Уравнения поля Эйнштейна

В общей теории относительности уравнения поля Эйнштейна ( EFE ; также известные как уравнения Эйнштейна ) связывают геометрию пространства-времени с распределением материи внутри него. ^[1]

Уравнения были опубликованы Альбертом Эйнштейном в 1915 году в форме тензорного уравнения. ^[2] что связано с местными пространства-времени кривизна (выраженная тензором Эйнштейна ) с локальной энергией, импульсом и напряжением внутри этого пространства-времени (выраженная тензором энергии-импульса ). ^[3]

Аналогично тому, как электромагнитные поля связаны с распределением зарядов и токов посредством уравнений Максвелла , ЭФЭ связывают геометрию пространства-времени с распределением массы-энергии, импульса и напряжения, то есть они определяют метрический тензор пространства-времени для заданное расположение напряжения-энергии-импульса в пространстве-времени. Связь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет записать EFE как набор нелинейных уравнений в частных производных при таком использовании. Решения ЭФЭ являются компонентами метрического тензора. Инерционные геодезические траектории частиц и излучения ( ) в полученной геометрии затем рассчитываются с использованием уравнения геодезических .

Помимо сохранения локальной энергии-импульса, EFE сводится к закону гравитации Ньютона в пределе слабого гравитационного поля и скоростей, которые намного меньше скорости света . ^[4]

Точные решения для EFE можно найти только при упрощающих предположениях, таких как симметрия . специальные классы точных решений Чаще всего изучаются , поскольку они моделируют многие гравитационные явления, такие как вращающиеся черные дыры и расширяющаяся Вселенная . Дальнейшее упрощение достигается при аппроксимации пространства-времени как имеющего лишь небольшие отклонения от плоского пространства-времени , что приводит к линеаризованному EFE . Эти уравнения используются для изучения таких явлений, как гравитационные волны .

Математическая форма [ править ]

Уравнения поля Эйнштейна (УЭЭ) можно записать в виде: ^[5]^[1]

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }

где $G_{\mu \nu }$ – тензор Эйнштейна , $g_{\mu \nu }$ – метрический тензор , $T_{\mu \nu }$ – тензор энергии-импульса , $\Lambda$ космологическая постоянная и $\kappa$ гравитационная постоянная Эйнштейна.

Тензор Эйнштейна определяется как

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },

где $R_{\mu \nu }$ – тензор кривизны Риччи , $R$ скалярная кривизна . Это симметричный тензор второй степени, зависящий только от метрического тензора и его первой и второй производных.

определяется Гравитационная постоянная Эйнштейна как ^[6]^[7]

\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665(5)\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},

или

{\textrm {m/J}},

где $G$ — гравитационная постоянная Ньютона , а $c$ — скорость света в вакууме .

Таким образом, EFE также можно записать как

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.

В стандартных единицах измерения каждый термин слева имеет единицы измерения 1/длина. ².

Выражение слева представляет кривизну пространства-времени, определенную метрикой; выражение справа представляет собой содержание напряжения-энергии-импульса пространства-времени. Тогда EFE можно интерпретировать как набор уравнений, определяющих, как напряжение-энергия-импульс определяет кривизну пространства-времени.

Эти уравнения вместе с уравнением геодезических , ^[8] которая определяет, как свободно падающая материя движется в пространстве-времени, составляет ядро математической формулировки общей теории относительности .

EFE — это тензорное уравнение, связывающее набор симметричных тензоров 4 × 4 . Каждый тензор имеет 10 независимых компонент. Четыре тождества Бьянки уменьшают количество независимых уравнений с 10 до 6, оставляя метрику с четырьмя фиксирующими калибровку степенями свободы , которые соответствуют свободе выбора системы координат.

Хотя уравнения поля Эйнштейна изначально были сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их последствия в $n$ измерениях. ^[9] Уравнения в контекстах, выходящих за рамки общей теории относительности, до сих пор называются уравнениями поля Эйнштейна. Уравнения вакуумного поля (полученные, когда $T µν$ всюду равна нулю) определяют многообразия Эйнштейна .

Уравнения сложнее, чем кажутся. При заданном распределении вещества и энергии в виде тензора энергии-импульса под ЭФЭ понимаются уравнения для метрического тензора $g_{\mu \nu }$ , поскольку и тензор Риччи, и скалярная кривизна зависят от метрики сложным нелинейным образом. В полностью написанном виде EFE представляет собой систему десяти связанных нелинейных гиперболо-эллиптических уравнений в частных производных . ^[10]

Соглашение о подписании [ править ]

Вышеуказанная форма EFE является стандартом, установленным Миснером, Торном и Уилером (MTW). ^[11] Авторы проанализировали существующие конвенции и классифицировали их по трем признакам ([S1] [S2] [S3]):

{\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}

Третий знак выше связан с выбором соглашения для тензора Риччи:

R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }

Используя эти определения , Миснер, Торн и Уилер относят себя к $(+ + +)$ , тогда как Вайнберг (1972) ^[12] есть $(+ - -)$ , Пиблс (1980) ^[13] и Эфстатиу и др. (1990) ^[14] являются $(- + +)$ , Риндлер (1977), ^{[ нужна ссылка ]} Этуотер (1974), ^{[ нужна ссылка ]} Коллинз Мартин и Сквайрс (1989) ^[15] и Павлин (1999) ^[16] являются $(- + -)$ .

Авторы, в том числе Эйнштейн, использовали другой знак в своем определении тензора Риччи, в результате чего знак константы в правой части становится отрицательным:

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.

Знак космологического термина изменился бы в обеих этих версиях, если бы $(+ - - -),$ соглашение о метрических знаках использовалось $а не принятое здесь соглашение о знаках метрики MTW (- + + +)$ .

составы Эквивалентные

Проследив по метрике обеих сторон EFE, получим

R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,

где

D

— размерность пространства-времени. Решая

R

и подставляя его в исходный EFE, можно получить следующую эквивалентную форму с «обратной трассировкой»:

R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).

В $D = 4$ измерениях это сводится к

R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).

Повторное обращение трассировки восстановит исходный EFE. Форма с обращенным следом может быть более удобной в некоторых случаях (например, когда кто-то интересуется пределом слабого поля и может заменить $g_{\mu \nu }$ в выражении справа с метрикой Минковского без существенной потери точности).

Космологическая постоянная [ править ]

В уравнениях поля Эйнштейна

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,

термин, содержащий космологическую постоянную

Λ,

отсутствовал в версии, в которой он их первоначально опубликовал. Затем Эйнштейн включил этот термин в космологическую постоянную, чтобы учесть вселенную, которая не расширяется и не сжимается . Эта попытка не увенчалась успехом, потому что:

любое желаемое стационарное решение, описываемое этим уравнением, неустойчиво, и
наблюдения Эдвина Хаббла показали, что наша Вселенная расширяется .

Затем Эйнштейн отказался от $Λ$ , заметив Георгию Гамову , что «введение космологического термина было величайшей ошибкой в его жизни». ^[17]

Включение этого термина не создает противоречий. В течение многих лет космологическая постоянная почти повсеместно считалась равной нулю. Более поздние астрономические наблюдения показали ускоряющееся расширение Вселенной положительное значение $Λ .$ , и для объяснения этого необходимо ^[18]^[19] Космологическая постоянная незначительна в масштабе галактики или меньше.

Эйнштейн считал космологическую постоянную независимым параметром, но ее член в уравнении поля также можно алгебраически переместить в другую сторону и включить как часть тензора энергии-импульса:

T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.

Этот тензор описывает состояние вакуума с плотностью энергии $ρ vac$ и изотропным давлением $p vac$ , которые являются фиксированными константами и определяются выражением

\rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},

где предполагается, что

Λ

имеет единицу СИ m ⁻² и

κ

определяется, как указано выше.

Таким образом, существование космологической постоянной эквивалентно существованию энергии вакуума и давления противоположного знака. Это привело к тому, что термины «космологическая постоянная» и «энергия вакуума» стали взаимозаменяемыми в общей теории относительности.

Особенности [ править ]

Сохранение энергии и импульса [ править ]

Общая теория относительности согласуется с локальным сохранением энергии и импульса, выраженным как

\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.

Вывод локального закона сохранения энергии-импульса.

Стягивание дифференциального тождества Бьянки

R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0

с

г аб

дает, используя тот факт, что метрический тензор ковариантно постоянен, т. е.

g аб;γ = 0

,

{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0

Антисимметрия тензора Римана позволяет переписать второй член в приведенном выше выражении:

{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0

что эквивалентно

R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0

используя определение тензора Риччи .

Далее снова сжимаем метрику

g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0

получить

{R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0

Определения тензора кривизны Риччи и скалярной кривизны показывают, что

R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0

который можно переписать как

\left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0

Окончательное сокращение с $g Эд$ дает

\left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0

что в силу симметрии члена в квадратных скобках и определения тензора Эйнштейна дает после переобозначения индексов

{G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0

Используя EFE, это сразу дает:

\nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0

что выражает локальное сохранение энергии-напряжения. Этот закон сохранения является физическим требованием. С помощью своих уравнений поля Эйнштейн обеспечил соответствие общей теории относительности этому условию сохранения.

Нелинейность [ править ]

Нелинейность ЭФЭ отличает общую теорию относительности от многих других фундаментальных физических теорий. Например, Максвелла уравнения электромагнетизма , а линейны в электрическом и магнитном полях также в распределениях заряда и тока (т.е. сумма двух решений также является решением); Другой пример — Шредингера уравнение квантовой механики , линейное по волновой функции .

Принцип соответствия [ править ]

EFE сводится к закону гравитации Ньютона , используя как приближение слабого поля , так и приближение медленного движения . Фактически, константа $G,$ появляющаяся в EFE, определяется этими двумя приближениями.

Вывод закона гравитации Ньютона

Ньютоновскую гравитацию можно записать как теорию скалярного поля $Φ$ , которое представляет собой гравитационный потенциал гравитационного поля в джоулях на килограмм $g = -\nablaΦ$ , см. закон Гаусса для гравитации.

\nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)

где

ρ

— массовая плотность. Орбита свободно падающей частицы удовлетворяет

{\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.

В тензорной записи они становятся

{\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}

В общей теории относительности эти уравнения заменяются уравнениями поля Эйнштейна в форме с обращенным следом.

R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)

для некоторой константы

K

и уравнения геодезических

{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.

Чтобы увидеть, как последнее сводится к первому, предположим, что скорость пробной частицы примерно равна нулю.

{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)

и таким образом

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0

и что метрика и ее производные приблизительно статичны, а квадраты отклонений от метрики Минковского пренебрежимо малы. Применение этих упрощающих предположений к пространственным компонентам уравнения геодезических дает

{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}

где два фактора

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}dt / dτ

были разделены. Это приведет к его ньютоновскому аналогу при условии, что

\Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.

Наши предположения заставляют $α = i$ и производные по времени (0) равняться нулю. Таким образом, это упрощает

2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,

который удовлетворяется, позволяя

g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.

Обращаясь к уравнениям Эйнштейна, нам нужна только временная составляющая

R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)

предположения о низкой скорости и статическом поле подразумевают, что

T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.

Так

T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,

и таким образом

K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.

Из определения тензора Риччи

R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.

Наши упрощающие предположения приводят к исчезновению квадратов $Γ$ вместе с производными по времени

R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.

Объединив приведенные выше уравнения вместе

\Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}

что сводится к уравнению ньютоновского поля при условии

{\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,

что произойдет, если

K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.

Уравнения вакуумного поля [ править ]

Швейцарская памятная монета 1979 года с изображением уравнений вакуумного поля с нулевой космологической постоянной (вверху).

Если тензор энергии-импульса $T µν$ равен нулю в рассматриваемой области, то уравнения поля также называются уравнениями вакуумного поля . Установив $T µν = 0$ в уравнениях поля с обращенными следами , уравнения вакуумного поля, также известные как «вакуумные уравнения Эйнштейна» (EVE), можно записать как

R_{\mu \nu }=0\,.

В случае ненулевой космологической постоянной уравнения имеют вид

R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.

Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями . Плоское пространство Минковского — простейший пример вакуумного решения. Нетривиальные примеры включают решение Шварцшильда и решение Керра .

Многообразия с исчезающим тензором Риччи , $R µν = 0$ , называются Риччи-плоскими многообразиями , а многообразия с тензором Риччи, пропорциональным метрике, — многообразиями Эйнштейна .

Уравнения Эйнштейна–Максвелла [ править ]

Если тензор энергии-импульса $T µν$ является тензором электромагнитного поля в свободном пространстве , т.е. если тензор электромагнитного напряжения-энергии

T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)

используется, то уравнения поля Эйнштейна называются уравнениями Эйнштейна – Максвелла (с космологической постоянной

Λ

, принимаемой равной нулю в традиционной теории относительности):

G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).

Кроме того, ковариантные уравнения Максвелла применимы и в свободном пространстве:

{\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}}

где точка с запятой представляет ковариантную производную , а скобки обозначают антисимметризацию . Первое уравнение утверждает, что 4- дивергенция F 2-формы

равна

нулю, а второе — что ее внешняя производная равна нулю. Из последнего по лемме Пуанкаре следует , что в координатной карте можно ввести потенциал электромагнитного поля

A α

такой, что

F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }

в котором запятая обозначает частную производную. Это часто воспринимается как эквивалент ковариантного уравнения Максвелла, из которого оно выведено. ^[20] Однако существуют глобальные решения уравнения, которым может не хватать глобально определенного потенциала. ^[21]

Решения [ править ]

Решения уравнений поля Эйнштейна являются метриками пространства -времени . Эти метрики описывают структуру пространства-времени, включая инерционное движение объектов в пространстве-времени. Поскольку уравнения поля нелинейны, их не всегда можно решить полностью (т.е. без приближений). Например, не существует известного полного решения для пространства-времени с двумя массивными телами в нем (которым является, например, теоретическая модель двойной звездной системы). Однако в таких случаях обычно делаются приближения. Их обычно называют постньютоновскими приближениями . Несмотря на это, есть несколько случаев, когда уравнения поля были решены полностью, и они называются точными решениями . ^[9]

Исследование точных решений уравнений поля Эйнштейна — одно из направлений деятельности космологии . Это приводит к предсказанию черных дыр и к различным моделям эволюции Вселенной .

Можно также найти новые решения уравнений поля Эйнштейна с помощью метода ортонормированных систем отсчета, впервые предложенного Эллисом и МакКаллумом. ^[22] В этом подходе уравнения поля Эйнштейна сводятся к набору связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Как обсуждали Сюй и Уэйнрайт, ^[23] автомодельные решения уравнений поля Эйнштейна являются неподвижными точками результирующей динамической системы . С помощью этих методов ЛеБлан обнаружил новые решения. ^[24] и Кохли и Хаслам. ^[25]

Линеаризованный EFE [ править ]

Нелинейность EFE затрудняет поиск точных решений. Один из способов решения уравнений поля состоит в том, чтобы сделать приближение, а именно, что вдали от источника(ов) гравитирующей материи гравитационное поле очень слабое, а пространство-время приближается к пространству Минковского . Затем метрика записывается как сумма метрики Минковского и члена, представляющего отклонение истинной метрики от метрики Минковского , игнорируя члены более высокой степени. Эту процедуру линеаризации можно использовать для исследования явлений гравитационного излучения .

Полиномиальная форма [ править ]

Несмотря на то, что EFE в том виде, в котором он записан, содержит инверсию метрического тензора, их можно расположить в форме, которая содержит метрический тензор в полиномиальной форме и без его инверсии. Во-первых, определитель метрики в 4-х измерениях можно записать

\det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }

используя символ Леви-Чивита ; а обратную метрику в 4-х измерениях можно записать как:

g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.

Подстановка этого выражения обратной метрики в уравнения, а затем умножение обеих частей на подходящую степень $det(g),$ чтобы исключить его из знаменателя, приводит к полиномиальным уравнениям в метрическом тензоре и его первой и второй производных. Действие, из которого выводятся уравнения, также можно записать в полиномиальной форме путем подходящих переопределений полей. ^[26]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Эйнштейн, Альберт (1916). «Основы общей теории относительности» . Аннален дер Физик . 354 (7): 769. Бибкод : 1916АнП...354..769Е . дои : 10.1002/andp.19163540702 . Архивировано из оригинала ( PDF ) 6 февраля 2012 г.
^ Эйнштейн, Альберт (25 ноября 1915 г.). «Полевые уравнения гравитации» . Труды Прусской академии наук в Берлине : 844–847 . Проверено 21 августа 2017 г.
^ Миснер, Торн и Уиллер (1973) , стр. 916 [гл. 34].
^ Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия. Введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3 .
^ Грон, Эйвинд; Хервик, Сигбьорн (2007). Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 180. ИСБН 978-0-387-69200-5 .
^ При выборе гравитационной постоянной Эйнштейна, как указано здесь, $κ = 8 πG / c 4$ тензор энергии-импульса в правой части уравнения должен быть записан с каждым компонентом в единицах плотности энергии (т. е. энергии на объем, что эквивалентно давлению). В оригинальной публикации Эйнштейна выбор $κ = 8 πG / c. 2$ , и в этом случае компоненты тензора энергии-импульса имеют единицы массовой плотности.
^ Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-000423-4 . ОСЛК 1046135 .
^ Вайнберг, Стивен (1993). Мечты об окончательной теории: поиск фундаментальных законов природы . Винтаж Пресс. стр. 107, 233. ISBN. 0-09-922391-0 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Стефани, Ганс; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс, К.; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7 .
^ Рендалл, Алан Д. (2005). «Теоремы существования и глобальной динамики для уравнений Эйнштейна» . Живой преподобный Относительный . 8 (1). Номер статьи: 6. arXiv : gr-qc/0505133 . Бибкод : 2005LRR.....8....6R . дои : 10.12942/lrr-2005-6 . ПМК 5256071 . ПМИД 28179868 .
^ Миснер, Торн и Уилер (1973) , с. 501 и далее.
^ Вайнберг (1972) .
^ Пиблс, Филип Джеймс Эдвин (1980). Крупномасштабная структура Вселенной . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08239-1 .
^ Эфстатиу, Г.; Сазерленд, штат Вашингтон; Мэддокс, SJ (1990). «Космологическая постоянная и холодная темная материя». Природа . 348 (6303): 705. Бибкод : 1990Natur.348..705E . дои : 10.1038/348705a0 . S2CID 12988317 .
^ Коллинз, PDB; Мартин, AD; Сквайрс, Э.Дж. (1989). Физика элементарных частиц и космология . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-60088-1 .
^ Павлин (1999) .
^ Гамов, Георгий (28 апреля 1970 г.). Моя мировая линия: неформальная автобиография . Викинг взрослый . ISBN 0-670-50376-2 . Проверено 14 марта 2007 г.
^ Валь, Николь (22 ноября 2005 г.). «Была ли «самая большая ошибка» Эйнштейна звездным успехом?» . Новости@УофТ . Университет Торонто. Архивировано из оригинала 7 марта 2007 г.
^ Тернер, Майкл С. (май 2001 г.). «Осмысление новой космологии». Межд. Дж. Мод. Физ. А. 17 (С1): 180–196. arXiv : astro-ph/0202008 . Бибкод : 2002IJMPA..17S.180T . дои : 10.1142/S0217751X02013113 . S2CID 16669258 .
^ Браун, Харви (2005). Физическая относительность . Издательство Оксфордского университета. п. 164. ИСБН 978-0-19-927583-0 .
^ Траутман, Анджей (1977). «Решения уравнений Максвелла и Янга – Миллса, связанные с расслоениями Хопфа». Международный журнал теоретической физики . 16 (9): 561–565. Бибкод : 1977IJTP...16..561T . дои : 10.1007/BF01811088 . S2CID 123364248 . .
^ Эллис, СКФ; МакКаллум, М. (1969). «Класс однородных космологических моделей» . Комм. Математика. Физ . 12 (2): 108–141. Бибкод : 1969CMaPh..12..108E . дои : 10.1007/BF01645908 . S2CID 122577276 .
^ Сюй, Л.; Уэйнрайт, Дж (1986). «Самоподобные пространственно-однородные космологии: ортогональные идеальные жидкости и вакуумные решения». Сорт. Квантовая гравитация . 3 (6): 1105–1124. Бибкод : 1986CQGra...3.1105H . дои : 10.1088/0264-9381/3/6/011 . S2CID 250907312 .
^ ЛеБлан, В.Г. (1997). «Асимптотические состояния магнитных космологий Бьянки I». Сорт. Квантовая гравитация . 14 (8): 2281. Бибкод : 1997CQGra..14.2281L . дои : 10.1088/0264-9381/14/8/025 . S2CID 250876974 .
^ Кохли, Икджьот Сингх; Хаслам, Майкл К. (2013). «Динамический системный подход к вязкой магнитогидродинамической модели Бьянки типа I». Физ. Преподобный Д. 88 (6): 063518. arXiv : 1304.8042 . Бибкод : 2013PhRvD..88f3518K . дои : 10.1103/physrevd.88.063518 . S2CID 119178273 .
^ Катанаев, МО (2006). «Полиномиальная форма действия Гильберта – Эйнштейна». Генерал Отл. Грав . 38 (8): 1233–1240. arXiv : gr-qc/0507026 . Бибкод : 2006GReGr..38.1233K . дои : 10.1007/s10714-006-0310-5 . S2CID 6263993 .

Ссылки [ править ]

См. ресурсы по общей теории относительности .

Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0 .
Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-92567-5 .
Пикок, Джон А. (1999). Космологическая физика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521410724 .

Внешние ссылки [ править ]

«Уравнения Эйнштейна» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Учебное пособие Калифорнийского технологического института по теории относительности — простое введение в уравнения поля Эйнштейна.
Значение уравнения Эйнштейна . Объяснение уравнения поля Эйнштейна, его вывода и некоторых его последствий.
Видеолекция профессора физики Массачусетского технологического института Эдмунда Бертшингера об уравнениях поля Эйнштейна .
Арка и эшафот: как Эйнштейн нашел свои уравнения поля. Физика сегодня, ноябрь 2015 г., История развития уравнений поля

Внешние изображения [ править ]

Уравнение поля Эйнштейна на стене музея Бурхааве в центре Лейдена.
Сюзанна Имбер , «Воздействие общей теории относительности на пустыню Атакама» , уравнение поля Эйнштейна на борту поезда в Боливии.

[ein-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Эйнштейн, Альберт (1916). «Основы общей теории относительности» . Аннален дер Физик . 354 (7): 769. Бибкод : 1916АнП...354..769Е . дои : 10.1002/andp.19163540702 . Архивировано из оригинала ( PDF ) 6 февраля 2012 г.

[Ein1915-2] Эйнштейн, Альберт (25 ноября 1915 г.). «Полевые уравнения гравитации» . Труды Прусской академии наук в Берлине : 844–847 . Проверено 21 августа 2017 г.

[FOOTNOTEMisnerThorneWheeler1973916_[ch._34]-3] Миснер, Торн и Уиллер (1973) , стр. 916 [гл. 34].

[Carroll-4] Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия. Введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3 .

[5] Грон, Эйвинд; Хервик, Сигбьорн (2007). Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 180. ИСБН 978-0-387-69200-5 .

[6] При выборе гравитационной постоянной Эйнштейна, как указано здесь, $κ = 8 πG / c 4$ тензор энергии-импульса в правой части уравнения должен быть записан с каждым компонентом в единицах плотности энергии (т. е. энергии на объем, что эквивалентно давлению). В оригинальной публикации Эйнштейна выбор $κ = 8 πG / c. 2$ , и в этом случае компоненты тензора энергии-импульса имеют единицы массовой плотности.

[7] Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-000423-4 . ОСЛК 1046135 .

[SW1993-8] Вайнберг, Стивен (1993). Мечты об окончательной теории: поиск фундаментальных законов природы . Винтаж Пресс. стр. 107, 233. ISBN. 0-09-922391-0 .

[Stephani_et_al-9] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Стефани, Ганс; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс, К.; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7 .

[10] Рендалл, Алан Д. (2005). «Теоремы существования и глобальной динамики для уравнений Эйнштейна» . Живой преподобный Относительный . 8 (1). Номер статьи: 6. arXiv : gr-qc/0505133 . Бибкод : 2005LRR.....8....6R . дои : 10.12942/lrr-2005-6 . ПМК 5256071 . ПМИД 28179868 .

[FOOTNOTEMisnerThorneWheeler1973501ff-11] Миснер, Торн и Уилер (1973) , с. 501 и далее.

[FOOTNOTEWeinberg1972-12] Вайнберг (1972) .

[13] Пиблс, Филип Джеймс Эдвин (1980). Крупномасштабная структура Вселенной . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08239-1 .

[14] Эфстатиу, Г.; Сазерленд, штат Вашингтон; Мэддокс, SJ (1990). «Космологическая постоянная и холодная темная материя». Природа . 348 (6303): 705. Бибкод : 1990Natur.348..705E . дои : 10.1038/348705a0 . S2CID 12988317 .

[15] Коллинз, PDB; Мартин, AD; Сквайрс, Э.Дж. (1989). Физика элементарных частиц и космология . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-60088-1 .

[FOOTNOTEPeacock1999-16] Павлин (1999) .

[gamow-17] Гамов, Георгий (28 апреля 1970 г.). Моя мировая линия: неформальная автобиография . Викинг взрослый . ISBN 0-670-50376-2 . Проверено 14 марта 2007 г.

[wahl-18] Валь, Николь (22 ноября 2005 г.). «Была ли «самая большая ошибка» Эйнштейна звездным успехом?» . Новости@УофТ . Университет Торонто. Архивировано из оригинала 7 марта 2007 г.

[turner-19] Тернер, Майкл С. (май 2001 г.). «Осмысление новой космологии». Межд. Дж. Мод. Физ. А. 17 (С1): 180–196. arXiv : astro-ph/0202008 . Бибкод : 2002IJMPA..17S.180T . дои : 10.1142/S0217751X02013113 . S2CID 16669258 .

[20] Браун, Харви (2005). Физическая относительность . Издательство Оксфордского университета. п. 164. ИСБН 978-0-19-927583-0 .

[21] Траутман, Анджей (1977). «Решения уравнений Максвелла и Янга – Миллса, связанные с расслоениями Хопфа». Международный журнал теоретической физики . 16 (9): 561–565. Бибкод : 1977IJTP...16..561T . дои : 10.1007/BF01811088 . S2CID 123364248 . .

[22] Эллис, СКФ; МакКаллум, М. (1969). «Класс однородных космологических моделей» . Комм. Математика. Физ . 12 (2): 108–141. Бибкод : 1969CMaPh..12..108E . дои : 10.1007/BF01645908 . S2CID 122577276 .

[23] Сюй, Л.; Уэйнрайт, Дж (1986). «Самоподобные пространственно-однородные космологии: ортогональные идеальные жидкости и вакуумные решения». Сорт. Квантовая гравитация . 3 (6): 1105–1124. Бибкод : 1986CQGra...3.1105H . дои : 10.1088/0264-9381/3/6/011 . S2CID 250907312 .

[24] ЛеБлан, В.Г. (1997). «Асимптотические состояния магнитных космологий Бьянки I». Сорт. Квантовая гравитация . 14 (8): 2281. Бибкод : 1997CQGra..14.2281L . дои : 10.1088/0264-9381/14/8/025 . S2CID 250876974 .

[25] Кохли, Икджьот Сингх; Хаслам, Майкл К. (2013). «Динамический системный подход к вязкой магнитогидродинамической модели Бьянки типа I». Физ. Преподобный Д. 88 (6): 063518. arXiv : 1304.8042 . Бибкод : 2013PhRvD..88f3518K . дои : 10.1103/physrevd.88.063518 . S2CID 119178273 .

[26] Катанаев, МО (2006). «Полиномиальная форма действия Гильберта – Эйнштейна». Генерал Отл. Грав . 38 (8): 1233–1240. arXiv : gr-qc/0507026 . Бибкод : 2006GReGr..38.1233K . дои : 10.1007/s10714-006-0310-5 . S2CID 6263993 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

v т и Альберт Эйнштейн
Physics	Theory of relativity Special relativity General relativity Mass–energy equivalence (E=mc²) Brownian motion Photoelectric effect Einstein coefficients Einstein solid Equivalence principle Einstein field equations Einstein radius Einstein relation (kinetic theory) Cosmological constant Bose–Einstein condensate Bose–Einstein statistics Bose–Einstein correlations Einstein–Cartan theory Einstein–Infeld–Hoffmann equations Einstein–de Haas effect EPR paradox Bohr–Einstein debates Teleparallelism Thought experiments Unsuccessful investigations Wave–particle duality Gravitational wave Tea leaf paradox
Works	Annus mirabilis papers (1905) "Investigations on the Theory of Brownian Movement" (1905) Relativity: The Special and the General Theory (1916) The Meaning of Relativity (1922) The World as I See It (1934) The Evolution of Physics (1938) "Why Socialism?" (1949) Russell–Einstein Manifesto (1955)
In popular culture	Die Grundlagen der Einsteinschen Relativitäts-Theorie (1922 documentary) The Einstein Theory of Relativity (1923 documentary) Relics: Einstein's Brain (1994 documentary) Insignificance (1985 film) Picasso at the Lapin Agile (1993 play) I.Q. (1994 film) Einstein's Gift (2003 play) Einstein and Eddington (2008 TV film) Genius (2017 series) Oppenheimer (2023 film)
Prizes	Albert Einstein Award Albert Einstein Medal Kalinga Prize Albert Einstein Peace Prize Albert Einstein World Award of Science Einstein Prize for Laser Science Einstein Prize (APS)
Books about Einstein	Albert Einstein: Creator and Rebel Einstein and Religion Einstein for Beginners Einstein: His Life and Universe Einstein's Cosmos I Am Albert Einstein Introducing Relativity Subtle is the Lord
Family	Mileva Marić (first wife) Elsa Einstein (second wife; cousin) Lieserl Einstein (daughter) Hans Albert Einstein (son) Pauline Koch (mother) Hermann Einstein (father) Maja Einstein (sister) Eduard Einstein (son) Robert Einstein (cousin) Bernhard Caesar Einstein (grandson) Evelyn Einstein (granddaughter) Thomas Martin Einstein (great-grandson) Siegbert Einstein (distant cousin)
Related	Awards and honors Brain House Memorial Political views Religious views Things named after Albert Einstein Archives Einstein's Blackboard Einstein Papers Project Einstein refrigerator Einsteinhaus Einsteinium Max Talmey
Category