U будет ортогональным дополнением к W ⊕ W ′ . Как в четно-, так и в нечетномерном случае W и W ′ имеют размерность k . В нечетномерном случае U одномерен и натянут на единичный вектор u .

Минимальные идеалы

Поскольку W ′ изотропен, умножение элементов W ′ внутри Cℓ( V , g ) является косым . Следовательно, векторы в W ′ антикоммутируют, и Cℓ( W ′ , g | _{W ′} ) = Cℓ( W ′ , 0) — это просто внешняя алгебра Λ ^∗ В ' . Следовательно, k -кратное произведение W ′ на самого себя, W ′ ^к , является одномерным. Пусть ω — генератор W ′ ^к . В терминах базиса w ′ ₁ , ..., w ′ _k в W ′ одна из возможностей состоит в том, чтобы установить $$\omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.$$

Заметим, что ω ² = 0 (т. е. ω нильпотентна порядка 2), причем w ′ ω = 0 для всех w ′ ∈ W ′ . Следующие факты можно легко доказать:

1. Если n = 2 k , то левый идеал ℓ = Cℓ( V , g ) ω является минимальным левым идеалом. Кроме того, это распадается на два спиновых пространства Δ ₊ = Cℓ ^даже ω и Δ ₋ = Cℓ ^{странный} ω об ограничении на действие четной алгебры Клиффорда.
2. Если n = 2 k + 1 , то действие единичного вектора u на левый идеал Cℓ( V , g ) ω разлагает пространство на пару изоморфных неприводимых собственных пространств (оба обозначаются Δ), соответствующих соответствующим собственным значениям + 1 и −1.

Подробно предположим, например, что n четно. Предположим, что I — ненулевой левый идеал, содержащийся в Cℓ( V , g ) ω . Мы покажем, что I должен быть равен Cℓ( V , g ) ω , доказав, что он содержит ненулевое скалярное кратное ω .

Зафиксируем базис w _i из W и дополнительный базис w _i ′ из W ′ так, чтобы

w _i w _j ′ + w _j ′ w _i знак равно δ _ij , и

( я _​ ) ² = 0, ( ш _я ′) ² = 0.

Обратите внимание, что любой элемент I должен иметь форму αω в силу нашего предположения, что I ⊂ Cℓ( V , g ) ω . Пусть αω ∈ I — любой такой элемент. Используя выбранный базис, мы можем написать $$\alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}$$ где a _{i 1 ... i p} — скаляры, а B _j — вспомогательные элементы алгебры Клиффорда. Обратите внимание, что произведение $$\alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .$$ Выберите любой ненулевой моном a в разложении α с максимальной однородной степенью по элементам w _i : $$a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}$$ (суммирование не подразумевается), затем $$w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega$$ является ненулевым скалярным кратным ω , как и требовалось.

Обратите внимание, что для четного n это вычисление также показывает, что $$\Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega$$ как векторное пространство. В последнем равенстве мы снова использовали то, что W изотропна. С точки зрения физики это показывает, что Δ строится как пространство Фока путем создания спиноров с использованием антикоммутирующих операторов рождения в W, действующих на вакуум ω .

Построение внешней алгебры

Вычисления с минимальной идеальной конструкцией показывают, что спинорное представление может также определяется непосредственно с помощью внешней алгебры Λ ^∗ W = ⊕ _j Λ ^дж W изотропного подпространства W . Пусть ∆ = Λ ^∗ W обозначает внешнюю алгебру W, рассматриваемую только как векторное пространство. Это и будет спиновое представление, а его элементы будем называть спинорами.

Действие алгебры Клиффорда на ∆ определяется сначала заданием действия элемента V на ∆, а затем показом того, что это действие удовлетворяет соотношению Клиффорда и, таким образом, продолжается до гомоморфизма полной алгебры Клиффорда в кольцо эндоморфизмов End( ∆) по универсальному свойству алгебр Клиффорда . Детали немного различаются в зависимости от того, является ли размерность V четной или нечетной.

Когда dim( V ) четно, V = W ⊕ W ′, где W ′ — выбранное изотропное дополнение. Следовательно, любой v ∈ V однозначно разлагается как v = w + w ′ с w ∈ W и w ′ ∈ W ′ . Действие v на спинор определяется выражением $$c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)$$ где i ( w ′ ) — внутреннее произведение с w ′, использующее невырожденную квадратичную форму для отождествления V с V ^∗ и ε ( w ) обозначает внешний продукт . Это действие иногда называют произведением Клиффорда . Можно убедиться, что $$c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,$$ и поэтому c уважает соотношения Клиффорда и продолжается до гомоморфизма из алгебры Клиффорда в End(Δ).

Спиновое представление Δ далее распадается на пару неприводимых комплексных представлений спиновой группы. (представления полуспинов, или спиноры Вейля) через $$\Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.$$

Когда dim( V ) нечетно, V = W ⊕ U ⊕ W ′ , где U натянут на единичный вектор u, ортогональный W . Действие Клиффорда c определяется, как и раньше, на W ⊕ W ′ , а действие Клиффорда (кратных) u определяется формулой $$c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}$$ Как и прежде, проверяется, что c уважает отношения Клиффорда и, таким образом, индуцирует гомоморфизм.

Эрмитово векторное пространство и спиноры

Если векторное пространство V имеет дополнительную структуру, обеспечивающую разложение его комплексификации на два максимальных изотропных подпространства, то определение спиноров (любым методом) становится естественным.

Основным примером является случай, когда действительное векторное пространство V является эрмитовым векторным пространством ( V , h ) , т. е. V оснащено комплексной структурой J , которая является ортогональным преобразованием относительно скалярного g на V. произведения Затем $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ расщепляется в ± i собственных пространствах J . Эти собственные пространства изотропны для комплексификации g и могут быть отождествлены с комплексным векторным пространством ( V , J ) и его комплексно-сопряженным векторным пространством ( V , −J ) . Следовательно, для эрмитова векторного пространства ( V , h ) векторное пространство $\Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}$ (а также его комплексно-сопряженное $\Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V$ является спинорным пространством для лежащего в основе реального евклидова векторного пространства.

С действием Клиффорда, как указано выше, но со сжатием с использованием эрмитовой формы, эта конструкция дает спинорное пространство в каждой точке почти эрмитова многообразия и является причиной того, что каждое почти комплексное многообразие (в частности, каждое симплектическое многообразие ) имеет спин ^с структура . Аналогично, каждое комплексное векторное расслоение на многообразии несет спин ^с структура.

Разложение Клебша – Гордана

ряд разложений Клебша – Гордана Возможен на тензорном произведении одного спинового представления на другое. Эти разложения выражают тензорное произведение через чередующиеся представления ортогональной группы.

В реальном или сложном случае альтернативные представления таковы:

• Γ _r = Λ ^р V — представление ортогональной группы на косых тензорах ранга r .

Кроме того, для вещественных ортогональных групп существуют три символа (одномерные представления)

• σ ₊ : O( p , q ) → {−1, +1}, заданное формулой σ ₊ (R) = −1 , если R меняет пространственную ориентацию V на противоположную , +1, если R сохраняет пространственную ориентацию V . ( Пространственный характер .)
• σ ₋ : O( p , q ) → {−1, +1}, заданный формулой σ ₋ (R) = −1 , если R меняет временную ориентацию V , +1, если R сохраняет временную ориентацию V . ( Временный характер .)
• σ знак равно σ ₊ σ _- . ( Ориентирующий характер .)

Разложение Клебша–Гордана позволяет, среди прочего, определить:

• Действие спиноров на векторы.
• Эрмитова метрика на комплексных представлениях вещественных спиновых групп.
• Оператор Дирака для каждого спинового представления.

Четные размеры

Если n = 2 k четно, то тензорное произведение ∆ с контрагредиентным представлением разлагается как $$\Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}$$ в чем можно убедиться явно, рассматривая (в явной конструкции) действие алгебры Клиффорда на разложимые элементы αω ⊗ βω ′ . Самая правая формулировка следует из свойств преобразования оператора звезды Ходжа . Заметим, что при ограничении на четную алгебру Клиффорда парные слагаемые Γ _p ⊕ σ Γ _p изоморфны, а при полной алгебре Клиффорда — нет.

Существует естественное отождествление ∆ с ее контрагредиентным представлением посредством сопряжения в алгебре Клиффорда: $$(\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).$$ Значит , ⊗ ∆ также распадается указанным выше способом. Более того, при четной алгебре Клиффорда представления полуспина разлагаются $${\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}$$

Для комплексных представлений реальных алгебр Клиффорда ассоциированная структура реальности на комплексной алгебре Клиффорда спускается в пространство спиноров (например, посредством явной конструкции в терминах минимальных идеалов). Таким образом, мы получаем комплексно-сопряженное ∆ представления ∆, и, как видно, имеет место следующий изоморфизм: $${\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}$$

В частности, отметим, что представление ∆ ортохронной спиновой группы является унитарным представлением . В общем случае существуют разложения Клебша – Гордана. $$\Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).$$

В метрической сигнатуре ( p , q ) для сопряженных представлений полуспина имеют место следующие изоморфизмы

• Если q четное, то ${\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}$ и ${\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.$
• Если q нечетно, то ${\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}$ и ${\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.$

Используя эти изоморфизмы, можно вывести аналогичные разложения для тензорных произведений полуспиновых представлений Δ _± ⊗ Δ _± .

Нечетные размеры

Если n = 2 k + 1 нечетно, то $$\Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.$$ В реальном случае снова имеет место изоморфизм $${\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.$$ Следовательно, существует разложение Клебша – Гордана (снова с использованием звезды Ходжа для дуализации), определяемое формулой $$\Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}$$

Последствия

Разложение спинорных пространств Клебша–Гордана имеет множество далеко идущих последствий. Наиболее фундаментальные из них относятся к теории электрона Дирака, среди основных требований которой

• Способ рассмотрения произведения двух спиноров ψ ψ как скаляра. Говоря физически, спинор должен определять амплитуду вероятности квантового состояния .
• Способ рассмотрения произведения ψ φ как вектора. Это существенная черта теории Дирака, связывающая спинорный формализм с геометрией физического пространства.
• Способ рассмотрения спинора как действующего на вектор с помощью такого выражения, как ψv ψ . В физических терминах это представляет собой электрический ток Максвелла электромагнитной теории или, в более общем смысле, вероятностный ток .

Резюме в малых размерах

• В одномерном измерении (тривиальный пример) единственное спинорное представление формально является Майорановским, реальным одномерным представлением, которое не преобразуется.
• В двух евклидовых измерениях левый и правый спиноры Вейля представляют собой однокомпонентные комплексные представления , то есть комплексные числа, которые умножаются на e. ^{± iφ /2} при повороте на угол φ .
• В трёх евклидовых измерениях одно спинорное представление является двумерным и кватернионным . Существование спиноров в трех измерениях следует из изоморфизма групп SU (2) ≅ Spin(3) , который позволяет нам определить действие Spin(3) на комплексный 2-компонентный столбец (спинор); генераторы SU(2) можно записать в виде матриц Паули .
• В 4-х евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм равен Spin(4) ≅ SU(2) × SU(2) . Существует два неэквивалентных кватернионных 2-компонентных спинора Вейля, каждый из которых преобразуется только под действием одного из факторов SU(2).
• В 5 евклидовых измерениях соответствующий изоморфизм: Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2), что означает, что представление с одним спинором является 4-мерным и кватернионным.
• В 6 евклидовых измерениях изоморфизм Spin(6) ≅ SU(4) гарантирует существование двух 4-мерных комплексных представлений Вейля, которые являются комплексно сопряженными друг другу.
• В 7 евклидовых измерениях единственное спинорное представление является 8-мерным и действительным; начиная с этой размерности, никаких изоморфизмов алгебре Ли из другой серии (A или C) не существует.
• В 8-мерных евклидовых измерениях существуют два вещественных 8-мерных представления Вейля-Маджораны, которые связаны с 8-мерным вещественным векторным представлением специальным свойством Spin(8), называемым тройственностью .
• В измерениях d + 8 количество различных неприводимых спинорных представлений и их реальность (действительные, псевдореальные или комплексные) имитируют структуру в измерениях d , но их размеры в 16 раз больше; это позволяет понять все оставшиеся случаи. См. периодичность Ботта .
• В пространстве-времени с p пространственным и q времениподобным направлениями измерения, рассматриваемые как измерения комплексных чисел, совпадают со случаем ( p + q ) -мерного евклидова пространства, но проекции реальности имитируют структуру в | р - д | Евклидовы размеры. Например, в 3+1 измерениях существуют два неэквивалентных комплексных Вейля (как и в 2 измерениях) 2-компонентных (как и в 4 измерениях) спинора, что следует из изоморфизма SL(2, $\mathbb {C}$) ≅ Спин(3,1) .

Метрическая подпись	Вейль, сложный		Сопряжение	Дирак, сложный	Майорана-Вейль, настоящий		Майорана, настоящий
	Левша	Правша			Левша	Правша
(2,0)	1	1	Взаимный	2	–	–	2
(1,1)	1	1	Себя	2	1	1	2
(3,0)	–	–	–	2	–	–	–
(2,1)	–	–	–	2	–	–	2
(4,0)	2	2	Себя	4	–	–	–
(3,1)	2	2	Взаимный	4	–	–	4
(5,0)	–	–	–	4	–	–	–
(4,1)	–	–	–	4	–	–	–
(6,0)	4	4	Взаимный	8	–	–	8
(5,1)	4	4	Себя	8	–	–	–
(7,0)	–	–	–	8	–	–	8
(6,1)	–	–	–	8	–	–	–
(8,0)	8	8	Себя	16	8	8	16
(7,1)	8	8	Взаимный	16	–	–	16
(9,0)	–	–	–	16	–	–	16
(8,1)	–	–	–	16	–	–	16

См. также

• Анион
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства
• Самоспинор
• Теория Эйнштейна – Картана
• Проективное представление
• Чистый спинор
• Спин-1/2
• Спинорное расслоение
• Суперзаряд
• Твисторная теория
• Алгебра пространства-времени

Цитируемые работы

• Брауэр, Ричард ; Вейль, Герман (1935). «Спиноры в n измерениях». Американский журнал математики . 57 (2). Издательство Университета Джонса Хопкинса: 425–449. дои : 10.2307/2371218 . JSTOR   2371218 .
• Картан, Эли (1913). «Проективные группы, которые не оставляют инвариант множественности плоскости» (PDF) . Бык. Соц. Математика. о. 41 :53–96. дои : 10.24033/bsmf.916 .
• Шевалле, Клод (1996) [1954]. Алгебраическая теория спиноров и алгебры Клиффорда (переиздание). Издательство Колумбийского университета (1954); Спрингер (1996). ISBN  978-3-540-57063-9 .
• Дирак, Поль М. (1928). «Квантовая теория электрона» . Труды Лондонского королевского общества А. 117 (778): 610–624. Бибкод : 1928RSPSA.117..610D . дои : 10.1098/rspa.1928.0023 . JSTOR   94981 .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  0-387-97495-4 . МР   1153249 .
• Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08542-0 .
• Паули, Вольфганг (1927). «К квантовой механике магнитного электрона». Журнал физики . 43 (9–10): 601–632. Бибкод : 1927ZPhy...43..601P . дои : 10.1007/BF01397326 . S2CID   128228729 .
• Томонага, Син-Итиро (1998). «Лекция 7: Величина, которая не является ни вектором, ни тензором». История Спина . Издательство Чикагского университета. п. 129. ИСБН  0-226-80794-0 .

Дальнейшее чтение

• Картан, Эли (1981) [1966]. Теория спиноров (переиздание). Париж, Франция: Герман (1966); Дуврские публикации (1981). ISBN  978-0-486-64070-9 .
• Гилки, Питер Б. (1984). Теория инвариантности: уравнение теплопроводности и теорема об индексе Атьи – Зингера . Опубликуй или погибни. ISBN  0-914098-20-9 .
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-329650-4 .
• Хитчин, Найджел Дж. (1974). «Гармонические спиноры» . Достижения в математике . 14 :1–55. дои : 10.1016/0001-8708(74)90021-8 . МР   0358873 .
• Пенроуз, Роджер ; Риндлер, В. (1988). Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени . Спиноры и пространство-время. Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-34786-6 .