Диаграмма пространства-времени

Мировая линия (желтый путь) фотона , который находится в точке x = 0 в момент времени ct = 0.

Диаграмма пространства-времени — это графическая иллюстрация мест в пространстве в разное время, особенно в специальной теории относительности . Диаграммы пространства-времени могут показать геометрию, лежащую в основе таких явлений, как замедление времени и сокращение длины, без математических уравнений.

История местоположения объекта во времени прослеживает линию или кривую на диаграмме пространства-времени, называемую мировой линией объекта . Каждая точка на пространственно-временной диаграмме представляет собой уникальное положение в пространстве и времени и называется событием .

Самый известный класс пространственно-временных диаграмм известен как диаграммы Минковского , разработанные Германом Минковским в 1908 году. Диаграммы Минковского представляют собой двумерные графики, которые изображают события, происходящие во вселенной , состоящей из одного измерения пространства и одного измерения времени. В отличие от обычного графика «расстояние-время», расстояние отображается по горизонтальной оси, а время — по вертикальной оси. времени и пространства Кроме того, единицы измерения выбраны таким образом, что объект, движущийся со скоростью света, изображается следующим под углом 45° к осям диаграммы.

Введение в кинетические диаграммы

Графики зависимости позиции от времени

Рис 1-1. График зависимости позиции от времени

При изучении одномерной кинематики графики зависимости положения от времени (сокращенно называемые графиками xt) предоставляют полезные средства для описания движения. Кинематические особенности, помимо положения объекта, видны по наклону и форме линий. На рис. 1-1 построенный объект удаляется от начала координат с постоянной положительной скоростью (1,66 м/с) в течение 6 секунд, останавливается на 5 секунд, затем возвращается в начало координат в течение 7 секунд с непостоянной скоростью. скорость (но отрицательная скорость).

На самом базовом уровне пространственно-временная диаграмма представляет собой просто график зависимости времени от положения, в котором направления осей обычного pt-графика поменяны местами; то есть вертикальная ось относится к временным, а горизонтальная ось — к значениям пространственных координат. Временные оси диаграммы пространства-времени, особенно при использовании в специальной теории относительности (СТО), часто масштабируются со скоростью света c и поэтому часто обозначаются ct. Это изменяет размерность адресуемой физической величины с < Время > на < Длина > в соответствии с размером, связанным с пространственной осью, которая часто обозначается х.

Стандартная конфигурация систем отсчета

Рис 1-2. Диаграмма Галилея двух систем отсчета в стандартной конфигурации.

Чтобы облегчить понимание того, как координаты пространства-времени, измеренные наблюдателями в разных системах отсчета , сравниваются друг с другом, полезно стандартизировать и упростить настройку. Две системы отсчета Галилея (т. е. обычные трехмерные системы координат), S и S '(произносится как «S prime»), каждая из которых имеет наблюдателей O и O ', покоящихся в своих соответствующих системах отсчета, но измеряющих другую как движущуюся со скоростями ± v. Говорят, что они находятся в стандартной конфигурации , когда:

• Оси x , y , z кадра S ориентированы параллельно соответствующим осям со штрихом кадра S'.
• Начало кадров S и S' совпадает в момент времени t = 0 в кадре S, а также в момент t ' = 0 в кадре S'.
• Кадр S 'движется в направлении x кадра S со скоростью v , измеренной в кадре S.

Эта пространственная настройка показана на рисунке 1-2, на котором временные координаты отдельно обозначены как величины t и t' .

На следующем этапе упрощения часто бывает достаточно рассмотреть только направление наблюдаемого движения и игнорировать два других пространственных компонента, что позволяет отобразить x и ct на двумерных диаграммах пространства-времени, как было представлено выше.

Нерелятивистские «диаграммы пространства

Рис. 1-3. В ньютоновской физике для обоих наблюдателей событие в точке А приписывается одному и тому же моменту времени.

Черные оси, обозначенные x и ct на рис. 1-3, представляют собой систему координат наблюдателя, находящегося в состоянии покоя и находящегося в точке x = 0 . Мировая линия этого наблюдателя идентична оси времени ct . Каждая линия, параллельная этой оси, также будет соответствовать объекту, находящемуся в состоянии покоя, но в другом положении. Синяя линия описывает объект, движущийся с постоянной скоростью v вправо, например движущийся наблюдатель.

Эту синюю линию, обозначенную ct ′, можно интерпретировать как ось времени для второго наблюдателя. Вместе с осью x , одинаковой для обоих наблюдателей, она представляет их систему координат. Поскольку системы отсчета имеют стандартную конфигурацию, оба наблюдателя договариваются о местонахождении начала своих систем координат. Оси движущегося наблюдателя не перпендикулярны друг другу, а шкала на их оси времени растянута. Для определения координат определенного события необходимо построить две линии, каждая из которых параллельна одной из двух осей, проходящих через событие, и считать их пересечения с осями.

Определение положения и времени события А в качестве примера на диаграмме приводит, как и ожидалось, к одинаковому времени для обоих наблюдателей. Только для позиции получаются разные значения, потому что движущийся наблюдатель приблизился к позиции события A с момента t = 0 . Вообще говоря, все события на линии, параллельной оси x , происходят одновременно для обоих наблюдателей. Существует только одно универсальное время t = t ′ , моделирующее существование одной общей оси положения. С другой стороны, из-за двух разных временных осей наблюдатели обычно измеряют разные координаты одного и того же события. Этот графический перевод от x и t к x ' и t ' и наоборот математически описывается так называемым преобразованием Галилея .

Диаграммы Минковского

Обзор

Рис. 2-1. В теории относительности каждый наблюдатель относит событие в точке А к разному времени и месту.

Рис. 2-2. Диаграмма Минковского для различных скоростей грунтованной рамы, движущейся относительно незагрунтованной рамы. Пунктирные линии представляют собой световой конус вспышки света в начале координат.

Термин «диаграмма Минковского» относится к особой форме диаграммы пространства-времени, часто используемой в специальной теории относительности. Диаграмма Минковского — это двумерное графическое изображение части пространства Минковского , обычно там, где пространство сведено до одного измерения. Единицы измерения на этих диаграммах выбраны такими, что световой конус в момент события состоит из линий наклона плюс-минус один, проходящих через это событие. Горизонтальные линии соответствуют обычному представлению об одновременных событиях для неподвижного наблюдателя в начале координат.

Конкретная диаграмма Минковского иллюстрирует результат преобразования Лоренца . Преобразование Лоренца связывает две инерциальные системы отсчета , в которых наблюдатель , неподвижный в момент события (0, 0), производит изменение скорости вдоль оси x . Как показано на рисунке 2-1, новая ось времени наблюдателя образует угол α с предыдущей осью времени, причем α < π / 4 . В новой системе отсчета одновременные события лежат параллельно линии, наклоненной на α к предыдущим линиям одновременности. Это новая X. ось И исходный набор осей, и набор осей со штрихом обладают тем свойством, что они ортогональны относительно скалярного произведения Минковского или релятивистского скалярного произведения .

Какой бы ни была величина α , линия ct = x образует универсальную биссектриса , как показано на рис. 2-2.

Часто встречаются диаграммы Минковского, в которых единицы измерения времени масштабируются с коэффициентом c , так что одна единица x равна одной единице t . Такая диаграмма может иметь единицы

• Длина примерно 30 сантиметров и наносекунды
• Астрономические единицы и интервалы около 8 минут 19 секунд (499 секунд).
• Световые годы и годы
• Свет-секунда и секунда

При этом пути света изображаются линиями, параллельными биссектрисе между осями.

Математические детали

Рис. 2-3. Различные масштабы по осям.

Угол α между осями x и x ′ будет идентичен углу между осями времени ct и ct ′ . Это следует из второго постулата специальной теории относительности, который гласит, что скорость света одинакова для всех наблюдателей независимо от их относительного движения (см. ниже). Угол α определяется выражением

$\tan \alpha ={\frac {v}{c}}=\beta .$

Соответствующее повышение от x и t до x ' и t ' и наоборот математически описывается преобразованием Лоренца , которое можно записать

${\begin{aligned}ct'&=\gamma (ct-\beta x),\\x'&=\gamma (x-\beta ct)\\\end{aligned}}$

где ${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$является фактором Лоренца . Применяя преобразование Лоренца, оси пространства-времени, полученные для усиленного кадра, всегда будут соответствовать сопряженным диаметрам пары гипербол .

Как показано на рис. 2-3, усиленные и неусиленные оси пространства-времени, как правило, будут иметь неравную единичную длину. Если U — единичная длина по осям ct и x соответственно, единичная длина по осям ct ′ и x ′ равна:

$U'=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}\,.$

Ось ct представляет мировую линию часов, находящихся в S , где U представляет продолжительность между двумя событиями, происходящими на этой мировой линии, также называемую собственным временем между этими событиями. Длина U по оси X представляет собой длину покоя или правильную длину стержня, лежащего в S . Та же интерпретация может быть применена и к расстоянию U ′ по осям ct ′ и x ′ для часов и стержней, покоящихся в S ′ .

История

Световой конус и гиперболы Минковского (1908 г.)

Альберт Эйнштейн объявил свою специальную теорию относительности в 1905 году. с Германом Минковским, предоставившим его графическое изображение в 1908 году.

В статье Минковского 1908 года было три диаграммы: сначала для иллюстрации преобразования Лоренца, затем для разделения плоскости световым конусом и, наконец, для иллюстрации мировых линий. В первой диаграмме использовалась ветвь единичной гиперболы. $t^{2}-x^{2}=1$чтобы показать местонахождение единицы собственного времени в зависимости от скорости, тем самым иллюстрируя замедление времени. На второй диаграмме показана сопряженная гипербола для калибровки пространства, где подобное растяжение оставляет впечатление сжатия Фитцджеральда . В 1914 году Людвик Зильберштейн. включил диаграмму «представления Минковского преобразования Лоренца». Эта диаграмма включала единичную гиперболу, ее сопряженную и пару сопряженных диаметров . С 1960-х годов версия этой более полной конфигурации называлась Диаграммой Минковского и использовалась в качестве стандартной иллюстрации геометрии преобразований специальной теории относительности. Э. Т. Уиттакер указал, что принцип относительности равносилен произвольности выбора радиуса гиперболы для времени в диаграмме Минковского. В 1912 году Гилберт Н. Льюис и Эдвин Б. Уилсон применили методы синтетической геометрии для развития свойств неевклидовой плоскости, имеющей диаграммы Минковского.

Когда Тейлор и Уилер написали «Физику пространства-времени» (1966), они не использовали термин « диаграмма Минковского» для обозначения своей геометрии пространства-времени. Вместо этого они включали признание вклада Минковского в философию во всей совокупности его нововведений 1908 года.

Диаграммы Леделя

В то время как неподвижная система координат на диаграмме Минковского имеет ортогональные оси пространства-времени, система координат, движущаяся относительно покоящейся системы координат на диаграмме Минковского, имеет оси пространства-времени, образующие острый угол. Эта асимметрия диаграмм Минковского может вводить в заблуждение, поскольку специальная теория относительности постулирует, что любые две инерциальные системы отсчета должны быть физически эквивалентны. Диаграмма Леделя — это альтернативная диаграмма пространства-времени, которая делает симметрию инерциальных систем отсчета гораздо более очевидной.

Формулировка через медианную структуру

Рис. 3-1: Вид в средней рамке

Рис. 3-2: Симметричная диаграмма

Некоторые авторы показали, что между покоящимися и движущимися телами существует система отсчета, в которой их симметрия была бы очевидна («срединная система отсчета»). В этом кадре два других кадра движутся в противоположных направлениях с одинаковой скоростью. Использование таких координат делает единицы длины и времени одинаковыми для обеих осей. Если β = в / к и ${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ даны между $S$ и $S^{\prime }$, то эти выражения связаны со значениями в их медианной системе координат S ₀ следующим образом:

${\begin{aligned}&(1)&\beta &={\frac {2\beta _{0}}{1+{\beta _{0}}^{2}}},\\[3pt]&(2)&\beta _{0}&={\frac {\gamma -1}{\beta \gamma }}.\end{aligned}}$

Например, если β = 0,5 между $S$ и $S^{\prime }$, то согласно (2) они движутся в своей медианной системе отсчета S ₀ примерно с ±0,268 c каждый в противоположных направлениях. С другой стороны, если β ₀ = 0,5 в S ₀ , то согласно (1) относительная скорость между $S$ и $S^{\prime }$в собственных рамках покоя составляет 0,8 с . Построение осей $S$ и $S^{\prime }$ осуществляется в соответствии с обычным методом с использованием tan α = β ₀ относительно ортогональных осей медианного кадра (рис. 3-1).

Однако оказывается, что при рисовании такой симметричной диаграммы можно вывести отношения диаграммы, даже не упоминая медианную систему отсчета и β ₀ вообще. Вместо этого относительная скорость β = в / к между $S$ и $S^{\prime }$ может быть непосредственно использован в следующей конструкции, обеспечивая тот же результат:

Если φ — это угол между осями ct ′ и ct (или между x и x ′ ), а θ между осями x ′ и ct ′ , он равен:

${\begin{aligned}\sin \varphi =\cos \theta &=\beta ,\\\cos \varphi =\sin \theta &={\frac {1}{\gamma }},\\\tan \varphi =\cot \theta &=\beta \gamma .\end{aligned}}$

Из рис. 3-2 очевидны два метода построения: ось x проводится перпендикулярно оси ct ′ , оси x ′ и ct складываются под углом φ ; и ось x ' нарисована под углом θ относительно оси ct ' , ось x добавляется перпендикулярно оси ct ' , а ось ct перпендикулярна оси x ' .

В диаграмме Минковского длины на странице нельзя напрямую сравнивать друг с другом из-за коэффициента деформации между единицами длины осей в диаграмме Минковского. В частности, если $U$ и $U^{\prime }$ - это единичные длины осей покоящейся и движущейся кадров соответственно на диаграмме Минковского, тогда две единичные длины деформируются относительно друг друга по формуле:

$U^{\prime }=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}$

Напротив, в симметричной диаграмме Леделя как $S$ и $S^{\prime }$оси кадра искривлены с одинаковым коэффициентом относительно медианного кадра и, следовательно, имеют одинаковую длину единицы. Это означает, что для пространственно-временной диаграммы Лёделя мы можем напрямую сравнивать длины пространства-времени между различными кадрами, когда они появляются на странице; масштабирование/преобразование единиц длины между кадрами не требуется из-за симметричного характера диаграммы Лёделя.

История

• Макс Борн (1920) нарисовал диаграммы Минковского, поместив ось ct ′ почти перпендикулярно оси x , а также ось ct к оси x ′ , чтобы продемонстрировать сокращение длины и замедление времени в симметричном случае. двух стержней и двух часов, движущихся в противоположном направлении.
• Дмитрий Мириманов (1921) показал, что всегда существует медианная система отсчета по отношению к двум относительно движущимся системам, и вывел отношения между ними на основе преобразования Лоренца. Однако он не дал графического представления в виде диаграммы.
• Симметричные диаграммы систематически разрабатывались Полом Грюнером в сотрудничестве с Йозефом Заутером в двух статьях в 1921 году. Они продемонстрировали релятивистские эффекты, такие как сокращение длины и замедление времени, а также некоторые связи с ковариантными и контравариантными векторами. Грюнер расширил этот метод в последующих статьях (1922–1924), а также отдал должное лечению Мириманова.
• Построение симметричных диаграмм Минковского позже было независимо переоткрыто несколькими авторами. Например, начиная с 1948 года Энрике Ледель Палумбо опубликовал серию статей на испанском языке, в которых подробно описывался такой подход. В 1955 году Анри Амар также опубликовал статью, описывающую такие отношения, и отдал должное Леделю в последующей статье 1957 года. Некоторые авторы учебников используют симметричные диаграммы Минковского, обозначая их как диаграммы Лёделя .

Релятивистские явления в диаграммах

Замедление времени

Рис. 4-1. Релятивистское замедление времени, изображенное на двух диаграммах пространства-времени Лёделя. Оба наблюдателя считают, что часы другого идут медленнее.

Рис. 4-2. Релятивистское замедление времени, изображенное на одной диаграмме пространства-времени Лёделя. Оба наблюдателя считают, что часы другого идут медленнее.

Релятивистское замедление времени относится к тому факту, что часы (показывающие свое собственное время в системе покоя), которые движутся относительно наблюдателя, идут медленнее. Ситуация изображена на симметричных диаграммах Лёделя на рис. 4-1. Обратите внимание, что мы можем сравнивать длины пространства-времени на странице напрямую друг с другом благодаря симметричному характеру диаграммы Лёделя.

На рис. 4-2 предполагается, что наблюдатель, чья система отсчета обозначена черными осями, движется от начала координат O к A. Движущиеся часы имеют систему отсчета, заданную синими осями, и перемещаются от O к B. Для черных наблюдателя, все события, происходящие одновременно с событием в точке А, расположены на прямой, параллельной его пространственной оси. Эта линия проходит через A и B, поэтому A и B одновременны в системе отсчета наблюдателя с черными осями. Однако часы, движущиеся относительно черного наблюдателя, отсчитывают время по синей оси времени. Это представлено расстоянием от O до B. Таким образом, наблюдатель в точке A с черными осями замечает, что его часы показывают расстояние от O до A, в то время как он наблюдает, как часы движутся относительно него или нее, чтобы определить расстояние от O до B. Поскольку расстояние от О до В меньше, чем расстояние от О до А, они приходят к выводу, что время, прошедшее на часах, движущихся относительно них, меньше, чем время, прошедшее на их собственных часах.

Второй наблюдатель, переместившись вместе с часами от О к В, будет утверждать, что часы черной оси достигли только С и поэтому идут медленнее. Причина этих, казалось бы, парадоксальных утверждений – разная детерминация событий, происходящих синхронно в разных местах. В силу принципа относительности вопрос о том, кто прав, не имеет ответа и не имеет смысла.

длины

Рис. 4-3. Релятивистское сокращение длины, изображенное на двух пространственно-временных диаграммах Лёделя. Оба наблюдателя считают объекты, движущиеся вместе с другим наблюдателем, короче.

Рис. 4-4. Релятивистское сокращение длины, изображенное на единой диаграмме пространства-времени Лёделя. Оба наблюдателя считают объекты, движущиеся вместе с другим наблюдателем, короче.

Релятивистское сокращение длины относится к тому факту, что линейка (указывающая ее правильную длину в системе покоя), которая движется относительно наблюдателя, сжимается/укорачивается. Ситуация изображена на симметричных диаграммах Лёделя на рис. 4-3. Обратите внимание, что мы можем сравнивать длины пространства-времени на странице напрямую друг с другом благодаря симметричному характеру диаграммы Лёделя.

На рис. 4-4 предполагается, что наблюдатель снова движется вдоль оси ct . Предполагается, что мировые линии концов движущегося относительно него объекта движутся вдоль оси ct ′ и параллельной линии, проходящей через A и B. Для этого наблюдателя концы объекта в момент t = 0 суть O и A. Для второго наблюдателя, движущегося вместе с объектом, так что для него объект покоится, он имеет правильную длину OB в момент t ′ = 0 . Из-за ОА <ОБ . объект сжимается для первого наблюдателя.

Второй наблюдатель будет утверждать, что первый наблюдатель оценил конечные точки объекта в точках О и А соответственно и, следовательно, в разное время, что привело к неправильному результату из-за его движения в это время. Если второй наблюдатель исследует длину другого объекта с конечными точками, движущимися вдоль оси ct , и параллельной линией, проходящей через C и D, он приходит к выводу, что этот объект таким же образом сжимается от OD до OC. Каждый наблюдатель оценивает объекты, движущиеся вместе с другим наблюдателем, как подлежащие сжатию. Эта явно парадоксальная ситуация снова является следствием относительности одновременности, как демонстрирует анализ с помощью диаграммы Минковского.

При всех этих соображениях предполагалось, что оба наблюдателя принимают во внимание скорость света и расстояние до всех событий, которые они видят, чтобы определить фактическое время, в которое эти события происходят с их точки зрения.

Постоянство скорости света

Рис. 4-5. Диаграмма Минковского для 3-х систем координат. Для скоростей относительно системы, обозначенной черным цветом, справедливы v ′ = 0,4 c и v ″ = 0,8 c .

Еще один постулат специальной теории относительности — постоянство скорости света. Он гласит, что любой наблюдатель в инерциальной системе отсчета, измеряющий вакуумную скорость света относительно себя, получает одно и то же значение независимо от своего собственного движения и движения источника света. Это утверждение кажется парадоксальным, но оно непосредственно следует из дифференциального уравнения, приводящего к этому, и диаграмма Минковского с ним согласуется. Это объясняет также результат эксперимента Майкельсона-Морли , который считался загадкой до открытия теории относительности, когда фотоны считались волнами в необнаружимой среде.

Для мировых линий фотонов, проходящих начало координат в разных направлениях, x = ct и x = − ct справедливо . Это означает, что любая позиция на такой мировой линии соответствует шагам по осям x и ct , имеющим одинаковое абсолютное значение. Из правила отсчета координат в системе координат с наклоненными осями следует, что две мировые линии являются биссектрисами осей x и ct . Как показано на рис. 4-5, диаграмма Минковского иллюстрирует их как биссектрисы осей x' и ct ' . Это означает, что оба наблюдателя измеряют одинаковую скорость c для обоих фотонов.

К этой диаграмме Минковского можно добавить дополнительные системы координат, соответствующие наблюдателям с произвольными скоростями. Для всех этих систем обе мировые линии фотонов представляют собой биссектрисы осей. Чем больше относительная скорость приближается к скорости света, тем больше оси приближаются к соответствующей биссектрисе угла. $x$ось всегда более плоская, а ось времени более крутая, чем мировые линии фотонов. Масштабы обеих осей всегда одинаковы, но обычно отличаются от масштабов других систем координат.

Скорость света и причинность

Рис. 4-6 Прошлое и будущее относительно начала координат. Для серых зон соответствующая временная классификация невозможна.

Прямые линии, проходящие через начало координат и более крутые, чем обе мировые линии фотонов, соответствуют объектам, движущимся медленнее скорости света. Если это применимо к объекту, то это применимо и с точки зрения всех наблюдателей, потому что мировые линии этих фотонов являются биссектрисами любой инерциальной системы отсчета. Поэтому любая точка выше начала координат и между мировыми линиями обоих фотонов может быть достигнута со скоростью, меньшей скорости света, и иметь с началом причинно-следственную связь. Эта область является абсолютным будущим, поскольку любое событие там происходит позже по сравнению с событием, представленным началом координат, независимо от наблюдателя, что наглядно видно графически из диаграммы Минковского на рис. 4-6.

Следуя тому же аргументу, диапазон ниже начала координат и между мировыми линиями фотонов представляет собой абсолютное прошлое относительно начала координат. Любое событие там определенно принадлежит прошлому и может быть причиной следствия в самом начале.

Отношения между любыми такими парами событий называются времениподобными , поскольку для всех наблюдателей расстояние во времени больше нуля. Прямая линия, соединяющая эти два события, всегда является осью времени возможного наблюдателя, для которого они происходят в одном и том же месте. Два события, которые можно связать именно со скоростью света, называются светоподобными .

В принципе, к диаграмме Минковского можно добавить еще одно измерение пространства, что приведет к трехмерному представлению. В этом случае диапазоны будущего и прошлого становятся конусами , вершины которых касаются друг друга в начале координат. Их называют световыми конусами .

Скорость света как предел

Рис. 4-7. Отправка сообщения со сверхсветовой скоростью из О через А в Б в прошлое. Оба наблюдателя считают временной порядок пар событий О и А, а также А и В различным.

Следуя тому же аргументу, все прямые линии, проходящие через начало координат и более горизонтальные, чем мировые линии фотонов, будут соответствовать объектам или сигналам, движущимся быстрее света, независимо от скорости наблюдателя. Следовательно, ни одно событие вне световых конусов не может быть достигнуто из начала координат, даже световым сигналом или каким-либо объектом или сигналом, движущимся со скоростью меньше скорости света. Такие пары событий называются пространственноподобными , поскольку они имеют конечное пространственное расстояние, отличное от нуля для всех наблюдателей. С другой стороны, прямая, соединяющая такие события, всегда является пространственной осью координат возможного наблюдателя, для которого они происходят одновременно. Незначительным изменением скорости этой системы координат в обоих направлениях всегда можно найти две инерциальные системы отсчета, наблюдатели которых оценивают хронологический порядок этих событий как различный.

Учитывая, что объект движется быстрее света, скажем, от О к А на рис. 4-7, тогда для любого наблюдателя, наблюдающего за объектом, движущимся от О к А, может быть найден другой наблюдатель (движущийся со скоростью меньшей, чем скорость света относительно точки А). во-первых), для которого объект перемещается из А в О. Вопрос о том, какой наблюдатель прав, не имеет однозначного ответа и, следовательно, не имеет физического смысла. Любой такой движущийся объект или сигнал нарушил бы принцип причинности.

Кроме того, любые общие технические средства отправки сигналов со скоростью, превышающей скорость света, позволили бы отправлять информацию в собственное прошлое отправителя. На диаграмме наблюдатель в точке О в системе x - ct посылает сообщение, движущееся быстрее света, в сторону A. В точке A оно принимается другим наблюдателем, движущимся так, чтобы оказаться в системе x' - ct ' , который посылает он вернулся, снова быстрее света, достигая B. Но B находится в прошлом относительно O. Абсурдность этого процесса становится очевидной, когда оба наблюдателя впоследствии подтверждают, что они вообще не получали никакого сообщения, а все сообщения были направлены в сторону другого наблюдатель, как это можно увидеть графически на диаграмме Минковского. Более того, если бы можно было ускорить наблюдателя до скорости света, его оси пространства и времени совпадали бы с биссектрисой угла. Система координат рухнет, в соответствии с тем фактом, что из-за замедления времени время для них фактически перестанет течь.

Эти соображения показывают, что скорость света как предел является следствием свойств пространства-времени, а не свойств таких объектов, как технологически несовершенные космические корабли. Таким образом, запрет на движение со скоростью, превышающей скорость света, не имеет ничего общего с электромагнитными волнами или светом, а является следствием структуры пространства-времени.

Ускоряющиеся наблюдатели

Рис. 5-1. Мгновенно движущиеся системы отсчета ускоряющейся частицы, наблюдаемые из неподвижной системы отсчета.

Рис. 5-2. Мгновенно движущиеся вместе инерциальные системы отсчёта вдоль мировой линии быстро ускоряющегося наблюдателя (начало координат).

Часто ошибочно утверждают, что специальная теория относительности не может учитывать ускоряющиеся частицы или ускоряющиеся системы отсчета. На самом деле ускорение частиц не представляет никакой трудности в специальной теории относительности. С другой стороны, ускоряющиеся системы отсчета требуют особого подхода. Однако, пока мы имеем дело с плоским пространством-временем Минковского, специальная теория относительности может справиться с этой ситуацией. Только при наличии гравитации необходима общая теория относительности.

4-векторное ускорение ускоряющейся частицы является производной по собственному времени ее 4-скорости. С этой ситуацией справиться не так уж и сложно. Ускоряющиеся системы отсчета требуют понимания концепции мгновенно движущейся системы отсчета (MCRF), то есть системы, движущейся с той же мгновенной скоростью, что и частица в любой данный момент.

Рассмотрим анимацию на рис. 5-1. Кривая линия представляет собой мировую линию частицы, которая подвергается непрерывному ускорению, включая полную смену направления в положительном и отрицательном направлениях x. Красные оси — это оси MCRF для каждой точки траектории частицы. Координаты событий в незаштрихованной (стационарной) системе отсчета могут быть связаны с их координатами в любой моментально движущейся штрихованной системе координат с помощью преобразований Лоренца.

Рис. 5-2 иллюстрирует изменение взглядов на пространство-время вдоль мировой линии быстро ускоряющейся частицы. $ct'$ ось (не нарисована) вертикальна, а $x'$ось (не нарисована) горизонтальна. Пунктирная линия — это пространственно-временная траектория («мировая линия») частицы. Шары располагаются через равные промежутки времени вдоль мировой линии. Сплошные диагональные линии — это световые конусы текущего события наблюдателя, и они пересекаются в этом событии. Маленькие точки — это другие произвольные события в пространстве-времени.

Наклон мировой линии (отклонение от вертикали) — это скорость частицы на этом участке мировой линии. Изгибы мировой линии представляют собой ускорение частиц. По мере ускорения частицы меняется ее представление о пространстве-времени. Эти изменения во взгляде определяются преобразованиями Лоренца. Также обратите внимание, что:

• шары на мировой линии до/после будущих/прошлых ускорений более разнесены из-за замедления времени.
• события, которые были одновременными до ускорения (горизонтально расположенные события), впоследствии происходят в разное время из-за относительности одновременности,
• события проходят через линии светового конуса за счет хода собственного времени, а не за счет изменения взглядов, вызванного ускорениями, и
• мировая линия всегда остается внутри световых конусов будущего и прошлого текущего события.

Если представить каждое событие как вспышку света, то события, которые находятся в пределах светового конуса наблюдателя, являются событиями, видимыми наблюдателю. Наклон мировой линии (отклонение от вертикали) дает скорость относительно наблюдателя.

Случай неинерциальных систем отсчета

Рис. 6-1. Диаграмма Минковского в инерциальной системе отсчета. Слева вертикальная мировая линия падающего объекта. Справа гиперболическая мировая линия ракеты.

Рис. 6-2 Диаграмма Минковского в неинерциальной системе отсчета. Слева мировая линия падающего объекта. Справа вертикальная мировая линия ракеты.

Мировые линии фотонов определяются с помощью метрики с $d\tau =0$. Световые конусы деформируются в зависимости от положения. В инерциальной системе отсчета свободная частица имеет прямую мировую линию. В неинерциальной системе отсчета мировая линия свободной частицы искривлена.

Возьмем пример падения предмета, сброшенного без начальной скорости с ракеты. Ракета движется равноускоренно относительно инерциальной системы отсчета. Как видно на рис. 6-2 диаграммы Минковского в неинерциальной системе отсчета, объект, однажды упавший, набирает скорость, достигает максимума, а затем видит, что его скорость уменьшается и асимптотически сокращается на горизонте, где его собственное время замирает. в $t_{\text{H}}$. Скорость измеряется наблюдателем, покоящимся в разгоняемой ракете.

См. также

• Пространство Минковского
• Диаграмма Пенроуза
• Быстрота

Ссылки

• Энтони Френч (1968) Специальная теория относительности , страницы 82 и 83, Нью-Йорк: WW Norton & Company .
• Э.Н. Гласс (1975) «Повышение Лоренца и диаграммы Минковского» Американский журнал физики 43:1013,4.
• Н. Дэвид Мермин (1968) Пространство и время в специальной теории относительности , глава 17, диаграммы Минковского: геометрия пространства-времени, страницы 155–99 МакГроу-Хилл .
• Риндлер, Вольфганг (2001). Относительность: специальная, общая и космологическая . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850836-0 .
• WGV Россер (1964) Введение в теорию относительности , стр. 256, рис. 6.4, Лондон: Баттервортс .
• Эдвин Ф. Тейлор и Джон Арчибальд Уиллер (1963) Физика пространства-времени , страницы с 27 по 38, Нью-Йорк: WH Freeman and Company , второе издание (1992).
• Уолтер, Скотт (1999), «Неевклидов стиль относительности Минковского» (PDF) , в книге Дж. Грея (ред.), Символическая вселенная: геометрия и физика , Oxford University Press, стр. 91–127, заархивировано из оригинал (PDF) от 16 октября 2013 г. , получен 27 марта 2011 г. (см. стр. 10 электронной ссылки)

Внешние ссылки

СМИ, связанные с диаграммами Минковского, на Викискладе?