Запутывание ориентации

Одна точка пространства может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после поворота на 360 градусов спираль переключается между ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Он возвращается к исходной конфигурации после поворота на полные 720 градусов.

В математике и физике понятие ориентационной запутанности . иногда используется связанной с геометрией спиноров , или, альтернативно, как конкретное осознание невозможности специальных ортогональных групп односвязности используется для развития интуиции , .

Элементарное описание

Одних только пространственных векторов недостаточно для полного описания свойств вращения в пространстве.

Набор из 96 волокон прикреплен как к окружающей среде на одном конце, так и к вращающейся сфере на другом. Сфера может вращаться непрерывно, не запутывая волокна.

Кофейная чашка с лентами, прикрепленными к ручке и противоположной стороне.

Рассмотрим следующий пример. Чашка кофе подвешивается в комнате с помощью пары эластичных резинок, прикрепленных к стенам комнаты. Чашка поворачивается за ручку на полный поворот на 360°, так что ручка полностью поворачивается вокруг центральной вертикальной оси чашки и возвращается в исходное положение.

Обратите внимание, что после этого поворота чашка вернулась в исходное положение, но ее ориентация относительно стенок изменилась . Другими словами, если мы опустим кофейную чашку на пол комнаты, две ленты свернутся вокруг друг друга, образуя один полный виток двойной спирали . Это пример запутывания ориентации : новая ориентация кофейной чашки, встроенной в комнату, на самом деле не совпадает со старой ориентацией, о чем свидетельствует перекручивание резиновых лент. Другими словами, ориентация кофейной чашки перепуталась с ориентацией окружающих стенок.

Вектор чашки кофе. После полного поворота вектор не меняется.

Очевидно, что одной лишь геометрии пространственных векторов недостаточно, чтобы выразить ориентационную запутанность (перекручивание резиновых лент). Рассмотрим рисование вектора через чашку. Полный поворот переместит вектор так, что новая ориентация вектора будет такой же, как и старая. Один только вектор не знает, что кофейная чашка запуталась в стенах комнаты.

На самом деле, кофейная чашка неразрывно запутана. Нет возможности раскрутить ленты, не вращая чашку. Однако представьте, что происходит вместо этого, когда чашка поворачивается не на один поворот на 360°, а на два поворота на 360°, что в сумме составляет 720°. Затем, если чашку опустить на пол, две резиновые ленты обвивают друг друга в два полных витка двойной спирали. Если теперь чашку провести через центр одного витка этой спирали и пройти на другую ее сторону, закрутка исчезнет. Полосы больше не наматываются друг на друга, хотя дополнительного вращения выполнять не нужно. (Этот эксперимент легче провести с лентой или поясом. См. ниже.)

Раскручивание ленты без вращения.

Таким образом, если ориентация чашки по отношению к стенкам изменилась только после поворота на 360°, то после поворота на 720° она уже не перекручивалась. Однако, рассматривая только вектор, прикрепленный к чашке, невозможно различить эти два случая. Только прикрепив к чашке спинор , мы сможем отличить скрученный корпус от нескрученного.

Спинор.

В этой ситуации спинор представляет собой своего рода поляризованный вектор. На соседней диаграмме спинор можно представить в виде вектора, головой которого является флажок, лежащий на одной стороне ленты Мёбиуса и направленный внутрь. Первоначально предположим, что флаг находится поверх полоски, как показано на рисунке. Когда кофейная чашка вращается, она переносит спинор и его флажок вдоль полоски. Если чашку повернуть на 360°, спинор возвращается в исходное положение, но флажок теперь находится под полоской и направлен наружу. Требуется еще один поворот на 360°, чтобы вернуть флаг в исходное положение.

Подробный мост между вышесказанным и формальной математикой можно найти в статье о танглоидах .

Официальные детали

В трех измерениях проблема, проиллюстрированная выше, соответствует тому факту, что группа Ли SO(3) не является односвязной . Математически эту проблему можно решить, представив специальную унитарную группу SU (2) , которая также является спиновой группой в трех евклидовых измерениях, как двойное накрытие SO(3). Если X = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) вектор в R ³ , то мы отождествляем X с матрицей 2 × 2 с комплексными элементами

$X=\left({\begin{matrix}x_{1}&x_{2}-ix_{3}\\x_{2}+ix_{3}&-x_{1}\end{matrix}}\right)$

Обратите внимание, что −det( X ) дает квадрат евклидовой длины X, рассматриваемого как вектор, и что X является без следов или, лучше, с нулевым следом эрмитовой матрицей .

Унитарная группа действует на X через

$X\mapsto MXM^{\dagger }$

где M ∈ SU(2). Заметим, что поскольку M унитарно,

$\det \left(MXM^{\dagger }\right)=\det(X)$, и

$MXM^{\dagger }$ является нулевым эрмитовым.

SU(2) действует посредством вращения векторов X. Следовательно , И наоборот, поскольку любое изменение базиса , которое переводит эрмитовы матрицы со следом-нолем в эрмитовы матрицы со следом-нолем, должно быть унитарным, из этого следует, что каждое вращение также поднимается до SU (2). Однако каждое вращение получается из пары элементов M и − M из SU(2). Следовательно, SU(2) является двойным накрытием SO(3). Более того, легко увидеть, что SU(2) само по себе является односвязным, если реализовать его как группу единичных кватернионов , пространство, гомеоморфное сфере 3- .

Единичный кватернион имеет косинус половины угла поворота в качестве скалярной части и синус половины угла поворота, умножающий единичный вектор вдоль некоторой оси вращения (здесь предполагается фиксированной) в качестве векторной части (также называемой мнимой частью, см. Эйлера – Родригеса) . формула ). Если исходная ориентация твердого тела (с незапутанными связями с его фиксированным окружением) отождествляется с единичным кватернионом, имеющим нулевую векторную часть и +1 для скалярной части, то после одного полного поворота (2π рад) векторная часть возвращается к нулю. и скалярная часть стала -1 (запутанной). После двух полных оборотов (4π рад) векторная часть снова возвращается к нулю, а скалярная часть возвращается к +1 (распутывание), завершая цикл.

См. также

• Трюк с тарелкой
• Танглоиды

Ссылки

• Фейнман, Лейтон, Сэндс. Фейнмановские лекции по физике . 3 тома 1964, 1966. Карточка каталога Библиотеки Конгресса № 63-20717.

  • ISBN   0-201-02115-3 (трехтомник в мягкой обложке 1970 года)
  • ISBN   0-201-50064-7 (памятный трехтомник в твердом переплете 1989 года)
  • ISBN   0-8053-9045-6 (полное издание 2006 г. (2-е издание); твердый переплет)

Внешние ссылки

• Анимация трюка с поясом Дирака с двумя ремнями, прикрепленными к (квадратному) объекту, показывающая запутывание в ориентации после одного поворота и отсутствие запутывания после двух поворотов. Таким образом, анимация также показывает, что опоясанные объекты ведут себя как частицы со спином 1/2.
• Воздух на струнах Дирака, демонстрирующий ориентационное запутывание нескольких поясов, прикрепленных к сферической частице, Луи Кауфман и его коллеги.