Координаты Шварцшильда

В теории многообразий лоренцевых сферически-симметричные пространства-времени допускают семейство вложенных круглых сфер . В таком пространстве-времени особенно важным видом координатной карты является карта Шварцшильда , своего рода полярная сферическая координатная карта в статическом и сферически симметричном пространстве-времени , которая адаптирована к этим вложенным круглым сферам. Определяющей характеристикой диаграммы Шварцшильда является то, что радиальная координата имеет естественную геометрическую интерпретацию с точки зрения площади поверхности и гауссовой кривизны каждой сферы. Однако радиальные расстояния и углы представлены неточно.

Эти диаграммы имеют множество приложений в метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности . Чаще всего они используются в статических сферически-симметричных пространствах-временях. В случае общей теории относительности теорема Биркгофа утверждает, что каждое изолированное сферически-симметричное вакуумное или электровакуумное решение уравнения поля Эйнштейна является статическим, но это, конечно, не верно для идеальных жидкостей . Расширение внешней области вакуумного решения Шварцшильда внутри горизонта событий сферически-симметричной черной дыры не является статичным внутри горизонта, и семейство (пространственноподобных) вложенных сфер не может быть расширено внутри горизонта, поэтому диаграмма Шварцшильда для этого решение обязательно терпит неудачу на горизонте.

Определение

Указание метрического тензора $g$ является частью определения любого лоренцева многообразия . Самый простой способ определить этот тензор — определить его в совместимых картах локальных координат и проверить, что один и тот же тензор определен на перекрытиях областей диаграмм. В этой статье мы попытаемся определить метрический тензор только в области одной диаграммы.

В диаграмме Шварцшильда (в статическом сферически-симметричном пространстве-времени) линейный элемент принимает вид

$g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega }$

$-\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi$

Где $\Omega =(\theta ,\phi )$ стандартная сферическая координата и $g_{\Omega }$ — стандартная метрика на единичной 2-сфере. см. в разделе «Вывод решения Шварцшильда» Более подробный вывод этого выражения .

В зависимости от контекста может быть уместно рассматривать a и b как неопределенные функции радиальной координаты (например, при получении точного статического сферически-симметричного решения уравнения поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить диаграмму координат Шварцшильда в определенном лоренцевом пространстве-времени.

Если окажется, что существует тензор энергии-импульса, такой, что полученная модель удовлетворяет уравнению поля Эйнштейна (скажем, для статической сферически-симметричной идеальной жидкости, подчиняющейся подходящим энергетическим условиям и другим свойствам, ожидаемым от разумной идеальной жидкости), то с соответствующим тензором поля, представляющие физические величины, такие как плотность материи и импульса, мы имеем часть, возможно, большего пространства-времени; кусок, который можно считать локальным решением уравнения поля Эйнштейна.

Уничтожение векторных полей

По отношению к карте Шварцшильда алгебра Ли векторных полей Киллинга порождается времениподобным безвихревым векторным полем Киллинга

$\partial _{t}$

и три пространственноподобных векторных поля Киллинга

$\partial _{\phi }$

$\sin \phi \,\partial _{\theta }+\cot \theta \,\cos \phi \,\partial _{\phi }$

$\cos \phi \,\partial _{\theta }-\cot \theta \,\sin \phi \,\partial _{\phi }$

Вот, говоря, что ${\vec {X}}=\partial _{t}$ безвихревость означает, что тензор завихренности соответствующей времениподобной конгруэнции обращается в нуль; таким образом, это векторное поле Киллинга ортогонально гиперповерхности . Тот факт, что наше пространство-время допускает безвихревое времяподобное векторное поле Киллинга, на самом деле является определяющей характеристикой статического пространства-времени . Одним из непосредственных последствий является то, что координатные поверхности постоянного времени $t=t_{0}$ образуют семейство (изометрических) пространственных гиперсрезов . (Это неверно, например, в диаграмме Бойера – Линдквиста для внешней области вакуума Керра , где времениподобный координатный вектор не ортогонален гиперповерхности.)

Обратите внимание, что последние два поля представляют собой вращение друг друга при преобразовании координат. $\phi \mapsto \phi +\pi /2$. В статье о векторных полях Киллинга представлен подробный вывод и обсуждение трех пространственноподобных полей.

Семейство статических вложенных сфер

На диаграмме Шварцшильда поверхности $t=t_{0},\,r=r_{0}$ выглядят как круглые сферы (когда мы рисуем локусы в полярной сферической форме), и по их форме мы видим, что метрика Шварцшильда, ограниченная любой из этих поверхностей, положительно определена и определяется выражением

$g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=r_{0}^{2}g_{\Omega }=r_{0}^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi$

Где $g_{\Omega }$ — стандартная риманова метрика на 2-сфере единичного радиуса. То есть эти вложенные координатные сферы на самом деле представляют собой геометрические сферы с

1. площадь поверхности $A=4\pi r_{0}^{2}$
2. Гауссова кривизна $K=1/r_{0}^{2}$

В частности, это геометрические круглые сферы . При этом угловые координаты $\Omega =(\theta ,\phi )$ это в точности обычные полярные сферические угловые координаты: $\theta$ иногда называют колатитой и $\phi$ обычно называют долготой . По сути, это определяющая геометрическая особенность диаграммы Шварцшильда.

Может быть полезно добавить, что четыре поля Киллинга, приведенные выше, рассматриваемые как абстрактные векторные поля на нашем лоренцевом многообразии, дают наиболее истинное выражение обеих симметрий статического сферически-симметричного пространства-времени, в то время как конкретная тригонометрическая форма , которую они принимают в нашей карте, равна наиболее верное выражение значения термина диаграмма Шварцшильда . В частности, три пространственных векторных поля Киллинга имеют точно такую ​​же форму, как три нетрансляционных векторных поля Киллинга в сферически-симметричной карте на E. ³ ; то есть они демонстрируют понятие произвольного евклидова вращения вокруг начала координат или сферической симметрии.

Однако обратите внимание: в общем случае радиальная координата Шварцшильда неточно отражает радиальные расстояния , т. е. расстояния, взятые вдоль пространственноподобной геодезической конгруэнции, возникающей как интегральные кривые $\partial _{r}$. Скорее, чтобы найти подходящее понятие « пространственного расстояния » между двумя нашими вложенными сферами, мы должны интегрировать $b(r)dr$ по некоторому координатному лучу от начала координат:

$\Delta \rho =\int _{r_{1}}^{r_{2}}b(r)dr$

Точно так же мы можем рассматривать каждую сферу как место расположения сферического облака идеализированных наблюдателей, которые должны (как правило) использовать ракетные двигатели для радиального ускорения наружу, чтобы сохранить свое положение. Это статичные наблюдатели , и у них есть мировые линии формы. $r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}$, которые, естественно, имеют вид вертикальных координатных линий на диаграмме Шварцшильда.

Чтобы вычислить собственный интервал времени между двумя событиями на мировой линии одного из этих наблюдателей, мы должны проинтегрировать $a(r)dt$ по соответствующей координатной линии:

$\Delta \tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}a(r)dt$

Координатные особенности

Оглядываясь назад на приведенные выше диапазоны координат, обратите внимание, что сингулярность координат в точке $t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =0$отмечает местоположение северного полюса одной из наших статических вложенных сфер, а $t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =\pi$ отмечает расположение Южного полюса . Как и для обычной полярной сферической карты на E ³ , по топологическим причинам мы не можем получить непрерывные координаты на всей сфере; мы должны выбрать некоторую долготу (большой круг), которая будет служить нулевым меридианом. $\phi =0$ и вырезаем это из диаграммы. В результате мы вырезаем замкнутую полуплоскость из каждого пространственного гиперсреза. $t=t_{0}$ включая ось $r=0$ полторы плоскости, отходящие от этой оси.

Когда мы сказали выше, что $\partial _{\phi }$ является векторным полем Киллинга, мы опустили педантичный, но важный квалификатор, о котором думаем $\phi$ как циклическую координату, и действительно думать о наших трех пространственноподобных векторах Киллинга как о действующих на круглые сферы.

Возможно, конечно, $r_{1}>0$ или $r_{2}<\infty$, и в этом случае мы также должны исключить область вне некоторого шара или внутри некоторого шара из области нашей карты. Это происходит всякий раз, когда f или g взрываются при некотором значении радиальной координаты Шварцшильда r.

Визуализация статических гиперсрезов

Чтобы лучше понять значение радиальной координаты Шварцшильда, может помочь встраивание одного из пространственных гиперсрезов. $t=t_{0}$ (все они, конечно, изометричны друг другу) в плоском евклидовом пространстве. Люди, которым трудно визуализировать четырехмерное евклидово пространство, будут рады заметить, что мы можем воспользоваться сферической симметрией для подавления одной координаты . Этого можно удобно добиться, установив $t=0,\theta =\pi /2$. Теперь у нас есть двумерное риманово многообразие с локальной радиальной координатной картой:

$g|_{t=0,\theta =\pi /2}=b(r)^{2}dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2},\;\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi$

Встроить эту поверхность (или кольцевое кольцо) в E ³ , мы принимаем поле кадра в E ³ который

1. определяется на параметризованной поверхности, которая унаследует желаемую метрику из пространства вложения,
2. адаптирован к нашей радиальной диаграмме,
3. имеет неопределенную функцию $f(r)$.

Для этого рассмотрим параметризованную поверхность

$(z,r,\phi )\rightarrow (f(r),\,r\cos \phi ,\,r\sin \phi )$

Поля координатных векторов на этой поверхности имеют вид

$\partial _{r}=(f^{\prime }(r),\,\cos \phi ,\,\sin \phi ),\;\;\partial _{\phi }=(0,-r\sin \phi ,r\cos \phi )$

Индуцированная метрика, наследуемая при ограничении евклидовой метрики на E ³ к нашей параметризованной поверхности

$d\rho ^{2}=\left(1+f^{\prime }(r)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\phi ^{2},\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi$

Чтобы отождествить это с метрикой нашего гиперсреза, нам, очевидно, следует выбрать $f(r)$ такой, что

$f^{\prime }(r)={\sqrt {1-b(r)^{2}}}$

Если взять несколько глупый пример, мы могли бы иметь $b(r)=f(r)=\sin(r)$.

Это работает для поверхностей, на которых истинные расстояния между двумя точками, разделенными радиально, больше , чем разница между их радиальными координатами. Если истинные расстояния меньше , нам следует вложить наше риманово многообразие как пространственноподобную поверхность в E ^1,2 вместо. Например, у нас может быть $b(r)=f(r)=\sinh(r)$. Иногда нам могут понадобиться два или более локальных вложения кольцевых колец (для областей положительной или отрицательной гауссовой кривизны). Вообще говоря, не следует ожидать получения глобального вложения в какое-либо одно плоское пространство (с исчезающим тензором Римана).

Дело в том, что определяющая характеристика диаграммы Шварцшильда с точки зрения геометрической интерпретации радиальной координаты — это как раз то, что нам необходимо для осуществления (в принципе) такого рода сферически-симметричного вложения пространственных гиперсрезов.

Метрический подход

Приведенный выше линейный элемент, где f , g рассматривается как неопределенные функции радиальной координаты Шварцшильда r , часто используется как метрический анзац при выводе статических сферически-симметричных решений в общей теории относительности (или других метрических теориях гравитации ).

В качестве иллюстрации укажем, как вычислить связность и кривизну методом внешнего исчисления Картана . Сначала мы считываем из линейного элемента поле кофрейма ,

$\sigma ^{0}=-a(r)\,dt$

$\sigma ^{1}=b(r)\,dr$

$\sigma ^{2}=rd\theta \,$

$\sigma ^{3}=r\sin \theta \,d\phi$

где мы считаем $a\,b$ являются пока неопределенными гладкими функциями $r$. (Тот факт, что наше пространство-время допускает систему отсчета, имеющую эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия карты Шварцшильда в статическом, сферически симметричном лоренцевом многообразии).

Во-вторых, мы вычисляем внешние производные этих одноформ кобазиса:

$d\sigma ^{0}=-a'(r)\,dr\wedge dt={\frac {a'(r)}{b(r)}}\,dt\wedge \sigma ^{1}$

$d\sigma ^{1}=0\,$

$d\sigma ^{2}=dr\wedge d\theta$

$d\sigma ^{3}=\sin \theta \,dr\wedge d\phi +r\,\cos \theta \,d\theta \wedge d\phi =-\left({\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}\wedge \sigma ^{1}+\cos \theta \,d\phi \wedge \sigma ^{2}\right)$

Картана По сравнению с первым структурным уравнением (вернее, с условием его интегрируемости):

$d\sigma ^{\hat {m}}=-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}\,\wedge \sigma ^{\hat {n}}$

отгадываем выражения для связи одноформ . (Шляпки — это всего лишь средство обозначения, напоминающее нам, что индексы относятся к нашим кобазисным одноформам, а не к координатным одноформам. $dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi$.)

Если вспомнить, какие пары индексов симметричны (пространство-время), а какие антисимметричны (пространство-пространство) в ${\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}$, мы можем подтвердить, что шесть одноформ соединения

${\omega ^{0}}_{1}={\frac {a'}{b}}(r)\,dt$

${\omega ^{0}}_{2}=0$

${\omega ^{0}}_{3}=0$

${\omega ^{1}}_{2}=-{\frac {d\theta }{b(r)}}$

${\omega ^{1}}_{3}=-{\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}$

${\omega ^{2}}_{3}=-\cos \theta \,d\phi$

(В этом примере только четыре из шести не равны нулю.)Мы можем собрать эти одноформы в матрицу одноформ или, что еще лучше, в однозначную SO(1,3)-форму.Обратите внимание, что результирующая матрица одноформ не будет совсем антисимметричной , как для одноформы со значением SO (4); вместо этого нам нужно использовать понятие транспонирования, возникающее из лоренцева сопряженного .

В-третьих, мы вычисляем внешние производные одноформ связности и используем второе структурное уравнение Картана

${\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}=d{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {\ell }}\wedge {\omega ^{\hat {\ell }}}_{\hat {n}}$

вычислить кривизну двух форм. В-четвертых, используя формулу

${\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}={R^{\hat {m}}}_{{\hat {n}}|{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}|}\,\sigma ^{\hat {\imath }}\wedge \sigma ^{\hat {\jmath }}$

где столбцы Баха указывают, что мы должны суммировать только по шести возрастающим парам индексов ( i , j ), мы можем считать линейно независимые компоненты тензора Римана относительно нашего кофрейма и его дуального поля репера . Мы получаем:

${R^{0}}_{101}={\frac {-a''\,b+a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r)$

${R^{0}}_{202}={\frac {1}{r}}{\frac {-a'}{a\,b^{2}}}(r)={R^{0}}_{303}$

${R^{1}}_{212}={\frac {1}{r}}{\frac {b'}{b^{3}}}(r)={R^{1}}_{313}$

${R^{2}}_{323}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {b^{2}-1}{b^{2}}}(r)$

В-пятых, мы можем снизить индексы и упорядочить компоненты $R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}$ в матрицу

$\left[{\begin{matrix}R_{0101}&R_{0102}&R_{0103}&R_{0123}&R_{0131}&R_{0112}\\R_{0201}&R_{0202}&R_{0203}&R_{0223}&R_{0231}&R_{0212}\\R_{0301}&R_{0302}&R_{0303}&R_{0323}&R_{0331}&R_{0312}\\R_{2301}&R_{2302}&R_{2303}&R_{2323}&R_{2331}&R_{2312}\\R_{3101}&R_{3102}&R_{3103}&R_{3123}&R_{3131}&R_{3112}\\R_{1201}&R_{1202}&R_{1203}&R_{1223}&R_{1231}&R_{1212}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}E&B\\B^{T}&L\end{matrix}}\right]$

где E, L симметричны (в общем, шесть линейно независимых компонентов), а B бесследен (в общем, восемь линейно независимых компонентов), что мы думаем как представляющее линейный оператор в шестимерном векторном пространстве двух форм (при каждое событие). Отсюда мы можем прочитать разложение Бела по времениподобному полю единичного вектора ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$. Электрогравитационный тензор ​

$E[{\vec {X}}]_{11}={\frac {a''\,b-a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r),\;E[{\vec {X}}]_{22}=E[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {a'}{a\,b^{2}}}(r)$

Магнитогравитационный тензор тождественно обращается в нуль, а топогравитационный тензор , откуда (с учетом того, что ${\vec {X}}$ является безвихревым) мы можем определить трехмерный тензор Римана пространственных гиперсрезов,

$L[{\vec {X}}]_{11}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {1-b^{2}}{b^{2}}}(r),\;L[{\vec {X}}]_{22}=L[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {-b'}{b^{3}}}(r)$

Все это справедливо для любого лоренцева многообразия, но отметим, что в общей теории относительности электрогравитационный тензор контролирует приливные напряжения на небольших объектах, измеряемые наблюдателями, соответствующими нашей системе отсчета, а магнитогравитационный тензор контролирует любые спин-спиновые силы на вращающихся объектах. , измеренное наблюдателями, соответствующими нашей системе координат.

Поле двойного кадра нашего поля кофрейма

${\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}$

${\vec {e}}_{1}={\frac {1}{b(r)}}\,\partial _{r}$

${\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }$

${\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }$

Тот факт, что фактор ${\frac {1}{b(r)}}$ умножает только первое из трех ортонормированных пространственноподобных векторных полей, здесь это означает, что диаграммы Шварцшильда не являются пространственно изотропными (за исключением тривиального случая локально плоского пространства-времени); скорее, световые конусы кажутся (радиально сплющенными) или (радиально вытянутыми). Это, конечно, еще один способ сказать, что диаграммы Шварцшильда правильно представляют расстояния внутри каждой вложенной круглой сферы, но радиальная координата не точно отражает правильное радиальное расстояние.

Некоторые точные решения, допускающие диаграммы Шварцшильда

Некоторые примеры точных решений, которые можно получить таким способом, включают:

• внешняя область вакуума Шварцшильда ,
• то же самое касается электровакуума Рейсснера – Нордстрема , который включает предыдущий пример как частный случай:
• то же самое касается электролямбдавакуума Рейсснера – Нордстрема – де Ситтера , который включает предыдущий пример как частный случай:
• решение Джениса-Ньюмана-Винакура (которое моделирует внешний вид статического сферически-симметричного объекта, наделенного безмассовым минимально связанным скалярным полем),
• звездные модели, полученные путем сопоставления внутренней области, которая представляет собой статический сферически-симметричный раствор идеальной жидкости в сферическом месте исчезающего давления , с внешней областью, которая локально изометрична части вакуумной области Шварцшильда.

Обобщения

Естественно рассматривать нестатическое, но сферически симметричное пространство-время с обобщенной диаграммой Шварцшильда, в которой метрика принимает вид

$g=-a(t,r)^{2}\,dt^{2}+b(t,r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),$

$-\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi$

Обобщая в другом направлении, мы можем использовать другие системы координат на наших круглых двухсферах, чтобы получить, например, стереографическую диаграмму Шварцшильда , которая иногда бывает полезна:

$g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}},\;-\infty <t,x,y<\infty ,r_{1}<r<r_{2}$

См. также

• статическое пространство-время ,
• сферически-симметричное пространство-время ,
• статические сферически-симметричные идеальные жидкости ,
• изотропные координаты , еще одна популярная диаграмма для статического сферически-симметричного пространства-времени,
• Гауссовы полярные координаты , менее распространенная альтернативная карта для статического сферически-симметричного пространства-времени.
• Координаты Гулстранда – Пенлеве — простая диаграмма, действительная внутри горизонта событий статической черной дыры.
• поля фреймов в общей теории относительности , подробнее о полях фреймов и полях кофреймов,
• Беловское разложение тензора Римана
• сравнение (общая теория относительности) , чтобы узнать больше о сравнениях, таких как ${\vec {X}}$ выше,
• Координаты Крускала – Секереса , карта, охватывающая все пространственно-временное многообразие максимально расширенного решения Шварцшильда и хорошо себя ведущая всюду за пределами физической сингулярности,
• Координаты Эддингтона-Финкельштейна , альтернативная карта для статического сферически-симметричного пространства-времени,
• Координаты Леметра — самая ранняя карта, расположенная регулярно на горизонте событий.