Конформастатическое пространство-время

Конформастатические пространства-времени относятся к особому классу статических решений уравнения Эйнштейна в общей теории относительности .

Введение

Линейный элемент конформастатического класса решений в канонических координатах Вейля имеет вид
$(1)\qquad ds^{2}=-e^{2\Psi (\rho ,\phi ,z)}dt^{2}+e^{-2\Psi (\rho ,\phi ,z)}{\Big (}d\rho ^{2}+dz^{2}+\rho ^{2}d\phi ^{2}{\Big )}\;,$
как решение уравнения поля
$(2)\qquad R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=8\pi T_{ab}\;.$
Уравнение (1) имеет только одну метрическую функцию $\Psi (\rho ,\phi ,z)$ необходимо определить, и для каждого конкретного $\Psi (\rho ,\phi ,z)$, уравнение (1) даст определенное конформастатическое пространство-время.

Приведенные уравнения электровакуумного поля

В соответствии с конформастатической геометрией (1), электростатическое поле будет возникать из электростатического потенциала $A_{a}$ без пространственной симметрии:
$(3)\qquad A_{a}=\Phi (\rho ,z,\phi )[dt]_{a}\;,$
что дало бы тензор электромагнитного поля $F_{ab}$ к
$(4)\qquad F_{ab}=A_{b\,;a}-A_{a\,;b}\;,$
а также соответствующий тензор энергии- импульса
$(5)\qquad T_{ab}^{(EM)}={\frac {1}{4\pi }}{\Big (}F_{ac}F_{b}^{\;\;c}-{\frac {1}{4}}g_{ab}F_{cd}F^{cd}{\Big )}\;.$

Подставьте уравнения (1) и уравнения (3) (4) (5) в «бесследовое» (R = 0) уравнение поля Эйнштейна , и можно получить сокращенные уравнения поля для метрической функции. $\Psi (\rho ,\phi ,z)$:

$(6)\qquad \nabla ^{2}\Psi \,=\,e^{-2\Psi }\,\nabla \Phi \,\nabla \Phi$
$(7)\qquad \Psi _{i}\Psi _{j}=e^{-2\Psi }\Phi _{i}\Phi _{j}$

где $\nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\partial _{\phi \phi }+\partial _{zz}$ и $\nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\phi }\,{\hat {e}}_{\phi }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}$ являются соответственно общими операторами Лапласа и градиента . в уравнении (7), $i\,,j$ свободно бегать по координатам $[\rho ,z,\phi ]$.

Примеры

Экстремальное пространство-время Рейсснера – Нордстрема

Экстремальное пространство-время Рейсснера–Нордстрема является типичным конформатическим решением. В этом случае метрическая функция определяется как

$(8)\qquad \Psi _{ERN}\,=\,\ln {\frac {L}{L+M}}\;,\quad L={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\;,$

что придало уравнению (1) конкретную форму

$(9)\qquad ds^{2}=-{\frac {L^{2}}{(L+M)^{2}}}dt^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{L^{2}}}\,{\big (}d\rho ^{2}+dz^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}{\big )}\;.$

Применение преобразований

$(10)\;\;\quad L=r-M\;,\quad z=(r-M)\cos \theta \;,\quad \rho =(r-M)\sin \theta \;,$

получаем обычный вид линейного элемента экстремального решения Рейсснера–Нордстрема:

$(11)\;\;\quad ds^{2}=-{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}dt^{2}+{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{-2}dr^{2}+r^{2}{\Big (}d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}{\Big )}\;.$

Заряженные пылевые диски

Для описания заряженных пылевых дисков были приняты некоторые конформастатические решения.

Сравнение с пространством-временем Вейля

Многие решения, такие как экстремальное решение Рейсснера–Нордстрема, обсуждавшееся выше, можно рассматривать либо как конформастатическую метрику, либо как метрику Вейля , поэтому было бы полезно провести сравнение между ними. Пространство-время Вейля относится к статическому, осесимметричному классу решений уравнения Эйнштейна, линейный элемент которого принимает следующую форму (все еще в канонических координатах Вейля):
$(12)\;\;\quad ds^{2}=-e^{2\psi (\rho ,z)}dt^{2}+e^{2\gamma (\rho ,z)-2\psi (\rho ,z)}(d\rho ^{2}+dz^{2})+e^{-2\psi (\rho ,z)}\rho ^{2}d\phi ^{2}\,.$
Следовательно, решение Вейля становится конформастатическим, если метрическая функция $\gamma (\rho ,z)$ обращается в нуль, а другая метрическая функция $\psi (\rho ,z)$ теряет осевую симметрию:
$(13)\;\;\quad \gamma (\rho ,z)\equiv 0\;,\quad \psi (\rho ,z)\mapsto \Psi (\rho ,\phi ,z)\,.$
Уравнения электровакуумного поля Вейля сводятся к следующим: $\gamma (\rho ,z)$:

$(14.a)\quad \nabla ^{2}\psi =\,(\nabla \psi )^{2}$
$(14.b)\quad \nabla ^{2}\psi =\,e^{-2\psi }(\nabla \Phi )^{2}$
$(14.c)\quad \psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}=e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}-\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}$
$(14.d)\quad 2\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}=2e^{-2\psi }\Phi _{,\,\rho }\Phi _{,\,z}$
$(14.e)\quad \nabla ^{2}\Phi =\,2\nabla \psi \nabla \Phi \,,$

где $\nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+\partial _{zz}$ и $\nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}$ — соответственно приведенные цилиндрически-симметричные операторы Лапласа и градиента.

Также заметно, что уравнения (14) для Вейля согласуются, но не идентичны конформастатическим уравнениям (6) (7), приведенным выше.

См. также

• Метрики Вейля
• Метрика Рейсснера – Нордстрема