Оптические скаляры

В общей теории относительности оптические скаляры относятся к набору из трех скалярных функций. $\{{\hat {\theta }}$ (расширение), ${\hat {\sigma }}$ (сдвиг) и ${\hat {\omega }}$ (поворот/вращение/завихренность) $\}$ описывающее распространение геодезической нулевой конгруэнтности .

Фактически, эти три скаляра $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ могут быть определены как для времениподобных, так и для нулевых геодезических конгруэнций в одинаковом духе, но «оптическими скалярами» они называются только для нулевого случая. Кроме того, это их тензорные предшественники $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ принятые в тензорных уравнениях, а скаляры $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ в основном проявляются в уравнениях, написанных на языке формализма Ньюмана–Пенроуза .

Определения: расширение, сдвиг и скручивание.

Для геодезических времениподобных конгруэнтностей

Обозначим касательное векторное поле мировой линии наблюдателя (в времениподобной конгруэнтности) как $Z^{a}$, и тогда можно было бы построить индуцированные «пространственные метрики», которые

$(1)\quad h^{ab}=g^{ab}+Z^{a}Z^{b}\;,\quad h_{ab}=g_{ab}+Z_{a}Z_{b}\;,\quad h_{\;\;b}^{a}=\delta _{\;\;b}^{a}+Z^{a}Z_{b}\;,$

где $h_{\;\;b}^{a}$ работает как пространственно-проецирующий оператор. Использовать $h_{\;\;b}^{a}$ спроецировать координатную ковариантную производную $\nabla _{b}Z_{a}$ и получается «пространственный» вспомогательный тензор $B_{ab}$,

$(2)\quad B_{ab}=h_{\;\;a}^{c}\,h_{\;\;b}^{d}\,\nabla _{d}Z_{c}=\nabla _{b}Z_{a}+A_{a}Z_{b}\;,$

где $A_{a}$ представляет собой четырехкратное ускорение, и $B_{ab}$ является чисто пространственным в том смысле, что $B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0$. Конкретно для наблюдателя с геодезической времениподобной мировой линией мы имеем

$(3)\quad A_{a}=0\;,\quad \Rightarrow \quad B_{ab}=\nabla _{b}Z_{a}\;.$

Теперь разложим $B_{ab}$ на симметричную и антисимметричную части $\theta _{ab}$ и $\omega _{ab}$,

$(4)\quad \theta _{ab}=B_{(ab)}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.$

$\omega _{ab}=B_{[ab]}$ не имеет следов ( $g^{ab}\omega _{ab}=0$) пока $\theta _{ab}$ имеет ненулевой след, $g^{ab}\theta _{ab}=\theta$. Таким образом, симметричная часть $\theta _{ab}$ может быть дополнительно переписан в его следовую и бесследовую часть,

$(5)\quad \theta _{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}\;.$

Таким образом, в целом мы имеем

$(6)\quad B_{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}\;,\quad \theta =g^{ab}\theta _{ab}=g^{ab}B_{(ab)}\;,\quad \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\theta h_{ab}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.$

Для геодезических нулевых сравнений

Теперь рассмотрим геодезическое нулевое сравнение с касательным векторным полем. $k^{a}$. Подобно времениподобной ситуации, мы также определяем

$(7)\quad {\hat {B}}_{ab}:=\nabla _{b}k_{a}\;,$

который можно разложить на

$(8)\quad {\hat {B}}_{ab}={\hat {\theta }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}+{\hat {\sigma }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}\;,$

где

$(9)\quad {\hat {\theta }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}\;,\quad {\hat {\theta }}={\hat {h}}^{ab}{\hat {B}}_{ab}\;,\quad {\hat {\sigma }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\;,\quad {\hat {\omega }}_{ab}={\hat {B}}_{[ab]}\;.$

Здесь «шляпные» величины используются, чтобы подчеркнуть, что эти величины для нулевых сравнений являются двумерными, в отличие от трехмерного времениподобного случая. Однако если в статье мы обсуждаем только нулевые сравнения, шляпки для простоты можно опустить.

Определения: оптические скаляры для нулевых сравнений.

Оптические скаляры $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ происходят непосредственно из «скаляризации» тензоров $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ в уравнении (9).

Расширение " геодезического нулевого сравнения определяется (где для оформления мы примем другой стандартный символ $;$" для обозначения ковариантной производной $\nabla _{a}$)

$(10)\quad {\hat {\theta }}={\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}\;.$

Сравнение со «скоростями расширения нулевого сравнения»: Как показано в статье « Скорость расширения нулевого сравнения », исходящие и входящие темпы расширения, обозначаемые $\theta _{(\ell )}$ и $\theta _{(n)}$ соответственно, определяются как

$(A.1)\quad \theta _{(\ell )}:=h^{ab}\nabla _{a}l_{b}\;,$

$(A.2)\quad \theta _{(n)}:=h^{ab}\nabla _{a}n_{b}\;,$

где $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ представляет собой индуцированную метрику. Также, $\theta _{(\ell )}$ и $\theta _{(n)}$ можно рассчитать через

$(A.3)\quad \theta _{(\ell )}=g^{ab}\nabla _{a}l_{b}-\kappa _{(\ell )}\;,$

$(A.4)\quad \theta _{(n)}=g^{ab}\nabla _{a}n_{b}-\kappa _{(n)}\;,$

где $\kappa _{(\ell )}$ и $\kappa _{(n)}$ соответственно исходящие и входящие коэффициенты несродства, определяемые формулой

$(A.5)\quad l^{a}\nabla _{a}l_{b}=\kappa _{(\ell )}l_{b}\;,$

$(A.6)\quad n^{a}\nabla _{a}n_{b}=\kappa _{(n)}n_{b}\;.$

Более того, на языке формализма Ньюмана–Пенроуза с соглашением $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$, у нас есть

$(A.7)\quad \theta _{(l)}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,$

Как мы видим, для геодезической нулевой конгруэнтности оптический скаляр $\theta$ играет ту же роль со скоростью расширения $\theta _{(\ell )}$ и $\theta _{(n)}$. Следовательно, для геодезического нулевого сравнения $\theta$ будет равно либо $\theta _{(\ell )}$ или $\theta _{(n)}$.

Сдвиг формулой геодезической нулевой конгруэнции определяется

$(11)\quad {\hat {\sigma }}^{2}={\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\bar {\sigma }}}^{ab}={\frac {1}{2}}\,g^{ca}\,g^{db}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\Big (}{\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}{\Big )}^{2}=\,g^{ca}\,g^{db}{\frac {1}{2}}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\hat {\theta }}^{2}\;.$

Поворот формулой геодезической нулевой конгруэнции определяется

$(12)\quad {\hat {\omega }}^{2}={\frac {1}{2}}\,k_{[a\,;\,b]}\,k^{a\,;\,b}=g^{ca}\,g^{db}\,k_{[a\,;\,b]}\,k_{c\,;\,d}\;.$

На практике геодезическое нулевое сравнение обычно определяется либо его исходящим ( $k^{a}=l^{a}$) или входящий ( $k^{a}=n^{a}$) касательное векторное поле (которые также являются его нулевыми нормалями). Таким образом, мы получаем два набора оптических скаляров $\{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}$ и $\{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}$, которые определены относительно $l^{a}$ и $n^{a}$, соответственно.

Приложения для разложения уравнений распространения

Для геодезического времениподобного соответствия

Распространение (или эволюция) $B_{ab}$ для геодезического времениподобного соответствия вдоль $Z^{c}$ учитывает следующее уравнение,

$(13)\quad Z^{c}\nabla _{c}B_{ab}=-B_{\;\;b}^{c}B_{ac}+R_{cbad}Z^{c}Z^{d}\;.$

Возьмите след уравнения (13), сжимая его с помощью $g^{ab}$, и уравнение (13) становится

$(14)\quad Z^{c}\nabla _{c}\theta =\theta _{,\,\tau }=-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+\omega _{ab}\omega ^{ab}-R_{ab}Z^{a}Z^{b}$

через величины в уравнении (6). Более того, бесследовая симметричная часть уравнения (13) равна

$(15)\quad Z^{c}\nabla _{c}\sigma _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \sigma _{ab}-\sigma _{ac}\sigma _{\;b}^{c}-\omega _{ac}\omega _{\;b}^{c}+{\frac {1}{3}}h_{ab}\,(\sigma _{cd}\sigma ^{cd}-\omega _{cd}\omega ^{cd})+C_{cbad}Z^{c}Z^{d}+{\frac {1}{2}}{\tilde {R}}_{ab}\,.$

Наконец, антисимметричная составляющая уравнения (13) дает

$(16)\quad Z^{c}\nabla _{c}\omega _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \omega _{ab}-2\sigma _{\;[b}^{c}\omega _{a]c}\;.$

Для геодезического нулевого сравнения

(Общее) геодезическое нулевое сравнение подчиняется следующему уравнению распространения:

$(16)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {B}}_{ab}=-{\hat {B}}_{\;\;b}^{c}{\hat {B}}_{ac}+{\widehat {R_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;.$

Используя определения, обобщенные в уравнении (9), уравнение (14) можно переписать в следующие уравнения с компонентами:

$(17)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\theta }}={\hat {\theta }}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}{\hat {\omega }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}\;,$

$(18)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;,$

$(19)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\omega }}_{ab}\;.$

Для ограниченного геодезического нулевого сравнения

Для геодезической нулевой конгруэнции, ограниченной на нулевой гиперповерхности, мы имеем

$(20)\quad k^{c}\nabla _{c}\theta ={\hat {\theta }}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\theta }}\;,$

$(21)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\sigma }}_{ab}\;,$

$(22)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=0\;.$

Спиновые коэффициенты, уравнение Райчаудхури и оптические скаляры

Для лучшего понимания предыдущего раздела мы кратко рассмотрим значения соответствующих спиновых коэффициентов NP при изображении нулевых конгруэнций . Тензорная форма уравнения Райчаудхури управление чтением нулевых потоков

$(23)\quad {\mathcal {L}}_{\ell }\theta _{(\ell )}=-{\frac {1}{2}}\theta _{(\ell )}^{2}+{\tilde {\kappa }}_{(\ell )}\theta _{(\ell )}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+{\tilde {\omega }}_{ab}{\tilde {\omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b}\,,$

где ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}$ определяется так, что ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$. Величины в уравнении Райчаудхури связаны со спиновыми коэффициентами соотношением

$(24)\quad \theta _{(\ell )}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,$

$(25)\quad \sigma _{ab}=-\sigma {\bar {m}}_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {\sigma }}m_{a}m_{b}\,,$

$(26)\quad {\tilde {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}\,{\Big (}\rho -{\bar {\rho }}{\Big )}\,{\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}={\text{Im}}(\rho )\cdot {\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}\,,$

где уравнение (24) следует непосредственно из ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ и

$(27)\quad \theta _{(\ell )}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}l_{b}+{\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {\delta }}l_{b}+{\bar {m}}^{b}\delta l_{b}=-(\rho +{\bar {\rho }})\,,$

$(28)\quad \theta _{(n)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}n_{b}+m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}\delta n_{b}+m^{b}{\bar {\delta }}n_{b}=\mu +{\bar {\mu }}\,.$

См. также

• Уравнение Райчаудхари
• Конгруэнтность (общая теория относительности)