Танглоиды

Танглоиды — математическая игра для двух игроков, созданная Питом Хейном исчисления для моделирования спинорного .

Описание игры появилось в книге Мартина Гарднера «Новые математические развлечения от Scientific American» Мартина Гарднера 1996 года в разделе, посвященном математике плетения . ^[1]^[2]^[3]

Два плоских деревянных бруска с тремя маленькими отверстиями в каждом соединены тремя параллельными веревками. Каждый игрок держит в руках один из деревянных брусков. Первый игрок удерживает один брусок неподвижно, а другой игрок вращает другой брусок на два полных оборота. Плоскость вращения перпендикулярна струнам, когда они не запутались. Теперь строки перекрывают друг друга. Затем первый игрок пытается распутать струны, не вращая ни одной деревяшки. Разрешены только перемещения (перемещение фигур без вращения). После этого игроки меняются ролями; Побеждает тот, кто быстрее всех сможет распутать веревочки. Попробуйте сделать это только с одним оборотом. Струны, конечно, снова перекрываются, но их нельзя распутать, не вращая один из двух деревянных брусков.

Фокус с балийской чашкой , появляющийся в балийском танце свечей , представляет собой другую иллюстрацию той же математической идеи. Механизм предотвращения перекручивания представляет собой устройство, предназначенное для предотвращения такого запутывания в ориентации . Математическое толкование этих идей можно найти в статье о кватернионах и пространственном вращении .

Математическая артикуляция

Эта игра призвана прояснить представление о том, что вращение в пространстве обладает свойствами, которые невозможно объяснить интуитивно, рассматривая только вращение одного твердого объекта в пространстве. Вращение векторов не охватывает все свойства абстрактной модели вращения, заданной группой вращения . Свойство, иллюстрируемое в этой игре, формально называется в математике двойным « покрытием SO (3) посредством SU(2) ». Эту абстрактную концепцию можно грубо обрисовать следующим образом.

Вращения в трех измерениях можно выразить в виде матриц 3х3 , блока чисел, по одному для x,y,z. Если рассматривать сколь угодно малые вращения, то можно прийти к выводу, что вращения образуют пространство , поскольку если каждое вращение рассматривать как точку , то всегда найдутся другие близлежащие точки, другие близлежащие вращения, которые отличаются лишь на небольшую величину. В небольших окрестностях этот набор близлежащих точек напоминает евклидово пространство . Фактически, оно напоминает трехмерное евклидово пространство, поскольку существует три возможных направления бесконечно малых вращений: x, y и z. Это правильно описывает структуру группы вращения в малых окрестностях. Однако для последовательностей больших вращений эта модель не работает; например, повернуться направо, а затем лечь, — это не то же самое, что сначала лечь, а затем повернуть направо. Хотя группа вращения имеет структуру трехмерного пространства в мелком масштабе, это не ее структура в крупном масштабе. Системы, которые ведут себя как евклидово пространство в малых масштабах, но, возможно, имеют более сложную глобальную структуру, называются коллекторы . Известные примеры многообразий включают сферы : в целом они круглые, но локально они кажутся и выглядят плоскими, следовательно, « плоской Землей ».

Внимательное рассмотрение группы вращения показывает, что она имеет структуру 3-сферы. $S^{3}$ с выявленными противоположными точками . Это означает, что для каждого вращения фактически существуют две разные, полярно противоположные точки на 3-сфере, которые описывают это вращение. Это то, что иллюстрируют танглоиды. Иллюстрация на самом деле очень умная. Представьте себе, что вы выполняете поворот на 360 градусов по одному градусу за раз, как набор крошечных шагов. Эти шаги ведут вас по пути, в путешествие по этому абстрактному многообразию, этому абстрактному пространству вращений. Завершив это путешествие на 360 градусов, человек возвращается не домой, а в полярно противоположную точку. И человек там застревает — он фактически не может вернуться туда, откуда начал, пока не совершит другое, второе путешествие на 360 градусов.

Структура этого абстрактного пространства, трехсферы с идентифицированными полярными противоположностями, довольно странная. Технически это проективное пространство . Можно попытаться представить, как вы берете воздушный шарик, выпускаете весь воздух, а затем склеиваете полярно противоположные точки. Если попытаться это сделать в реальной жизни, вскоре обнаружится, что это невозможно сделать в глобальном масштабе. Локально, для любого небольшого участка, можно выполнить этапы «перевернуть и склеить»; просто невозможно сделать это глобально. (Имейте в виду, что воздушный шар $S^{2}$ , 2-сфера; это не 3-сфера вращения.) Для дальнейшего упрощения можно начать с $S^{1}$ , круг и попытка склеить полярные противоположности; все равно получается неудавшийся беспорядок. Лучшее, что можно сделать, — это провести прямые линии через начало координат, а затем по указу заявить, что полярные противоположности — это одна и та же точка. Это основная конструкция любого проективного пространства.

Так называемое «двойное покрытие» относится к идее о том, что это склеивание полярных противоположностей можно разрушить. Это можно объяснить сравнительно просто, хотя и требует введения некоторых математических обозначений. Первый шаг — ляпнуть « Алгебру лжи ». Это векторное пространство, наделенное тем свойством, что два вектора можно умножать. Это происходит потому, что небольшое вращение вокруг оси x , за которым следует небольшое вращение вокруг оси y , — это не то же самое, что изменение порядка этих двух событий на противоположный; они разные, и разница заключается в небольшом повороте вдоль оси z . Формально эту неэквивалентность можно записать как $xy-yx=z$ , имея в виду, что x , y и z — это не числа, а бесконечно малые вращения. Они не ездят на работу .

Тогда можно спросить: «Что еще ведет себя так?» Ну, очевидно, что это делают матрицы трехмерного вращения; ведь все дело в том, что они правильно, идеально математически описывают вращения в 3D пространстве. Однако существуют матрицы 2x2, 4x4, 5x5,..., которые также обладают этим свойством. Можно резонно спросить: «Хорошо, а какова форма их многообразий?». В случае 2x2 алгебра Ли называется su(2) , а многообразие — SU(2) , и что весьма любопытно, многообразие SU(2) представляет собой 3-сферу (но без проективной идентификации полярных противоположностей). .

Теперь это позволяет немного подшутить. Возьмите вектор ${\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ в обычном 3D-пространстве (наше физическое пространство) и применить матрицу вращения $R$ к этому. Получается повернутый вектор $R{\vec {v}}$ . Это результат применения обычного, «здравого смысла» вращения к ${\vec {v}}$ . Но есть еще матрицы Паули $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ ; это комплексные матрицы 2x2, обладающие свойством алгебры Ли, которое $\sigma _{1}\sigma _{2}-\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{3}$ и поэтому они моделируют $xy-yx=z$ поведение бесконечно малых вращений. Рассмотрим тогда произведение ${\vec {\sigma }}\cdot {\vec {v}}=v_{1}\sigma _{1}+v_{2}\sigma _{2}+v_{3}\sigma _{3}$ . «Двойное накрытие» — это свойство существования не одной, а двух матриц 2х2. $S$ такой, что

S^{-1}({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {v}})S=R{\vec {v}}

Здесь, $S^{-1}$ обозначает обратную величину $S$ ; то есть, $S^{-1}S=SS^{-1}=1.$ Матрица $S$ является элементом SU(2), и поэтому для любой матрицы $R$ в SO(3) есть два соответствующих $S$ : оба $+S$ и $-S$ сделает свое дело. Эти двое являются полярными противоположностями, и проекция сводится к тривиальному наблюдению, что $(-1)\times (-1)=+1.$ Игра «Тангелоид» призвана проиллюстрировать, что вращение на 360 градусов позволяет пройти путь от $+S$ к $-S$ . Это совершенно точно: можно рассматривать последовательность небольших вращений $R$ и соответствующее движение $S$ ; результат меняет знак. По углам поворота $\theta ,$ тот $R$ матрица будет иметь $\cos \theta$ в нем, но соответствие $S$ будет иметь $\cos \theta /2$ в этом. Дальнейшее разъяснение требует фактического написания этих формул.

Эскиз можно дополнить некоторыми общими замечаниями. Во-первых, алгебры Ли являются общими, и для каждой из них существует одна или несколько соответствующих групп Ли . В физике трехмерные вращения обычных трехмерных объектов, очевидно, описываются группой вращения , которая представляет собой группу Ли матриц 3х3. $R$ . Однако спиноры , частицы со спином 1/2 , вращаются согласно матрицам $S$ в СУ(2). Матрицы 4х4 описывают вращение частиц со спином 3/2, а матрицы 5х5 — вращения частиц со спином 2 и так далее. Представления групп Ли и алгебр Ли описываются теорией представлений . Представление со спином 1/2 принадлежит к фундаментальному представлению , а представление со спином 1 — к присоединенному представлению . Используемое здесь понятие двойного покрытия — это общее явление, описываемое картами покрытия . Покрывающие карты, в свою очередь, являются частным случаем расслоений . Классификация накрывающих отображений осуществляется с помощью теории гомотопий ; в этом случае формальное выражение двойного накрытия состоит в том, чтобы сказать, что фундаментальная группа есть $\pi _{1}(SO(3))=\mathbb {Z} _{2}$ где покрывающая группа $\mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}$ просто кодирует два эквивалентных вращения $+S$ и $-S$ выше. В этом смысле группа вращения представляет собой дверь, ключ в царство обширных разделов высшей математики.

См. также

Ссылки

^ Пит Хейн , www.piethein.com, загружено 13 декабря 2011 г.
^ Отрывок из книги Scientific American из книги М. Гарднера: Новые математические отклонения Мартина Гарднера от Scientific American , Саймон и Шустер, 1996, ISBN 978-0-671-20989-6
^ М. Гарднер: Упаковка сфер, Льюис Кэрролл и Реверси: Новые математические развлечения Мартина Гарднера. Архивировано 6 апреля 2012 г. в Wayback Machine , Cambridge University Press, сентябрь 2009 г., ISBN 978-0-521-75607-5

[1] Пит Хейн , www.piethein.com, загружено 13 декабря 2011 г.

[2] Отрывок из книги Scientific American из книги М. Гарднера: Новые математические отклонения Мартина Гарднера от Scientific American , Саймон и Шустер, 1996, ISBN 978-0-671-20989-6

[3] М. Гарднер: Упаковка сфер, Льюис Кэрролл и Реверси: Новые математические развлечения Мартина Гарднера. Архивировано 6 апреля 2012 г. в Wayback Machine , Cambridge University Press, сентябрь 2009 г., ISBN 978-0-521-75607-5

[1]

[2]

[3]