Разложение Бела

В полуримановой геометрии , разложение Бела взятое относительно определенной времениподобной конгруэнции , представляет собой способ разложения тензора Римана на псевдориманова многообразия тензоры более низкого порядка со свойствами, аналогичными электрическому полю и магнитному полю . Такое разложение было частично описано Альфонсом Матте в 1953 году. ^{[ 1 ]} и Луис Бел в 1958 году. ^{[ 2 ]}

Это разложение особенно важно в общей теории относительности . ^{[ нужна ссылка ]} Это случай четырехмерных лоренцевых многообразий , для которых существует всего три части с простыми свойствами и индивидуальными физическими интерпретациями.

Разложение тензора Римана

В четырех измерениях разложение Бела тензора Римана по времениподобному единичному векторному полю ${\vec {X}}$ , не обязательно геодезическая или ортогональная гиперповерхность, состоит из трех частей:

электрогравитационный тензор $E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}$ $E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}$
- Также известен как приливный тензор . Физически его можно интерпретировать как приливное напряжение на небольших частях материального объекта (на которое также могут воздействовать другие физические силы) или приливное ускорение небольшого облака пробных частиц в вакуумном растворе или электровакуумном растворе .
магнитогравитационный тензор $B[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}$ $B[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}$
- Может быть интерпретировано физически как определение возможных спин-спиновых сил, действующих на вращающиеся кусочки материи, такие как вращающиеся пробные частицы .
тензор топогравитации $L[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R^{\star }}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}$ $L[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R^{\star }}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n }$
- Может интерпретироваться как представление кривизны сечения пространственной части поля кадра.

Поскольку все они трансверсальны (т.е. проецируются на элементы пространственной гиперплоскости, ортогональные нашему времениподобному полю единичных векторов), их можно представить как линейные операторы на трехмерных векторах или как вещественные матрицы размером три на три. Они соответственно симметричны, бесследны и симметричны (6,8,6 линейно независимых компонентов, всего 20). Если мы запишем эти операторы как E , B , L соответственно, главные инварианты тензора Римана получатся следующим образом:

$K_{1}/4$ это след E ² + Л ² - 2 Б Б ^Т,
$-K_{2}/8$ — след B ( E — L ),
$K_{3}/8$ это след E L - B ².

См. также

Ссылки

^ Мэтт, А. (1953), “О новых осциллирующих решениях уравнений гравитации”, Can. Дж. Математика. , 5 :1, doi : 10.4153/CJM-1953-001-3
^ Бел, Л. (1958), «Определение плотности энергии и обобщенного полного состояния излучения» , Еженедельные отчеты сессий Академии наук , 246 : 3015

Эта относительности статья, посвященная теории , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

Эта математической физикой статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Мэтт, А. (1953), “О новых осциллирующих решениях уравнений гравитации”, Can. Дж. Математика. , 5 :1, doi : 10.4153/CJM-1953-001-3

[2] Бел, Л. (1958), «Определение плотности энергии и обобщенного полного состояния излучения» , Еженедельные отчеты сессий Академии наук , 246 : 3015

[ 1 ]

[ 2 ]