Фундаментальное представление

В теории представлений групп Ли и алгебр Ли фундаментальное представление — это неприводимое конечномерное представление полупростой . группы Ли или алгебра Ли, старший вес которой является фундаментальным весом . Например, определяющий модуль классической группы Ли является фундаментальным представлением. Любое конечномерное неприводимое представление полупростой группы Ли или алгебры Ли может быть построено из фундаментальных представлений с помощью процедуры Эли Картана . Таким образом, в определенном смысле фундаментальные представления являются элементарными строительными блоками для произвольных конечномерных представлений.

Примеры

• В случае полной линейной группы все фундаментальные представления являются внешними произведениями определяющего модуля.
• В случае специальной унитарной группы SU( n ) n произведения − 1 фундаментальных представлений представляют собой клиновые $\operatorname {Alt} ^{k}\ {\mathbb {C} }^{n}$ состоящий из знакопеременных тензоров , для k = 1, 2, ..., n − 1.
• Спиновое представление двойного накрытия нечетной ортогональной группы , нечетной спиновой группы и два полуспиновых представления двойного накрытия четной ортогональной группы, четной спинорной группы, являются фундаментальными представлениями, которые не могут быть реализованы в пространстве тензоров.
• Присоединенное представление простой группы Ли типа E8 _{является} фундаментальным представлением.

Объяснение

Неприводимые представления односвязной группы компактной Ли индексируются по своим старшим весам . Эти веса являются точками решетки в ортанте Q ₊ в решетке весов группы Ли, состоящей из доминирующих целых весов. Это можно доказатьчто существует набор фундаментальных весов , индексированных вершинами диаграммы Дынкина , такой, что любой доминирующий целочисленный вес представляет собой неотрицательную целочисленную линейную комбинацию фундаментальных весов. Соответствующие неприводимые представления являются фундаментальными представлениями группы Ли. Из разложения доминирующего веса с точки зрения фундаментальных весов можно взять соответствующее тензорное произведение фундаментальных представлений и извлечь одну копию неприводимого представления, соответствующую этому доминирующему весу.

Другое использование

За пределами теории Ли термин « фундаментальное представление» иногда широко используется для обозначения точного представления наименьшей размерности, хотя его также часто называют стандартным или определяющим представлением (термин, относящийся больше к истории, а не к четко определенному представлению). математический смысл).

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-0-387-40122-5 .

Специфический