Метрика Леметра – Толмана

В физике метрика Леметра-Толмана , также известная как метрика Леметра-Толмана-Бонди или метрика Толмана , представляет собой лоренцеву метрику, основанную на точном решении уравнений поля Эйнштейна ; оно описывает изотропную и расширяющуюся (или сжимающуюся) Вселенную , которая не является однородной . и поэтому используется в космологии как альтернатива стандартной метрике Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера для моделирования расширения Вселенной . Его также использовали для моделирования Вселенной, имеющей фрактальное распределение материи, чтобы объяснить ускоряющееся расширение Вселенной . Впервые его нашел Жорж Леметр в 1933 году. и Ричард Толман в 1934 году. и позже исследован Германом Бонди в 1947 году.

Подробности

В синхронной системе отсчета , где $g_{00}=1$ и $g_{0\alpha }=0$, координата времени $x^{0}=t$ (мы ставим $G=c=1$) тоже подходящее время $\tau ={\sqrt {g_{00}}}x^{0}$ и часы во всех точках могут быть синхронизированы. Для пылеподобной среды, где давление равно нулю, пылевые частицы движутся свободно, т. е. вдоль геодезических, поэтому синхронная система отсчета также является сопутствующей системой отсчета, в которой компоненты четырех скоростей $u^{i}=dx^{i}/ds$ являются $u^{0}=1,\,u^{\alpha }=0$. Решение уравнений поля дает

$ds^{2}=d\tau ^{2}-e^{\lambda (\tau ,R)}dR^{2}-r^{2}(\tau ,R)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})$

где $r$ - это радиус или расстояние светимости в том смысле, что площадь поверхности сферы с радиусом $r$ является $4\pi r^{2}$ и $R$ просто интерпретируется как лагранжева координата и

$e^{\lambda }={\frac {r'^{2}}{1+f(R)}},\quad \left({\frac {\partial r}{\partial \tau }}\right)^{2}=f(R)+{\frac {F(R)}{r}},\quad 4\pi r^{2}\rho ={\frac {F'(R)}{2r'}}$

при соблюдении условий $1+f>0$ и $F>0$, где $f(R)$ и $F(R)$ являются произвольными функциями, $\rho$ — плотность материи, и, наконец, штрихи обозначают дифференцирование по $R$. Мы также можем предположить $F'>0$ и $r'>0$ что исключает случаи, приводящие к пересечению частиц материала при его движении. Каждой частице соответствует значение $R$, функция $r(\tau ,R)$ и его производная по времени соответственно определяет закон движения и радиальную скорость. Интересным свойством описанного выше решения является то, что при $f(R)$ и $F(R)$ построены как функции $R$, вид этих функций, построенный для диапазона $R\in [0,R_{0}]$ не зависит от того, как эти функции будут построены для $R>R_{0}$. Это предсказание, очевидно, похоже на теорию Ньютона. Полная масса внутри сферы $R=R_{0}$ дается

$m=4\pi \int _{0}^{r(\tau ,R_{0})}\rho r^{2}dr=4\pi \int _{0}^{R_{0}}\rho r'r^{2}dR={\frac {F(R_{0})}{2}}$

откуда следует, что радиус Шварцшильда определяется выражением $r_{s}=2m=F(R_{0})$.

Функция $r(\tau ,R)$ может быть получена при интегрировании и задается в параметрической форме с параметром $\eta$ с тремя возможностями,

$f>0:~~~~~~~~r={\frac {F}{2f}}(\cosh \eta -1),\quad \tau _{0}-\tau ={\frac {F}{2f^{3/2}}}(\sinh \eta -\eta ),$

$f<0:~~~~~~~~r={\frac {F}{-2f}}(1-\cosh \eta ),\quad \tau _{0}-\tau ={\frac {F}{2(-f)^{3/2}}}(\eta -\sinh \eta )$

$f=0:~~~~~~~~r=\left({\frac {9F}{4}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3}.$

где $\tau _{0}(R)$ возникает как еще одна произвольная функция. Однако мы знаем, что центрально-симметричное распределение материи может быть описано не более чем двумя функциями, а именно распределением их плотности и лучевой скоростью материи. Это означает, что из трех функций $f,F,\tau _{0}$, только два из них независимы. Фактически, поскольку для лагранжевой координаты не был сделан какой-либо конкретный выбор $R$ однако, что может быть подвергнуто произвольному преобразованию, мы видим, что только две функции являются произвольными. Для пылеподобной среды существует другое решение, где $r=r(\tau )$ и независимо от $R$, хотя такое решение не соответствует коллапсу конечного тела материи.

Решение Шварцшильда

Когда $F=r_{s}=$конст., $\rho =0$ и, следовательно, решение соответствует пустому пространству с точечной массой, расположенной в центре. Далее, установив $f=0$ и $\tau _{0}=R$, решение сводится к решению Шварцшильда, выраженному в координатах Леметра .

Гравитационный коллапс

Гравитационный коллапс происходит, когда $\tau$ достигает $\tau _{0}(R)$ с $\tau _{0}'>0$. Момент $\tau =\tau _{0}(R)$ соответствует приходу материи, обозначаемой ее лагранжевой координатой $R$ в центр. Во всех трех случаях, как $\tau \rightarrow \tau _{0}(R)$асимптотическое поведение определяется выражением

$r\approx \left({\frac {9F}{4}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad e^{\lambda /2}\approx \left({\frac {2F}{3}}\right)^{1/3}{\frac {\tau _{0}'}{\sqrt {1+f}}}(\tau _{0}-\tau )^{-1/3},\quad 4\pi \rho \approx {\frac {F'}{3F\tau _{0}'(\tau _{0}-\tau )}}$

в котором первые два соотношения указывают на то, что в сопутствующей системе отсчета все радиальные расстояния стремятся к бесконечности, а тангенциальные расстояния стремятся к нулю, как $\tau -\tau _{0}$, тогда как третье соотношение показывает, что плотность материи возрастает как $1/(\tau _{0}-\tau ).$ В особом случае $\tau _{0}(R)=$константа, при которой время коллапса всех материальных частиц одинаково, асимптотическое поведение различно,

$r\approx \left({\frac {9F}{3}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad e^{\lambda /2}\approx \left({\frac {2}{3}}\right)^{1/3}{\frac {F'}{2F^{2/3}{\sqrt {1+f}}}}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad 4\pi \rho \approx {\frac {2}{3(\tau _{0}-\tau )^{2}}}.$

Здесь и тангенциальное, и радиальное расстояния стремятся к нулю, как $(\tau _{0}-\tau )^{2/3}$, тогда как плотность материи возрастает как $1/(\tau _{0}-\tau )^{2}.$

См. также

• Подробности о Леметре
• Введение в математику общей теории относительности
• Тензор энергии-напряжения
• Метрический тензор (общая теория относительности)
• Релятивистский угловой момент
• неоднородная космология