Антисимметричный тензор

В математике и теоретической физике тензор , является антисимметричным относительно (или относительно ) подмножества индексов если он меняет знак (+/-), когда любые два индекса подмножества меняются местами. Подмножество индекса обычно должно быть либо полностью ковариантным , либо полностью контравариантным .

Например, $$T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }$$выполняется, когда тензор антисимметричен относительно своих первых трех индексов.

Если тензор меняет знак при замене каждой пары своих индексов, то тензор полностью (или тотально ) антисимметричен . Полностью антисимметричное ковариантное поле порядка тензорное $k$ можно назвать дифференциальным $k$-form , а полностью антисимметричное контравариантное тензорное поле можно назвать $k$-векторное поле.

Антисимметричные и симметричные тензоры

Тензор A , антисимметричный по индексам $i$ и $j$ обладает тем свойством, что сжатие с тензором B , симметричным по индексам $i$ и $j$ тождественно 0.

Для общего тензора U с компонентами $U_{ijk\dots }$ и пара индексов $i$ и $j,$ U имеет симметричные и антисимметричные части, определяемые как:

$U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })$		(симметричная часть)
$U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })$		(антисимметричная часть).

Аналогичные определения можно дать и для других пар индексов. Как следует из термина «часть», тензор представляет собой сумму его симметричной части и антисимметричной части для данной пары индексов, как в $$U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.$$

Обозначения

Сокращенное обозначение антисимметризации обозначается парой квадратных скобок. Например, в произвольных размерностях для ковариантного тензора M второго порядка $$M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),$$ порядка а для ковариантного тензора T 3 $$T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).$$

В любых 2-х и 3-х измерениях их можно записать как $${\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}$$где $\delta _{ab\dots }^{cd\dots }$ — это обобщенная дельта Кронекера , и правило суммирования Эйнштейна используется .

В более общем смысле, независимо от числа измерений, антисимметризация по $p$ индексы могут быть выражены как $$T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.$$

В общем, каждый тензор ранга 2 можно разложить на симметричную и антисимметричную пару следующим образом: $$T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).$$

Это разложение вообще не верно для тензоров ранга 3 и выше, которые имеют более сложную симметрию.

Примеры

К полностью антисимметричным тензорам относятся:

• Тривиально, все скаляры и векторы (тензоры порядка 0 и 1) полностью антисимметричны (а также полностью симметричны).
• Электромагнитный тензор , $F_{\mu \nu }$ в электромагнетизме .
• Риманова форма объема на псевдоримановом многообразии .

См. также

• Антисимметричная матрица — форма матрицы. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Внешняя алгебра - Алгебра внешних / клиновых произведений.
• Символ Леви-Чивита - антисимметричный объект перестановки, действующий на тензоры.
• Исчисление Риччи - обозначение тензорного индекса для вычислений на основе тензоров
• Симметричный тензор - тензор, инвариантный относительно перестановок векторов, на которые он действует.
• Симметризация – процесс, который преобразует любую функцию от n переменных в симметричную функцию от n переменных. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN  978-0-679-77631-4 .
• Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN  0-7167-0344-0 .

Внешние ссылки

• Антисимметричный тензор – mathworld.wolfram.com