Фигурное исчисление

«Обозначение тензорного индекса» перенаправляется сюда. Общий обзор тензоров см. в Глоссарии теории тензоров .

В математике исчисление Риччи представляет собой правила обозначения индексов и манипуляций с тензорами и тензорными полями на дифференцируемом многообразии , с метрическим тензором или связностью или без них . Это также современное название того, что раньше называлось абсолютным дифференциальным исчислением (основа тензорного исчисления ), разработанным Грегорио Риччи-Курбастро в 1887–1896 годах и впоследствии популяризированным в статье, написанной вместе с его учеником Туллио Леви-Чивита в 1900. Ян Арнольдус Схоутен разработал современные обозначения и формализм для этой математической структуры и внес вклад в теорию во время ее применения к общей теории относительности и дифференциальной геометрии в начале двадцатого века.

Компонент тензора — это действительное число , которое используется в качестве коэффициента базового элемента тензорного пространства. Тензор представляет собой сумму его компонентов, умноженную на соответствующие им базисные элементы. Тензоры и тензорные поля можно выразить через их компоненты, а операции над тензорами и тензорными полями можно выразить через операции над их компонентами. Описание тензорных полей и операций над ними через их компоненты находится в центре внимания исчисления Риччи. Эта запись позволяет эффективно выражать такие тензорные поля и операции. Хотя большая часть обозначений может применяться к любым тензорам, операции, относящиеся к дифференциальной структуре, применимы только к тензорным полям. При необходимости обозначение распространяется на компоненты нетензоров, особенно многомерных массивов .

Тензор может быть выражен как линейная сумма тензорного векторных и базисных ковекторных произведения элементов. Полученные компоненты тензора помечаются индексами базиса. Каждый индекс имеет одно возможное значение для каждого измерения базового векторного пространства . Количество индексов равно степени (или порядку) тензора.

Для компактности и удобства исчисление Риччи включает нотацию Эйнштейна , которая подразумевает суммирование по индексам, повторяющимся внутри термина, и универсальную количественную оценку по свободным индексам. Выражения в обозначениях исчисления Риччи обычно можно интерпретировать как набор одновременных уравнений, связывающих компоненты как функции на многообразии, обычно, более конкретно, как функции координат на многообразии. Это позволяет интуитивно манипулировать выражениями, зная лишь ограниченный набор правил.

Обозначения индексов

См. также: Обозначение индекса .

базисом

Пространственные и временные координаты

Если необходимо провести различие между пространственноподобными базисными элементами и времяподобными элементами в четырехмерном пространстве-времени классической физики, это обычно делается с помощью индексов следующим образом:

• Строчные латинские буквы a , b , c ,... используются для обозначения ограничения трехмерным евклидовым пространством , которое принимает значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов; а времениподобный элемент, обозначенный 0, показан отдельно.
• в нижнем регистре Греческий алфавит α , β , γ , ... используется для 4-мерного пространства-времени , которое обычно принимает значения 0 для временных компонентов и 1, 2, 3 для пространственных компонентов.

В некоторых источниках в качестве значения индекса, соответствующего времени, используется 4 вместо 0; в этой статье используется 0. В противном случае, в общем математическом контексте, для индексов можно использовать любые символы, обычно охватывающие все измерения векторного пространства.

Обозначения координат и индексов

Автор(ы) обычно поясняют, является ли нижний индекс индексом или меткой.

Например, в трехмерном евклидовом пространстве и с использованием декартовых координат ; координатный вектор A = ( A ₁ , A ₂ , A ₃ ) = ( A _x , A _y , A _z ) показывает прямое соответствие между индексами 1, 2, 3 и метками x , y , z . В выражении A _i , i интерпретируется как индекс, диапазон значений 1, 2, 3, тогда как индексы x , y , z являются только метками, а не переменными. В контексте пространства-времени значение индекса 0 условно соответствует метке t .

Ссылка на базу

Сами индексы могут быть помечены с использованием диакритических символов, таких как шляпа (ˆ), черта (¯), тильда (˜) или штрих (′), например:

$X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}$

для обозначения возможно другой основы для этого индекса. Примером могут служить преобразования Лоренца из одной системы отсчета в другую, где одна система координат может быть не заштрихована, а другая заштрихована, как в:

$v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.$

Это не следует путать с обозначением Ван дер Вардена для спиноров , в котором шляпки и точки над индексами используются для отражения киральности спинора.

Верхний и нижний индексы

Исчисление Риччи и обозначение индексов в более общем плане различают нижние индексы (нижние индексы) и верхние индексы (верхние индексы); последние не являются показателями, хотя они могут выглядеть таковыми только для читателя, знакомого с другими разделами математики.

В частном случае, когда метрический тензор всюду равен единичной матрице, можно отказаться от различия между верхними и нижними индексами, и тогда все индексы можно будет записать в нижней позиции. Координатные формулы в линейной алгебре, такие как $a_{ij}b_{jk}$для произведения матриц могут быть примерами этого. Но в целом различие между верхними и нижними индексами следует сохранять.

тензора

( Нижний индекс нижний индекс) указывает на ковариацию компонентов по отношению к этому индексу:

$A_{\alpha \beta \gamma \cdots }$

тензора

Верхний индекс (надстрочный индекс) указывает на контравариантность компонентов по отношению к этому индексу:

$A^{\alpha \beta \gamma \cdots }$

дисперсии

Тензор может иметь как верхний, так и нижний индекс:

$A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }.$

Упорядочение индексов имеет важное значение, даже если они имеют разную дисперсию. Однако, когда понятно, что никакие индексы не будут повышаться или понижаться при сохранении базового символа, ковариантные индексы иногда помещаются ниже контравариантных индексов для удобства обозначений (например, с помощью обобщенной дельты Кронекера ).

и

Число каждого верхнего и нижнего индексов тензора определяет его тип : тензор с p верхних и q нижних индексов называется тензором типа ( p , q ) или тензором типа ( p , q ) .

Число индексов тензора независимо от дисперсии называется степенью тензора (альтернативно — его валентностью , порядком или рангом , хотя ранг неоднозначен). Таким образом, тензор типа ( p , q ) имеет степень p + q .

Соглашение о суммировании

Один и тот же символ, встречающийся дважды (один верхний и один нижний) внутри термина, указывает на пару индексов, которые суммируются:

$A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.$

Операция, подразумеваемая таким суммированием, называется тензорным сжатием :

$A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,.$

Это суммирование может происходить более одного раза в пределах термина с отдельным символом для каждой пары индексов, например:

$A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.$

Другие комбинации повторяющихся индексов внутри термина считаются неправильно сформированными, например:

$A_{\alpha \alpha }{}^{\gamma }\qquad$	(оба случая $\alpha$ ниже; $A_{\alpha }{}^{\alpha \gamma }$ было бы хорошо)
$A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }$	( $\gamma$ встречается дважды как нижний индекс; $A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }$ или $A_{\alpha \delta }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }$ было бы хорошо).

Причина исключения таких формул заключается в том, что, хотя эти величины можно вычислить как массивы чисел, они, как правило, не преобразуются в тензоры при изменении базиса.

Мультииндексная запись

Если тензор имеет список всех верхних или нижних индексов, одним из сокращений является использование заглавной буквы для списка:

$A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J},$

где я знак равно я ₁ я ₂ ⋅⋅⋅ я _п и J знак равно j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _м .

Последовательное суммирование

Пара вертикальных полос | ⋅ | вокруг набора всех верхних индексов или всех нижних индексов (но не обоих), связанных со сжатием с другим набором индексов, когда выражение полностью антисимметрично в каждом из двух наборов индексов:

$A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }$

означает ограниченную сумму по значениям индекса, где каждый индекс должен быть строго меньше следующего. Таким образом можно суммировать более одной группы, например:

${\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}$

При использовании многоиндексной записи под блоком индексов ставится стрелка:

$A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}$

где

${\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |$

Повышение и понижение индексов

Сжимая индекс с неособым метрическим тензором , можно изменить тип тензора, преобразуя нижний индекс в верхний индекс или наоборот:

$B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }$

Базовый символ во многих случаях сохраняется (например, при использовании A там, где здесь появляется B ), и когда нет двусмысленности, можно предпринять изменение положения индекса, чтобы подразумевать эту операцию.

между позициями индексов

В этой таблице суммировано, как манипулирование ковариантными и контравариантными индексами согласуется с инвариантностью при пассивном преобразовании между базисами, при этом компоненты каждого базиса, установленные с точки зрения другого, отражены в первом столбце. Зачеркнутые индексы относятся к окончательной системе координат после преобразования.

, дельта Кронекера Используется см. также ниже .

	Базовая трансформация	Преобразование компонентов	Инвариантность
Ковектор, ковариантный вектор, 1-форма	$\omega ^{\bar {\alpha }}=L_{\beta }{}^{\bar {\alpha }}\omega ^{\beta }$	$a_{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}$	$a_{\bar {\alpha }}\omega ^{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L_{\beta }{}^{\bar {\alpha }}\omega ^{\beta }=a_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }\omega ^{\beta }=a_{\beta }\omega ^{\beta }$
Вектор, контравариантный вектор	$e_{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L_{\bar {\alpha }}{}^{\gamma }$	$u^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }$	$e_{\bar {\alpha }}u^{\bar {\alpha }}=e_{\gamma }L_{\bar {\alpha }}{}^{\gamma }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }u^{\beta }=e_{\gamma }u^{\gamma }$

Общие сведения об индексных обозначениях и операциях

Тензоры равны тогда и только тогда, когда все соответствующие компоненты равны; например, тензор A равен тензору B тогда и только тогда, когда

$A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }$

для всех α , β , γ . Следовательно, существуют аспекты обозначений, которые полезны при проверке смысла уравнения (аналогичная процедура анализу размерностей ).

Свободные и фиктивные индексы

Индексы, не участвующие в сокращениях, называются свободными индексами . Индексы, используемые при сокращениях, называются фиктивными индексами или индексами суммирования .

(действительных)

Компоненты тензоров (например, A ^а , Б _β ^с и т. д.) — это просто реальные числа. Поскольку индексы принимают различные целочисленные значения для выбора конкретных компонентов тензоров, одно тензорное уравнение представляет собой множество обычных уравнений. Если тензорное равенство имеет n свободных индексов и если размерность базового векторного пространства равна m , равенство представляет m ^н уравнения: каждый индекс принимает каждое значение из определенного набора значений.

Например, если

$A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }$

находится в четырех измерениях (то есть каждый индекс работает от 0 до 3 или от 1 до 4), то, поскольку существует три свободных индекса ( α , β , δ ), существует 4 ³ = 64 уравнения. Три из них:

${\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}$

Это иллюстрирует компактность и эффективность использования индексной записи: многие уравнения, имеющие схожую структуру, могут быть собраны в одно простое тензорное уравнение.

Индексы являются сменными метками

Замена любого индексного символа другим оставляет уравнение тензора неизменным (при условии, что нет конфликта с другими уже используемыми символами). Это может быть полезно при манипулировании индексами, например, при использовании индексной записи для проверки идентичности векторного исчисления или идентичности дельты Кронекера и символа Леви-Чивита (см. также ниже). Пример правильного изменения:

$A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,$

тогда как ошибочное изменение:

$A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.$

В первой замене λ заменил α , а µ заменил γ везде , поэтому выражение по-прежнему имеет тот же смысл. Во втором случае λ не полностью заменил α , а µ не полностью заменил γ (кстати, сокращение индекса γ стало тензорным произведением), что совершенно противоречиво по причинам, показанным далее.

Индексы одинаковы во всех терминах

Свободные индексы в тензорном выражении всегда появляются в одной и той же (верхней или нижней) позиции на протяжении каждого члена, а в тензорном уравнении свободные индексы одинаковы с каждой стороны. Фиктивные индексы (которые подразумевают суммирование по этому индексу) не обязательно должны быть одинаковыми, например:

$A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }$

что касается ошибочного выражения:

$A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.$

Другими словами, неповторяющиеся индексы должны быть одного типа в каждом члене уравнения. В приведенном выше тождестве α , β , δ выстраиваются повсюду, а γ встречается дважды в одном термине из-за сокращения (один раз в качестве верхнего индекса и один раз в качестве нижнего индекса), и, таким образом, это действительное выражение. В недопустимом выражении, хотя β выстраивается в линию, α и δ — нет, а γ появляется дважды в одном члене (сокращение) и один раз в другом члене, что противоречиво.

Скобки и знаки препинания используются один раз там, где это подразумевается

При применении правила к ряду индексов (дифференциация, симметризация и т. д., как показано далее), скобки или знаки препинания, обозначающие правила, отображаются только на одной группе индексов, к которой они применяются.

Если в скобках заключены ковариантные индексы , правило применяется только ко всем ковариантным индексам, заключенным в скобки , а не к каким-либо контравариантным индексам, которые оказались промежуточными между скобками.

Аналогично, если скобки заключают контравариантные индексы – правило применяется только ко всем заключенным в них контравариантным индексам , а не к промежуточным ковариантным индексам.

Симметричные и антисимметричные части

Симметричная часть тензора

Круглые скобки ( ) вокруг нескольких индексов обозначают симметризованную часть тензора. При симметризации p индексов с помощью σ для ранжирования по перестановкам чисел от 1 до p нужно взять сумму по перестановкам этих индексов α _{σ ( i )} для i = 1, 2, 3, ..., p , а затем разделить по количеству перестановок:

$A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.$

Например, два симметризующих индекса означают, что нужно переставить и суммировать два индекса:

$A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)$

в то время как для трех симметризирующих индексов есть три индекса, которые нужно суммировать и переставлять:

$A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)$

Симметризация дистрибутивна по сложению;

$A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }$

Индексы не являются частью симметризации, если они:

• не на том же уровне, например;

  $A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)$

• внутри круглых скобок и между вертикальными чертами (т. е. |⋅⋅⋅|), изменяя предыдущий пример;

  $A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)$

Здесь индексы α и γ симметризованы, а β — нет.

Антисимметричная или знакопеременная часть тензора

Квадратные скобки [ ] вокруг нескольких индексов обозначают антисимметризованную часть тензора. Для p антисимметризирующих индексов берется сумма по перестановкам этих индексов α _{σ ( i )} , умноженная на сигнатуру перестановки sn( σ ) , а затем делится на количество перестановок:

${\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}$

где δ β 1 ⋅⋅⋅ β p
α 1 ⋅⋅⋅ α p — обобщенная дельта Кронекера степени 2 p с масштабированием, как определено ниже.

Например, два антисимметризирующих индекса подразумевают:

$A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)$

в то время как три антисимметризирующих индекса подразумевают:

$A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)$

что касается более конкретного примера, если F представляет электромагнитный тензор , то уравнение

$0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,$

представляет собой закон Гаусса для магнетизма и закон индукции Фарадея .

Как и раньше, антисимметризация дистрибутивна по сравнению с сложением;

$A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }$

Как и в случае с симметризацией, индексы не являются антисимметричными, если они:

• не на том же уровне, например;

  $A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)$

• внутри квадратных скобок и между вертикальными чертами (т.е. |⋅⋅⋅|), изменяя предыдущий пример;

  $A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)$

Здесь индексы α и γ антисимметричны, а β – нет.

Сумма симметричных и антисимметричных частей

Любой тензор можно записать как сумму его симметричной и антисимметричной частей по двум индексам:

$A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }$

как можно увидеть, сложив приведенные выше выражения для A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} и A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅} . Это справедливо только для двух индексов.

Дифференциация

См. также: Четырехградиент , Даламбериан и Внутренняя производная.

Для компактности производные можно обозначать путем добавления индексов после запятой или точки с запятой.

Частная производная

Хотя большинство выражений исчисления Риччи действительны для произвольных базисов, выражения, включающие частные производные компонентов тензора по координатам, применимы только с координатным базисом : базисом, который определяется путем дифференцирования по координатам. Координаты обычно обозначаются x ^м , но, как правило, не образуют компоненты вектора. В плоском пространстве-времени с линейной координатизацией набор разностей координат Δ x ^м , можно рассматривать как контравариантный вектор. При тех же ограничениях на пространство и на выбор системы координат частные производные по координатам дают эффективно ковариантный результат. Помимо использования в этом специальном случае, частные производные компонентов тензоров, как правило, не преобразуются ковариантно, но полезны при построении ковариантных выражений, хотя и с координатным базисом, если частные производные используются явно, как в случае с ковариантным выражением. , экстерьер и производные Ли ниже.

Для обозначения частичного дифференцирования компонент тензорного поля по координатной переменной x ^с , запятая ставится перед добавленным нижним индексом координатной переменной.

$A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }$

Это можно повторить (без добавления запятых):

$A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.$

Эти компоненты не преобразуются ковариантно, если только дифференцируемое выражение не является скаляром. Эта производная характеризуется правилом произведения и производными координат

$x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },$

где δ — дельта Кронекера .

Ковариантная производная

Ковариантная производная определяется только в том случае, если связь определена . Для любого тензорного поля точка с запятой ( ; ), помещенная перед добавленным нижним (ковариантным) индексом, указывает на ковариантное дифференцирование. Менее распространенные альтернативы точке с запятой включают косую черту ( / ). или в трехмерном искривленном пространстве одна вертикальная полоса ( | ).

Ковариантная производная скалярной функции, контравариантного вектора и ковариантного вектора:

$f_{;\beta }=f_{,\beta }$

$A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }$

$A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,$

где Γ ^а _γβ – коэффициенты связи.

Для произвольного тензора:

${\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}$

Альтернативным обозначением ковариантной производной любого тензора является индекс набла ∇ _β . Для случая векторного поля A ^а :

$\nabla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.$

Ковариантная формулировка производной по направлению любого тензорного поля вдоль вектора v ^с может быть выражено как его сокращение с ковариантной производной, например:

$v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.$

Компоненты этой производной тензорного поля преобразуются ковариантно и, следовательно, образуют другое тензорное поле, несмотря на то, что подвыражения (частная производная и коэффициенты связи) по отдельности не преобразуются ковариантно.

Эта производная характеризуется правилом произведения:

$(A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,.$

Типы подключения

на Связность Кошуля касательном расслоении дифференцируемого многообразия называется аффинной связностью .

Связность является метрической связностью , когда ковариантная производная метрического тензора обращается в нуль:

$g_{\mu \nu ;\xi }=0\,.$

Аффинная связность , которая также является метрической связностью, называется римановой связностью . Риманова связность без кручения (т. е. для которой тензор кручения обращается в нуль: T ^а _βγ = 0 ) — связность Леви-Гражданина .

Γ ​ ^а _βγ для связности Леви-Чивита в координатном базисе называются символами Кристоффеля второго рода.

Внешняя производная

Внешняя производная полностью антисимметричного типа (0, s ) тензорного поля с компонентами A _{α 1 ⋅⋅⋅ α s} (также называемая дифференциальной формой ) является производной, ковариантной относительно базисных преобразований. Оно не зависит ни от метрического тензора, ни от связности: оно требует лишь структуры дифференцируемого многообразия. В координатном базисе это может быть выражено как антисимметризация частных производных компонент тензора:

$(\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.$

Эта производная не определена ни в одном тензорном поле с контравариантными индексами или не полностью антисимметричным. Для него характерно правило градуированного произведения.

Производная лжи

Производная Ли — еще одна производная, ковариантная относительно базисных преобразований. Как и внешняя производная, она не зависит ни от метрического тензора, ни от связности. типа ( r , s ) Производная Ли тензорного поля вдоль (потока) контравариантного векторного поля X ^р может быть выражено с использованием координатной основы как

${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}$

Эта производная характеризуется правилом произведения и тем фактом, что производная Ли контравариантного векторного поля вдоль себя равна нулю:

$({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.$

Известные

Дельта Кронекера

Дельта Кронекера подобна единичной матрице при умножении и сжатии:

${\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }.\end{aligned}}$

Компоненты δ ^а
_β одинаковы в любом базисе и образуют инвариантный тензор типа (1, 1) , т. е. тождество касательного расслоения над тождественным отображением базового многообразия , и поэтому его след является инвариантом. Его след — размерность пространства; например, в четырехмерном пространстве-времени ,

$\delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.$

Дельта Кронекера относится к семейству обобщенных дельт Кронекера. Обобщенная дельта Кронекера степени 2 p может быть определена через дельту Кронекера следующим образом (обычное определение включает дополнительный множитель p ! справа):

$\delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},$

и действует как антисимметризатор на p индексах :

$\delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.$

Тензор кручения

Аффинная связность имеет тензор кручения T ^а _{ДО Н.Э} :

$T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },$

где γ ^а _βγ задаются компонентами скобки Ли локального базиса, которые обращаются в нуль, если он является координатным базисом.

Для связи Леви-Чивита этот тензор определяется равным нулю, что для координатного базиса дает уравнения

$\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.$

кривизны

Если этот тензор определен как

$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,$

тогда это коммутатор ковариантной с самой собой производной:

$A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,$

так как связь без кручения, а значит, тензор кручения обращается в нуль.

Это можно обобщить, чтобы получить коммутатор для двух ковариантных производных произвольного тензора следующим образом:

${\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}$

которые часто называют тождествами Риччи .

Метрический тензор

Метрический тензор g _αβ используется для понижения индексов и дает длину любой пространственноподобной кривой.

${\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,$

где γ — любая гладкая строго монотонная параметризация пути. Он также дает продолжительность любой времяподобной кривой.

${\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,$

где γ — любая гладкая строго монотонная параметризация траектории. См. также элемент «Линия» .

Обратная матрица g ^аб метрического тензора — еще один важный тензор, используемый для повышения индексов:

$g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.$

См. также

• Обозначение абстрактного индекса
• Связь
• Внешняя алгебра
• Дифференциальная форма
• Звездный оператор Ходжа
• Голономный базис
• Метрический тензор
• Графические обозначения Пенроуза
• Вмещает исчисление
• Разложение Риччи
• Тензор (внутреннее определение)
• Тензорное исчисление
• Тензорное поле

Источники

• Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое изд. Дувра, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN  0-486-64039-6
• Дэниэлсон, Дональд А. (2003). Векторы и тензоры в технике и физике (2/е изд.). Вествью (Персей). ISBN  978-0-8133-4080-7 .
• Дмитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции . Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN  1-4020-1015-Х .
• Лавлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989) [1975]. Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Дувр. ISBN  978-0-486-65840-7 .
• К. Мёллер (1952), Теория относительности (3-е изд.), Oxford University Press
• Синг Дж.Л.; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление . первое издание Dover Publications 1978 года. ISBN  978-0-486-63612-2 .
• Дж. Р. Тилдесли (1975), Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников , Лонгман, ISBN  0-582-44355-5
• DC Кей (1988), Тензорное исчисление , Очерки Шаума, McGraw Hill (США), ISBN  0-07-033484-6
• Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-1107-602601