Приливный тензор

В теории гравитации Ньютона и в различных релятивистских классических теориях гравитации , таких как общая теория относительности , приливный тензор представляет собой

приливные ускорения облака (электрически нейтральных, невращающихся) пробных частиц ,
приливные напряжения в небольшом объекте, погруженном в окружающее гравитационное поле.

Тензор приливов представляет собой относительное ускорение силы тяжести двух пробных масс, разделенных бесконечно малым расстоянием. Компонент $\Phi _{{a}{b}}$ представляет собой относительное ускорение ${\hat {a}}$ направлении, вызванном смещением ${\hat {b}}$ направление.

Приливной тензор для сферического тела

Наиболее распространенным примером приливов является приливная сила вокруг сферического тела ( например , планеты или луны).Здесь мы вычисляем приливный тензор гравитационного поля вне изолированного сферически-симметричного массивного объекта. Согласно закону тяготения Ньютона, ускорение a на расстоянии r от центральной массы m равно

a=-Gm/r^{2}

(чтобы упростить математику, в следующих выводах мы используем соглашение о присвоении гравитационной постоянной G равной единице. Чтобы вычислить дифференциальные ускорения, результаты необходимо умножить на G.)

Примем систему полярных координат для нашего трехмерного евклидова пространства и рассмотрим бесконечно малые смещения в радиальном и азимутальном направлениях: $\partial _{r},\partial _{\theta },$ и $\partial _{\phi }$ , которым присвоены индексы 1, 2 и 3 соответственно.

{\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }

Мы непосредственно вычислим каждую компоненту приливного тензора, выраженную в этом кадре.Сначала сравним силы гравитации на два соседних объекта, лежащих на одной радиальной линии, на расстояниях от центрального тела, отличающихся на расстояние h :

m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})

Поскольку при обсуждении тензоров мы имеем дело с полилинейной алгеброй , мы сохраняем только члены первого порядка, поэтому $\Phi _{11}=-2m/r^{3}$ . Поскольку ускорения нет. $\theta$ или $\phi$ направлении из-за смещения в радиальном направлении, остальные радиальные члены равны нулю: $\Phi _{12}=\Phi _{13}=0$ .

Аналогичным образом мы можем сравнить силу гравитации, действующую на двух соседних наблюдателей, находящихся на одном радиусе. $r=r_{0}$ но смещено на (бесконечно малое) расстояние h в $\theta$ или $\phi$ направление. Используя элементарную тригонометрию и приближение малых углов, мы находим, что векторы сил отличаются на вектор, касательный к сфере, величина которой равна

{\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h

Используя приближение малых углов, мы проигнорировали все члены порядка $O(h^{2})$ , поэтому тангенциальные компоненты равны $\Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}$ . Опять же, поскольку ускорение в радиальном направлении из-за смещений в любом из азимутальных направлений отсутствует, остальные азимутальные члены равны нулю: $\Phi _{21}=\Phi _{31}=0$ .

Объединив эту информацию, мы обнаруживаем, что приливный тензор диагональен с компонентами системы координат. $\Phi _{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\frac {m}{r^{3}}}\operatorname {diag} (-2,1,1)$ Это кулоновская форма, характерная для сферически-симметричных центральных силовых полей в ньютоновской физике.

Гессенская формулировка

В более общем случае, когда масса не представляет собой отдельный сферически-симметричный центральный объект, приливный тензор можно получить из гравитационного потенциала. $U$ , которое подчиняется уравнению Пуассона :

\Delta U=4\pi \,\mu

где $\mu$ - это массовая плотность любого присутствующего вещества, и где $\Delta$ — оператор Лапласа . Обратите внимание, что из этого уравнения следует, что в вакуумном растворе потенциал представляет собой просто гармоническую функцию .

Приливный тензор задается бесследовой частью ^[1]

\Phi _{ab}=J_{ab}-{\frac {1}{3}}\,{J^{m}}_{m}\,\eta _{ab}

земли Гессен

J_{ab}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{a}\,\partial x^{b}}}

где мы используем стандартную декартову диаграмму для E ³, с евклидовым метрическим тензором

ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;-\infty <x,y,z<\infty

Используя стандартные результаты векторного исчисления, их легко преобразовать в выражения, действительные в других координатных картах, таких как полярная сферическая карта.

ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)

0<\rho <\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi

Сферически симметричное поле

В качестве примера мы можем вычислить приливный тензор для сферического тела, используя гессиан. Далее подключим гравитационный потенциал $U=-m/\rho$ в Гессен. Мы можем преобразовать приведенное выше выражение в выражение, действительное в полярных сферических координатах, или мы можем преобразовать потенциал в декартовы координаты перед подключением. Приняв второй путь, мы имеем $U=-m/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ , что дает

\Phi _{ab}={\frac {m}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}\,\left[{\begin{matrix}y^{2}+z^{2}-2x^{2}&-3xy&-3xz\\-3xy&x^{2}+z^{2}-2y^{2}&-3yz\\-3xz&-3yz&x^{2}+y^{2}-2z^{2}\end{matrix}}\right]

После поворота нашей системы координат, адаптированной к полярным сферическим координатам, это выражение согласуется с нашим предыдущим результатом. Самый простой способ увидеть это — установить $y,z$ к нулю, так что недиагональные члены исчезают и $\rho =x$ , а затем вызвать сферическую симметрию.

В общей теории относительности

В общей теории относительности приливный тензор обобщается тензором кривизны Римана . В пределе слабого поля приливный тензор задается компонентами $\Phi _{ij}={R}_{i0j0}$ тензора кривизны.

См. также

Ссылки

^ Бальдауф, Тобиас; Селяк, Урос; Дежак, Винсент; Макдональд, Патрик (13 января 2018 г.). «Доказательства квадратичного смещения приливного тензора из биспектра гало». Физический обзор D . 86 (8): 083540. arXiv : 1201.4827 . Бибкод : 2012PhRvD..86h3540B . дои : 10.1103/PhysRevD.86.083540 . S2CID 21681130 .

Внешние ссылки

Сперхак, Ульрих. «Конспекты лекций по общей теории относительности, часть II» (PDF) : 19 . Проверено 13 января 2018 г. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
Рено, Ф.; Бойли, СМ; Нааб, Т.; Тайс, Ч. (20 ноября 2009 г.). «Полностью сжимающие приливы при слиянии галактик». Астрофизический журнал . 706 (1): 68. arXiv : 0910.0196 . Бибкод : 2009ApJ...706...67R . дои : 10.1088/0004-637X/706/1/67 . S2CID 15831572 .
Дюк, Пьер-Ален; Рено, Флоран. «Гравитационный потенциал и приливной тензор» . ned.ipac.caltech.edu . Калтех . Проверено 13 января 2018 г.

[1] Бальдауф, Тобиас; Селяк, Урос; Дежак, Винсент; Макдональд, Патрик (13 января 2018 г.). «Доказательства квадратичного смещения приливного тензора из биспектра гало». Физический обзор D . 86 (8): 083540. arXiv : 1201.4827 . Бибкод : 2012PhRvD..86h3540B . дои : 10.1103/PhysRevD.86.083540 . S2CID 21681130 .

[1]