Монохроматическая электромагнитная плоская волна

В общей теории относительности монохроматические электромагнитные плоские волны в пространстве-времени являются аналогом монохроматических плоских волн, известных из теории Максвелла. Точное определение решения довольно сложно, но очень поучительно.

Любое точное решение уравнения поля Эйнштейна , моделирующее электромагнитное поле , должно учитывать все гравитационные эффекты энергии и массы электромагнитного поля . Помимо электромагнитного поля, если нет материи и негравитационных полей, уравнение поля Эйнштейна и уравнения поля Максвелла решать необходимо одновременно .

В Максвелла полевой теории электромагнетизма электромагнитное одними из наиболее важных типов электромагнитного поля являются те, которые представляют собой микроволновое излучение . Из них наиболее важными примерами являются плоские электромагнитные волны , в которых излучение имеет плоские волновые фронты, движущиеся в определенном направлении со скоростью света. Из них наиболее основными являются монохроматические плоские волны, в которых только одна частотная присутствует составляющая. Это именно то явление, которое моделирует данное решение, но в терминах общей теории относительности.

Определение решения

Метрический тензор единственного точного решения, моделирующего линейно поляризованную электромагнитную плоскую волну с амплитудой q и частотой ω, можно записать в координатах Розена в виде

$ds^{2}=-2\,du\,dv+C^{2}\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},2{\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},\omega u\right)\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right),\qquad -\infty <v,x,y<\infty ,\quad -u_{0}<u<u_{0}.$

где $\xi ={\frac {u_{0}}{\omega }}$ — первый положительный корень из C ( a , 2 a , ξ ) = 0 , где $a={\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}}$. На этой карте ∂ _u , ∂ _v являются нулевыми координатными векторами, а ∂ _x , ∂ _y — пространственноподобными координатными векторами.

Здесь косинус Матье C ( a , b , ξ ) — четная функция , которая решает уравнение Матье и также принимает значение C ( a , b , 0) = 1 . Несмотря на название, эта функция не является периодической и ее нельзя записать в терминах синусоидальной или даже гипергеометрической функции. ( Матье Подробнее о функции косинуса см. в разделе «Функция Матье».)

В выражении для метрики обратите внимание, что ∂ _u , ∂ _v — нулевые векторные поля. Следовательно, ∂ _u + ∂ _v — времяподобное векторное поле, а ∂ _u − ∂ _v , ∂ _x , ∂ _y — пространственноподобные векторные поля.

Для определения векторного потенциала электромагнитного поля можно взять четырехвекторный потенциал электромагнитного поля

${\vec {A}}={\frac {{\sqrt {2}}a\int C\left({\frac {u^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)\,\sin(\omega u)\,du}{C\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)}}\;\partial _{x}$

Это полная спецификация математической модели, сформулированной в общей теории относительности.

Локальные изометрии

Наше пространство-время моделируется лоренцевым многообразием , обладающим некоторыми замечательными симметриями. А именно, наше пространство-время допускает шестимерную группу Ли самоизометрий. Эта группа порождается шестимерной алгеброй Ли векторных полей Киллинга . Удобный базис состоит из одного нулевого векторного поля,

${\vec {\xi }}_{1}=\partial _{v}$

три пространственноподобных векторных поля,

${\vec {\xi }}_{2}=\partial _{x},\;{\vec {\xi }}_{3}=\partial _{y},\;{\vec {\xi }}_{4}=-y\,\partial _{x}+x\,\partial _{y}$

и два дополнительных векторных поля,

${\begin{aligned}{\vec {\xi }}_{5}&=x\,\partial _{v}+\int {\frac {du}{C\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)}}\,\partial _{x}\\{\vec {\xi }}_{6}&=y\,\partial _{v}+\int {\frac {du}{C\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)}}\,\partial _{y}\end{aligned}}$

Здесь, ${\vec {\xi }}_{2},\,{\vec {\xi }}_{3},\,{\vec {\xi }}_{4}$ сгенерировать евклидову группу , действующую внутри каждого планарного волнового фронта, что оправдывает название плоской волны для этого решения. Также ${\vec {\xi }}_{5},\,{\vec {\xi }}_{6}$ покажите, что все нетрансверсальные направления эквивалентны. Это соответствует тому факту, что в плоском пространстве-времени две сталкивающиеся плоские волны всегда сталкиваются лоб в лоб, если их представить в соответствующей системе Лоренца .

Для дальнейшего использования обратите внимание, что эта шестимерная группа самоизометрий действует транзитивно , так что наше пространство-время однородно . Однако он не изотропен , поскольку поперечные направления отличаются от непоперечных.

Семья инерционных наблюдателей

Поле кадра

${\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\partial _{u}+\partial _{v}\right)$

${\vec {e}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-\partial _{u}+\partial _{v}\right)$

${\vec {e}}_{2}={\frac {1}{C\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},\,{\frac {2q^{2}}{\omega ^{2}}},\,\omega u\right)}}\partial _{x}$

${\vec {e}}_{3}={\frac {1}{C\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},\,{\frac {2q^{2}}{\omega ^{2}}},\,\omega u\right)}}\partial _{y}$

представляет локальную систему Лоренца , определенную семейством невращающихся инерциальных наблюдателей . То есть,

$\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=0$

что означает, что кривые времениподобного интегральные единичного векторного поля e ₀ являются времениподобными геодезическими , а также

$\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{1}=\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{2}=\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{3}=0$

это означает, что пространственноподобные поля единичных векторов e ₁ , e ₂ , e ₃ не являются спиннинговыми. (Они переносятся Ферми-Уокером .) Здесь ${\vec {e}}_{0}$ является времениподобным полем единичного вектора, а ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}$ являются пространственноподобными полями единичных векторов.

Невращающиеся инерциальные системы отсчета настолько близки, насколько это возможно в искривленном пространстве-времени, к обычным системам Лоренца, известным из специальной теории относительности , где преобразования Лоренца — это просто переходы от одной системы Лоренца к другой.

Электромагнитное поле

Что касается нашей системы координат, электромагнитное поле, полученное из приведенного выше потенциала, равно

${\vec {E}}=q\,\sin(\omega u)\,{\vec {e}}_{2}$

${\vec {B}}=-q\,\sin(\omega u)\,{\vec {e}}_{3}$

Это электромагнитное поле представляет собой решение без источника уравнений поля Максвелла в конкретном искривленном пространстве-времени, определенном вышеприведенным метрическим тензором. Это нулевое решение и оно представляет собой поперечную синусоидальную плоскую электромагнитную волну с амплитудой q и частотой ω , распространяющуюся в направлении e ₁ . Когда один

• вычисляет тензор энергии-импульса T ^аб для данного электромагнитного поля,
• вычислить тензор Эйнштейна G ^аб для данного метрического тензора

обнаруживается, что уравнение поля Эйнштейна G ^аб = 8 πТ ^аб удовлетворен. Именно это и имеется в виду, когда говорят, что существует точное электровакуумное решение .

В нашей системе координат тензор энергии-импульса оказывается равным

$T^{{\hat {j}}{\hat {k}}}={\frac {q^{2}\sin ^{2}(\omega u)}{4\pi }}{\begin{bmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Это то же самое выражение , которое можно найти в классическом электромагнетизме (где пренебрегают гравитационными эффектами энергии электромагнитного поля) для нулевого поля, приведенного выше; единственное отличие состоит в том, что теперь наша система координат представляет собой анголономную (ортонормированную) основу на искривленном пространстве-времени , а не координатную основу в плоском пространстве-времени . (См. поля кадра .)

Относительное движение наблюдателей

Говорят, что карта Розена сопровождает наше семейство инерциальных невращающихся наблюдателей, потому что координаты ve − u , x , y постоянны вдоль каждой мировой линии и заданы интегральной кривой времениподобного единичного векторного поля. ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}$. Таким образом, на карте Розена эти наблюдатели могут показаться неподвижными. Но на самом деле они находятся в относительном движении относительно друг друга. Чтобы убедиться в этом, следует вычислить их тензор разложения относительно приведенной выше системы отсчета. Это оказывается

$\theta [{\vec {X}}]_{{\hat {i}}{\hat {j}}}={\frac {\omega }{\sqrt {2}}}\,{\frac {C^{\prime }({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u)}{C({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u)}}\,\operatorname {diag} (0,1,1)$

где

$C^{\prime }(a,q,\xi )={\frac {\partial C(a,q,\xi )}{\partial \xi }}.$

Неисчезающие компоненты идентичны и

1. вогнутый вниз $-u_{0}<u<u_{0}$
2. исчезают при u = 0 .

Физически это означает, что небольшое сферическое «облако» наших инерциальных наблюдателей зависает на мгновение в точке u = 0 , а затем начинает сжиматься, в конечном итоге проходя сквозь друг друга в точке u = u ₀ . Если представить их образующими трехмерное облако равномерно распределенных пробных частиц, то этот коллапс происходит ортогонально направлению распространения волны. Облако не демонстрирует относительного движения в направлении распространения, поэтому это чисто поперечное движение.

Для ${\frac {q}{\omega }}\ll 1$ (коротковолновое приближение) имеет примерно

$g_{xx}\approx \cos(qu)^{2}$

$\theta [{\vec {X}}]_{22}\approx -q\,\tan(qu)$ Например, с $q=1/2,\omega =5$, у одного есть

где точные выражения показаны красным, а коротковолновые приближения - зеленым.

Тензор завихренности нашей конгруэнции тождественно обращается в нуль , поэтому мировые линии наших наблюдателей ортогональны гиперповерхности . Трехмерный тензор Римана гиперсрезов относительно нашей системы координат задается формулой

${{}^{3}R}_{1212}={{}^{3}R}_{1313}=q^{2}\,\sin(\omega u)^{2}$

${{}^{3}R}_{2323}={\frac {-\omega ^{2}}{2}}\,{\frac {C^{\prime }\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)^{2}}{C\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)^{2}}}$

Кривизна четко разделяется на волновую (кривизны сечения параллельны направлению распространения) и фоновую (поперечная кривизна сечения).

Тензор кривизны Римана

Напротив, разложение Бела тензора кривизны Римана, взятое по ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}$, это сама простота. Тензор электрогравитации , который непосредственно представляет приливные ускорения , равен

$E[{\vec {X}}]_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=q^{2}\,\sin(\omega u)^{2}\,\operatorname {diag} (0,1,1)$

Магнитогравитационный тензор , который непосредственно представляет силу спин-спин на гироскопе, который несет один из наших наблюдателей, равен

$B[{\vec {X}}]_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=q^{2}\,\sin(\omega u)^{2}{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}}$

( Топогравитационный тензор , который представляет кривизну пространственного сечения , согласуется с электрогравитационным тензором.)

Оглядываясь назад на наш график метрического тензора, можно увидеть, что приливный тензор создает небольшие синусоидальные относительные ускорения с периодом ω , которые полностью поперечны направлению распространения волны. Чистый гравитационный эффект в течение многих периодов должен вызвать цикл расширения и обратного сжатия нашего семейства инерциальных невращающихся наблюдателей. волны Это можно рассматривать как эффект кривизны фона .

Этот цикл расширения и сжатия напоминает космологические модели расширения и сжатия FRW , и происходит он по той же причине: наличие негравитационной массы-энергии. В моделях FRW эта массовая энергия обусловлена ​​массой частиц пыли; здесь это связано с полевой энергией поля электромагнитной волны. Там цикл расширения-обратного сжатия начинается и заканчивается сингулярностью сильной скалярной кривизны ; здесь имеется лишь координатная сингулярность (обстоятельство, которое сильно смутило Эйнштейна и Розена в 1937 г.). Кроме того, имеется небольшая синусоидальная модуляция расширения и обратного схлопывания.

Оптические эффекты

Общий принцип, касающийся плоских волн, гласит: нельзя видеть, как поезд волн входит на станцию, но можно видеть, как он уходит . То есть, если посмотреть сквозь фронты встречных волн на удаленные объекты, то не будет видно оптических искажений, а если повернуться и посмотреть сквозь фронты уходящих волн на удаленные объекты, то можно увидеть оптические искажения. В частности, нулевое геодезическое сравнение, порожденное нулевым векторным полем ${\vec {k}}={\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}$ имеет исчезающие оптические скаляры , но нулевое геодезическое сравнение, порожденное ${\vec {\ell }}={\vec {e}}_{0}-{\vec {e}}_{1}$ имеет исчезающие скаляры скручивания и сдвига, но ненулевой скаляр расширения

$\theta ={\sqrt {2}}\omega \,{\frac {C^{\prime }\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)}{C\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)}}$

Это показывает, что, глядя сквозь уходящие волновые фронты на далекие объекты, наши инерционные невращающиеся наблюдатели будут видеть изменение их видимого размера таким же образом, как и расширение самой времениподобной геодезической конгруэнтности.

Диаграмма Бринкмана

Один из способов быстро убедиться в правдоподобности утверждения о том, что u = u0 _{однородно} является простой координатной сингулярностью, — это вспомнить, что наше пространство-время , так что все события эквивалентны. Чтобы подтвердить это напрямую и изучить с другой точки зрения относительное движение наших инерциальных невращающихся наблюдателей, можно применить преобразование координат

$u\to u$

$v\to v-{\frac {\dot {r}}{2r}}\left(x^{2}+y^{2}\right)$

$x\to x/r$

$y\to y/r$

где

$-{\frac {{\ddot {r}}(u)}{r(u)}}=q\sin(\omega u)^{2}$

Это приводит решение к его представлению в терминах координат Бринкмана :

$ds^{2}=-q\,\sin(\omega u)^{2}\,du^{2}-2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2},\qquad -\infty <u,v,x,y<\infty$

Поскольку можно показать, что новые координаты геодезически полны ,Координаты Бринкмана определяют глобальную диаграмму координат .На этом графике видно, что спада ! происходит бесконечная последовательность одинаковых циклов расширения-обратного

Каустика

В диаграмме Бринкмана наше поле кадра становится довольно сложным:

${\vec {e}}_{0}={\frac {\partial _{u}+\partial _{v}}{\sqrt {2}}}+\left\{{\frac {x^{2}+y^{2}}{\sqrt {2}}}\left(-q^{2}\sin(\omega u)^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{2}}\,{\frac {C^{\prime }\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)^{2}}{C\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)^{2}}}\right)\partial _{v}\right\}+\left\{{\frac {\omega }{2}}{\frac {C^{\prime }\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)}{C\left({\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}},{\frac {q^{2}}{2\omega ^{2}}},\omega u\right)}}\left(x\partial _{x}+y\partial _{y}\right)\right\}$

и так далее. Естественно, если вычислить тензор расширения, тензор электрогравитации и т. д., можно получить те же ответы, что и раньше, но выраженные в новых координатах.

Простота метрического тензора по сравнению со сложностью системы координат поражает. Дело в том, что на новой карте легче визуализировать каустики, образуемые относительным движением наших наблюдателей. Интегральные кривые времениподобного единичного геодезического векторного поля ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}$ дайте мировые линии наших наблюдателей. На диаграмме Розена они отображаются как вертикальные линии координат, поскольку эта диаграмма движется.

Чтобы понять, как эта ситуация выглядит на карте Бринкмана, обратите внимание, что когда ω обширна, наше времяподобное геодезическое поле единичного вектора становится примерно

${\vec {X}}\approx {\frac {\partial _{u}+\partial _{v}}{\sqrt {2}}}-q\tan(qu)\left(x\partial _{x}+y\partial _{y}\right)+{\frac {x^{2}+y^{2}}{\sqrt {2}}}\,\left(-q^{2}\sin(\omega u)^{2}+q^{2}\tan(qu)^{2}\right)\partial _{v}$

Подавив последний член, результат будет

Примерное движение нашей семьи наблюдателей, представленное на диаграмме Бринкмана.

${\vec {X}}\approx \partial _{t}-q\tan \left({\frac {qu}{\sqrt {2}}}\right)\left(x\partial _{x}+y\partial _{y}\right)$

Сразу получается интегральная кривая, демонстрирующая синусоидальные циклы расширения и повторной сходимости. Посмотрите на рисунок, на котором время течет вертикально, а радиальная симметрия используется для подавления одного пространственного измерения. На этом рисунке показано, почему на карте Розена имеется сингулярность координат; наблюдатели должны проходить мимо друг друга через равные промежутки времени, что несовместимо со свойством сопутствующего движения, поэтому в этих местах карта ломается. Заметим, что эта цифра неверно предполагает, что один наблюдатель является как бы «центром притяжения», но на самом деле все они полностью эквивалентны , в силу большой группы симметрии этого пространства-времени. Заметим также, что широко синусоидальное относительное движение наших наблюдателей полностью соответствует поведению тензора расширения (относительно поля системы отсчета, соответствующего нашему семейству наблюдателей), которое было отмечено выше.

Стоит отметить, что эти довольно сложные моменты смутили не меньше человека, чем Альберта Эйнштейна в его статье 1937 года о гравитационных волнах (написанной задолго до того, как используемый здесь современный математический аппарат получил широкое признание в физике).

Таким образом, в карте Бринкмана мировые линии наших наблюдателей в коротковолновом случае представляют собой периодические кривые, имеющие вид синусоидальных с периодом $2\pi /q$, модулированный гораздо меньшими синусоидальными возмущениями в нулевом направлении ∂ _v и имеющий гораздо более короткий период, $2\pi /\omega$. Наблюдатели периодически расширяются и сжимаются поперек направления распространения; это движение модулируется коротким периодом возмущений малой амплитуды.

Краткое содержание

Сравнивая наше точное решение с обычной монохроматической электромагнитной плоской волной, рассматриваемой в специальной теории относительности (т. е. с волной в плоском пространстве-времени, пренебрегающей гравитационными эффектами энергии электромагнитного поля), можно увидеть, что поразительная новая особенность общей теории относительности состоит в том, что циклы расширения и коллапса, с которыми сталкиваются наши наблюдатели, которые можно отнести к фоновой кривизне , а не к каким-либо измерениям, выполненным за короткое время и расстояния (порядка длины волны электромагнитного микроволнового излучения).

См. также

• Аргумент «липкая бусинка» для описания статьи Эйнштейна и Розена 1937 года, упомянутой выше.

Ссылки

• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN  0-7167-0344-0 . См. раздел 35.11.