Изотропные координаты

В теории многообразий лоренцевых сферически-симметричные пространства-времени допускают семейство вложенных круглых сфер . Существует несколько различных типов координатных диаграмм, адаптированных к этому семейству вложенных сфер; наиболее известной является диаграмма Шварцшильда , но изотропная диаграмма часто бывает полезна и .Определяющей характеристикой изотропной карты является то, что ее радиальная координата (которая отличается от радиальной координаты карты Шварцшильда) определяется так, что световые конусы выглядят круглыми . Это означает, что (за исключением тривиального случая локально плоского многообразия) угловые изотропные координаты не точно представляют расстояния внутри вложенных сфер, а радиальная координата не точно представляет радиальные расстояния. С другой стороны, углы в гиперсрезах постоянного времени представлены без искажений, отсюда и название диаграммы.

Изотропные диаграммы чаще всего применяются к статическим сферически-симметричным пространствам-временям в метрических теориях гравитации , таких как общая теория относительности , но их также можно использовать, например, при моделировании сферически пульсирующего жидкого шара. Для изолированных сферически-симметричных решений уравнения поля Эйнштейна на больших расстояниях изотропная и Шварцшильдовская карты становятся все более похожими на обычную полярную сферическую карту в пространстве-времени Минковского .

Определение

В изотропной карте (на статическом сферически-симметричном пространстве-времени) метрика (она же линейный элемент ) принимает вид

$g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,\left(dr^{2}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right)\right),$

$-\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\varphi <\pi$

В зависимости от контекста, возможно, уместно рассматривать $a,\,b$ как неопределенные функции радиальной координаты (например, при получении точного статического сферически-симметричного решения уравнения поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить изотропную координатную карту в определенном лоренцевом пространстве-времени.

Уничтожение векторных полей

Алгебра Ли векторных полей Киллинга сферически-симметричного статического пространства-времени принимает в изотропной карте тот же вид, что и в карте Шварцшильда. А именно, эта алгебра порождается времениподобным безвихревым векторным полем Киллинга

$\partial _{t}$

и три пространственноподобных векторных поля Киллинга

$\partial _{\varphi }$

$\sin(\varphi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\varphi )\partial _{\varphi }$

$\cos(\varphi )\,\partial _{\theta }-\cot(\theta )\,\sin(\varphi )\partial _{\varphi }$

Вот, говоря, что ${\vec {X}}=\partial _{t}$ безвихревость означает, что тензор завихренности соответствующей времениподобной конгруэнции обращается в нуль; таким образом, это векторное поле Киллинга ортогонально гиперповерхности . Тот факт, что пространство-время допускает безвихревое времяподобное векторное поле Киллинга, фактически является определяющей характеристикой статического пространства-времени . Одним из непосредственных последствий является то, что координатные поверхности постоянного времени $t=t_{0}$ образуют семейство (изометрических) пространственных гиперсрезов (пространственноподобных гиперповерхностей).

В отличие от диаграммы Шварцшильда, изотропная диаграмма не очень подходит для построения диаграмм встраивания этих гиперсрезов.

Семейство статических вложенных сфер

Поверхности $t=t_{0},\,r=r_{0}$ выглядят как круглые сферы (когда мы рисуем локусы в полярной сферической форме), и по форме линейного элемента мы видим, что метрика, ограниченная любой из этих поверхностей, равна

$g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}g_{\Omega }=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\varphi <\pi$

где $\Omega =(\theta ,\varphi )$ являются координатами и $g_{\Omega }$ — риманова метрика на 2-й сфере единичного радиуса. То есть эти вложенные координатные сферы на самом деле представляют собой геометрические сферы, но внешний вид $b(r_{0})\,r$ скорее, чем $r$ показывает, что радиальная координата не соответствует площади так же, как для сфер в обычном евклидовом пространстве . Сравните координаты Шварцшильда, где радиальная координата имеет естественную интерпретацию в терминах вложенных сфер.

Координатные особенности

локусы $\varphi =-\pi ,\,\pi$ обозначают границы изотропной карты, и, как и в карте Шварцшильда, мы молчаливо предполагаем, что эти два локуса отождествлены, так что наши предполагаемые круглые сферы действительно являются топологическими сферами.

Как и в случае с диаграммой Шварцшильда, диапазон радиальной координаты может быть ограничен, если метрика или обратная ей метрика разрушается при некотором значении(ях) этой координаты.

Метрический подход

Приведенный выше линейный элемент с f,g, рассматриваемый как неопределенные функции изотропной координаты r, часто используется в качестве метрического анзаца при выводе статических сферически симметричных решений в общей теории относительности (или других метрических теориях гравитации ).

В качестве иллюстрации мы нарисуем, как вычислить связь и кривизну, используя метод внешнего исчисления Картана. Сначала мы считываем из линейного элемента поле кофрейма ,

$\sigma ^{0}=-a(r)\,dt$

$\sigma ^{1}=b(r)\,dr$

$\sigma ^{2}=b(r)\,r\,d\theta$

$\sigma ^{3}=b(r)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi$

где мы считаем $a,\,b$ как неопределенные гладкие функции от $r$. (Тот факт, что наше пространство-время допускает систему отсчета, имеющую эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия изотропной карты в статическом, сферически симметричном лоренцевом многообразии). Взяв внешние производные и используя первое структурное уравнение Картана, находим ненулевые одноформы связности

${\omega ^{0}}_{1}={\frac {f'\,dt}{g}}$

${\omega ^{1}}_{2}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,d\theta$

${\omega ^{1}}_{3}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,\sin(\theta )\,d\varphi$

${\omega ^{2}}_{3}=-\cos(\theta )\,d\varphi$

Снова взяв внешние производные и подставив их во второе структурное уравнение Картана, мы находим две формы кривизны .

См. также

• статическое пространство-время ,
• сферически-симметричное пространство-время ,
• статические сферически-симметричные идеальные жидкости ,
• Координаты Шварцшильда , еще одна популярная диаграмма для статического сферически-симметричного пространства-времени.
• поля фреймов в общей теории относительности , чтобы узнать больше о полях фреймов и полях кофреймов.

Ссылки

• Миснер, Торн, Уиллер (1973). Гравитация . WH Фриман и компания. ISBN  0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )