Электровакуумное решение

В общей теории относительности электровакуумное решение ( электровакуум ) является точным решением уравнения поля Эйнштейна , в котором единственная присутствующая негравитационная масса-энергия - это энергия поля электромагнитного поля (искривленного пространства-времени) без источников , которое должно удовлетворять закону Максвелла . уравнения, соответствующие данной геометрии. По этой причине электровакуумы иногда называют решениями Эйнштейна – Максвелла (без источников) .

Определение

В общей теории относительности геометрической обстановкой физических явлений является лоренцево многообразие , которое интерпретируется как искривленное пространство-время и задается определением метрического тензора. $g_{ab}$ (или путем определения поля кадра ). Тензор кривизны Римана $R_{abcd}$ этого многообразия и связанных с ним величин, таких как тензор Эйнштейна $G^{ab}$ , четко определены. В общей теории относительности их можно интерпретировать как геометрические проявления (кривизну и силы) гравитационного поля .

Нам также необходимо указать электромагнитное поле, определив тензор электромагнитного поля. $F_{ab}$ на нашем лоренцевом многообразии. Чтобы быть классифицированными как электровакуумное решение, эти два тензора должны удовлетворять двум следующим условиям:

Тензор электромагнитного поля должен удовлетворять без источников . уравнениям поля Максвелла в искривленном пространстве-времени $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ и ${F^{jb}}_{;j}=0$
Тензор Эйнштейна должен соответствовать тензору электромагнитного напряжения-энергии , $G^{ab}=2\,\left(F^{a}{}_{j}F^{bj}-{\frac {1}{4}}g^{ab}\,F^{mn}\,F_{mn}\right)$ .

Первое уравнение Максвелла удовлетворяется автоматически, если мы определим тензор поля через вектор электромагнитного потенциала ${\vec {A}}$ . В терминах двойственного ковектора (или потенциальной одной формы ) и электромагнитной двухформы мы можем сделать это, установив $F=dA$ . Тогда нам нужно только убедиться, что расходимости исчезают (т.е. что второе уравнение Максвелла удовлетворяется для поля без источника ) и что электромагнитное напряжение-энергия соответствует тензору Эйнштейна.

Инварианты

Тензор электромагнитного поля антисимметричен и имеет только два алгебраически независимых скалярных инварианта:

I=\star (F\wedge \star F)=F_{ab}\,F^{ab}=-2\,\left(\|{\vec {E}}\|^{2}-\|{\vec {B}}\|^{2}\right)

J=\star (F\wedge F)=F_{ab}\,{\star F}^{ab}=-4\,{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}

Здесь звезда — звезда Ходжа .

Используя их, мы можем классифицировать возможные электромагнитные поля следующим образом:

Если $I<0$ но $J=0$ , у нас есть электростатическое поле , а это означает, что некоторые наблюдатели будут измерять статическое электрическое поле, а не магнитное поле.
Если $I>0$ но $J=0$ , у нас есть магнитостатическое поле , а это означает, что некоторые наблюдатели будут измерять статическое магнитное поле, а не электрическое поле.
Если $I=J=0$ Говорят, что электромагнитное поле равно нулю , и мы имеем нулевой электровакуум .

Нулевой электровакуум связан с электромагнитным излучением. Электромагнитное поле, которое не равно нулю, называется ненулевым , и тогда мы имеем ненулевой электровакуум .

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поля системы координат, а не координатного базиса, часто называют физическими компонентами , поскольку это компоненты, которые (в принципе) могут быть измерены наблюдателем.

В случае электровакуумного решения адаптированная рама

{\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}

всегда можно найти, в которых тензор Эйнштейна имеет особенно простой вид.Здесь под первым вектором понимается времяподобное поле единичного вектора; оно повсюду касается мировых линий соответствующего семейства адаптированных наблюдателей , движение которых «совмещено» с электромагнитным полем. Последние три представляют собой пространственноподобные поля единичных векторов.

Для ненулевого электровакуума можно найти адаптированную систему отсчета, в которой тензор Эйнштейна принимает вид

G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \epsilon \,\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right]

где $\epsilon$ — плотность энергии электромагнитного поля, измеренная любым адаптированным наблюдателем. Из этого выражения легко увидеть, что группа изотропии нашего ненулевого электровакуума генерируется повышением уровня ${\vec {e}}_{3}$ направление и вращение вокруг ${\vec {e}}_{3}$ ось. Другими словами, группа изотропии любого ненулевого электровакуума представляет собой двумерную абелеву группу Ли , изоморфную SO(1,1) x SO(2).

Для нулевого электровакуума можно найти адаптированную систему отсчёта, в которой тензор Эйнштейна принимает вид

G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \epsilon \,\left[{\begin{matrix}1&0&0&\pm 1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\pm 1&0&0&1\end{matrix}}\right]

Отсюда легко видеть, что группа изотропии нашего нулевого электровакуума включает вращения вокруг ${\vec {e}}_{3}$ ось; еще два генератора — это два параболических преобразования Лоренца, выровненные по ${\vec {e}}_{3}$ направление, данное в статье о группе Лоренца . Другими словами, группа изотропии любого нулевого электровакуума представляет собой трехмерную группу Ли, изоморфную E (2), группе изометрии евклидовой плоскости.

Тот факт, что эти результаты в искривленном пространстве-времени точно такие же, как и для электродинамики в плоском пространстве-времени Минковского, является одним из выражений принципа эквивалентности .

Собственные значения

Характеристический полином тензора Эйнштейна ненулевого электровакуума должен иметь вид

\chi (\lambda )=\left(\lambda +8\pi \epsilon \right)^{2}\,\left(\lambda -8\pi \epsilon \right)^{2}

Используя тождества Ньютона , это условие может быть перевыражено через следы степеней тензора Эйнштейна как

t_{1}=t_{3}=0,\;t_{4}=t_{2}^{2}/4

где

t_{1}={G^{a}}_{a},\;t_{2}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\;t_{3}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},\;t_{4}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}

Этот необходимый критерий может быть полезен для проверки правдоподобности предполагаемого ненулевого электровакуумного решения, а иногда полезен для поиска ненулевых электровакуумных решений.

Характеристический полином нулевого электровакуума тождественно обращается в нуль , даже если плотность энергии отлична от нуля . Эта возможность является тензорным аналогом хорошо известного факта, что нулевой вектор всегда имеет нулевую длину, даже если он не является нулевым вектором. Таким образом, каждый нулевой электровакуум имеет одно четверное собственное значение , а именно ноль.

Условия Райнича

В 1925 году Георгий Юрий Райнич представил чисто математические условия, которые одновременно необходимы и достаточны для того, чтобы лоренцево многообразие допускало интерпретацию в общей теории относительности как ненулевой электровакуум. Они включают три алгебраических условия и одно дифференциальное условие. Условия иногда полезны для проверки того, что предполагаемый ненулевой электровакуум действительно является тем, о чем он заявляет, или даже для поиска таких решений.

Аналогичные необходимые и достаточные условия нулевого электровакуума нашел Чарльз Торре. ^[1]

Тестовые поля

Иногда можно предположить, что энергия любого электромагнитного поля настолько мала, что его гравитационными эффектами можно пренебречь. Тогда для получения приближенного электровакуумного решения нам достаточно решить уравнения Максвелла на заданном вакуумном решении . В этом случае электромагнитное поле часто называют пробным полем по аналогии с термином пробная частица (обозначающим небольшой объект, масса которого слишком мала, чтобы внести заметный вклад в окружающее гравитационное поле).

Здесь полезно знать, что любые векторы Киллинга, которые могут присутствовать, будут (в случае вакуумного решения) автоматически удовлетворять уравнениям Максвелла в искривленном пространстве-времени . ^[2]

Обратите внимание, что эта процедура сводится к предположению, что электромагнитное поле, а не гравитационное поле, является «слабым». Иногда мы можем пойти еще дальше; если гравитационное поле также считается «слабым», мы можем независимо решать линеаризованные уравнения поля Эйнштейна и уравнения Максвелла (плоское пространство-время) на вакуумном фоне Минковского. Тогда (слабый) метрический тензор дает приближенную геометрию; фон Минковского ненаблюдаем физическими средствами, но математически с ним гораздо проще работать, когда нам может сойти с рук такая ловкость рук.

Примеры

К заслуживающим внимания отдельным ненулевым электровакуумным решениям относятся:

Электровакуум Рейсснера – Нордстрема (который описывает геометрию вокруг заряженной сферической массы),
Электровакуум Керра – Ньюмана (описывающий геометрию вокруг заряженного вращающегося объекта),
Электровакуум Мелвина (модель цилиндрически-симметричного магнитостатического поля),
Электровакуум Гарфинкла – Мелвина (аналогично предыдущему, но включая гравитационную волну, бегущую вдоль оси симметрии),
Электровакуум Бертотти-Робинсона: это простое пространство-время, имеющее замечательную продуктовую структуру; оно возникает в результате своеобразного «раздутия» горизонта электровакуума Рейсснера – Нордстрема,
Электровакуумы Виттена (открыты Луисом Виттеном , отцом Эдварда Виттена ).

К заслуживающим внимания отдельным нулевым электровакуумным решениям относятся:

монохроматическая электромагнитная плоская волна , точное решение, которое является общим релятивистским аналогом плоских волн в классическом электромагнетизме,
Электровакуум Белла – Секереса (модель сталкивающихся плоских волн).

Некоторые хорошо известные семейства электровакуумов:

Электровакуумы Вейля – Максвелла: это семейство всех статических осесимметричных электровакуумных решений; в его состав входит электровакуум Рейсснера – Нордстрема,
Электровакуумы Эрнста – Максвелла: это семейство всех стационарных осесимметричных электровакуумных решений; в его состав входит электровакуум Керра – Ньюмана,
Электровакуумы Бека – Максвелла: все невращающиеся цилиндрически симметричные электровакуумные решения,
Электровакуумы Элерса – Максвелла: все стационарные цилиндрически симметричные электровакуумные решения,
Электровакуумы Секереса: все пары сталкивающихся плоских волн, где каждая волна может содержать как гравитационное, так и электромагнитное излучение; эти решения представляют собой нулевой электровакуум вне зоны взаимодействия , но обычно ненулевой электровакуум внутри зоны взаимодействия из-за нелинейного взаимодействия двух волн после их столкновения.

Многие пространства-времени с pp-волнами допускают наличие тензора электромагнитного поля, что превращает их в точные нулевые электровакуумные решения.

См. также

Ссылки

^ Торре, Чарльз (2014). «Геометрия пространства-времени нулевого электромагнитного поля». Классическая и квантовая гравитация . 31 (4): 045022. arXiv : 1308.2323 . Бибкод : 2014CQGra..31d5022T . дои : 10.1088/0264-9381/31/4/045022 . S2CID 22243824 .
^ Папапетру, А (1966). «Стационарные гравитационные поля с осевой симметрией» . Анналы Института Анри Пуанкаре А (на французском языке). 4 (2): 83–105. Бибкод : 1966AIHPA...4...83P . Проверено 19 декабря 2011 г.

Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7 . См. раздел 5.4 для условий Райнича, раздел 19.4 для электровакуумов Вейля-Максвелла, раздел 21.1 для электровакуумов Эрнста-Максвелла, раздел 24.5 для pp-волн, раздел 25.5 для электровакуумов Секереса и т. д.
Гриффитс, Дж. Б. (1991). Столкновение плоских волн в общей теории относительности . Оксфорд: Кларендон Пресс . ISBN 0-19-853209-1 . Полноценный ресурс по столкновению плоских волн, включая примеры, упомянутые выше.

[1] Торре, Чарльз (2014). «Геометрия пространства-времени нулевого электромагнитного поля». Классическая и квантовая гравитация . 31 (4): 045022. arXiv : 1308.2323 . Бибкод : 2014CQGra..31d5022T . дои : 10.1088/0264-9381/31/4/045022 . S2CID 22243824 .

[papa66-2] Папапетру, А (1966). «Стационарные гравитационные поля с осевой симметрией» . Анналы Института Анри Пуанкаре А (на французском языке). 4 (2): 83–105. Бибкод : 1966AIHPA...4...83P . Проверено 19 декабря 2011 г.

[1]

[2]