Линейный элемент

В геометрии или элемент линии элемент длины можно неформально рассматривать как сегмент линии, связанный с бесконечно малым вектором смещения в метрическом пространстве . Длина элемента линии, которую можно рассматривать как длину дифференциальной дуги , является функцией метрического тензора и обозначается $ds$ .

Линейные элементы используются в физике , особенно в теориях гравитации (особенно в общей теории относительности ), где пространство-время моделируется как искривленное псевдориманово многообразие с соответствующим метрическим тензором . ^[1]

Общая формулировка

Определение элемента линии и длины дуги

определение Независимое от координат квадрата линейного элемента ds в n - мерном римановом или псевдоримановом многообразии (в физике обычно лоренцевом многообразии ) представляет собой «квадрат длины» бесконечно малого смещения. $d\mathbf {q}$ ^[2] (в псевдоримановых многообразиях возможно отрицательное значение), квадратный корень которого следует использовать для вычисления длины кривой: $ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g(d\mathbf {q} ,d\mathbf {q} )$ где g — метрический тензор , · обозначает скалярное произведение , а d q — бесконечно малое смещение на (псевдо)римановом многообразии. Путем параметризации кривой $q(\lambda )$ , мы можем определить длину дуги длины кривой между $q(\lambda _{1})$ , и $q(\lambda _{2})$ как интеграл : ^[3] $s=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {dq}{d\lambda }},{\frac {dq}{d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}$

Чтобы вычислить разумную длину кривых в псевдоримановых многообразиях, лучше всего предположить, что бесконечно малые смещения везде имеют один и тот же знак. Например, в физике квадрат элемента линии вдоль кривой временной шкалы будет (в $-+++$ соглашение о подписи) будет отрицательным, и отрицательный квадратный корень из квадрата элемента линии вдоль кривой будет измерять собственное время, прошедшее для наблюдателя, движущегося по кривой.С этой точки зрения метрика помимо линейного элемента определяет также элементы поверхности , объема и т. д.

Отождествление квадрата линейного элемента с метрическим тензором

С $d\mathbf {q}$ — произвольный «квадрат длины дуги», $ds^{2}$ полностью определяет метрику, и поэтому обычно лучше рассматривать выражение для $ds^{2}$ как определение самого метрического тензора, записанное в наводящей на размышления, но нетензорной записи: $ds^{2}=g$ Это определение квадрата длины дуги $ds^{2}$ с метрикой еще легче увидеть в n -мерных общих криволинейных координатах q = ( q ¹, q ², q ³, ..., д ^н) , где он записан в виде симметричного тензора ранга 2 ^[3]^[4] совпадающий с метрическим тензором: $ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g.$

Здесь индексы i и j принимают значения 1, 2, 3, ..., n и соглашение Эйнштейна о суммировании используется . Общие примеры (псевдо)римановых пространств включают трехмерное пространство (без включения временных координат) и даже четырехмерное пространство-время .

Линейные элементы в евклидовом пространстве

Ниже приведены примеры того, как элементы строки находятся из метрики.

Декартовы координаты

Самый простой линейный элемент находится в декартовых координатах — в этом случае метрикой является просто дельта Кронекера : $g_{ij}=\delta _{ij}$ (здесь i, j = 1, 2, 3 для пробела) или в матричной форме ( i обозначает строку, j обозначает столбец): $[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Общие криволинейные координаты сводятся к декартовым координатам: $(q^{1},q^{2},q^{3})=(x,y,z)\,\Rightarrow \,d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)$ так $ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Ортогональные криволинейные координаты

Для всех ортогональных координат метрика определяется следующим образом: ^[3] $[g_{ij}]={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix}}$ где $h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|$

для i = 1, 2, 3 являются масштабными коэффициентами , поэтому квадрат линейного элемента равен: $ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}+h_{2}^{2}(dq^{2})^{2}+h_{3}^{2}(dq^{3})^{2}$

Некоторые примеры линейных элементов в этих координатах приведены ниже. ^[2]

Система координат	$(q 1, q 2, q 3)$	Метрика	Линейный элемент
декартовский	$(х, у, z)$	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$
Самолетные триллеры	$(р, θ)$	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0\\0&r^{2}\\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}$
Сферические поляры	$(р, θ, φ)$	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ d\phi \ ^{2}$
Цилиндрические поляры	$(р, θ, z)$	$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$	$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta \ ^{2}+dz^{2}$

Общие криволинейные координаты

Учитывая произвольный базис пространства размерности $n,\{{\hat {b}}_{i}\}$ , метрика определяется как внутренний продукт базисных векторов. $g_{ij}=\langle {\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\rangle$

Где $1\leq i,j\leq n$ а внутренний продукт относится к окружающему пространству (обычно его $\delta _{ij}$ )

В координатном порядке ${\hat {b}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

Координатный базис — это особый тип базиса, который регулярно используется в дифференциальной геометрии.

Линейные элементы в 4-мерном пространстве-времени

Пространство-время Минковского

Метрика Минковского : ^[5]^[1] $[g_{ij}]=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}$ если выбран тот или иной знак, используются оба соглашения. Это применимо только к плоскому пространству-времени . Координаты задаются 4-мя позициями : $\mathbf {x} =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,\mathbf {r} )\,\Rightarrow \,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r} )$

поэтому элемент строки: $ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} ).$

Координаты Шварцшильда

В координатах Шварцшильда координаты $\left(t,r,\theta ,\phi \right)$ , являющаяся общей метрикой вида: $[g_{ij}]={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}$

(обратите внимание на сходство с метрикой в 3D сферических полярных координатах).

поэтому элемент строки: $ds^{2}=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.$

Общее пространство-время

Независимое от координат определение квадрата линейного элемента d s в пространстве-времени : ^[1] $ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g(d\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )$

По координатам: $ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }$ где в этом случае индексы $α$ и $β$ пробегают значения 0, 1, 2, 3 для пространства-времени.

Это пространственно-временной интервал — мера разделения между двумя сколь угодно близкими событиями в пространстве-времени . В специальной теории относительности он инвариантен относительно преобразований Лоренца . В общей теории относительности он инвариантен относительно произвольных обратимых дифференцируемых преобразований координат .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Гравитация, Дж. А. Уилер, К. Миснер, К. С. Торн, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Тензорное исчисление, DC Кей, Очерки Шаума, МакГроу Хилл (США), 1988, ISBN 0-07-033484-6
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Векторный анализ (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009 г., ISBN 978-0-07-161545-7
^ Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников, Дж. Р. Тилдесли, Лонгман, 1975, ISBN 0-582-44355-5
^ Демистифицированная теория относительности, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145545-0

[WheelerMisnerThorne-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Гравитация, Дж. А. Уилер, К. Миснер, К. С. Торн, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[Kay-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Тензорное исчисление, DC Кей, Очерки Шаума, МакГроу Хилл (США), 1988, ISBN 0-07-033484-6

[SpiegelLipschutzSpellman-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Векторный анализ (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009 г., ISBN 978-0-07-161545-7

[4] Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников, Дж. Р. Тилдесли, Лонгман, 1975, ISBN 0-582-44355-5

[5] Демистифицированная теория относительности, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145545-0

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]