Тождества векторного исчисления

См. Также: Отношения векторной алгебры

Ниже приведены важные тождества, включающие производные и интегралы в векторном исчислении .

Обозначение оператора

Градиент

Основная статья: Градиент

Для функции $f(x,y,z)$ в трехмерных декартовых координатных переменных градиент представляет собой векторное поле:

$\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k}$

где i , j , k — стандартные единичные векторы для осей x , y , z . В более общем смысле, для функции n переменных $\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})$, также называемое скалярным полем, градиент представляет собой векторное поле :

$$\nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}$$

где $\mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)$ являются взаимно ортогональными единичными векторами.

Как следует из названия, градиент пропорционален самому быстрому (положительному) изменению функции и указывает в направлении.

Для векторного поля $\mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)$, также называемое тензорным полем порядка 1, градиент или полная производная представляет собой n × n матрицу Якобиана размера :

$$\mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.$$

Для тензорного поля $\mathbf {T}$ любого порядка k градиент $\operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}$ является тензорным полем порядка k + 1.

Для тензорного поля $\mathbf {T}$ порядка k > 0 тензорное поле $\nabla \mathbf {T}$ порядка k + 1 определяется рекурсивным соотношением

$$(\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$$

где $\mathbf {C}$ — произвольный постоянный вектор.

Дивергенция

Основная статья: Дивергенция

В декартовых координатах дивергенция непрерывно дифференцируемого векторного поля $\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ скалярная функция:

$$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$$

Как следует из названия, дивергенция — это (локальная) мера степени, в которой векторы в поле расходятся.

Дивергенция тензорного поля $\mathbf {T}$ ненулевого порядка k записывается как $\operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T}$, сжатие тензорного поля порядка k - 1. В частности, дивергенция вектора является скаляром. Дивергенцию тензорного поля более высокого порядка можно найти, разложив тензорное поле на сумму внешних произведений и используя тождество:

$$\nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T}$$

где $\mathbf {A} \cdot \nabla$ – производная по направлению в направлении $\mathbf {A}$ умноженный на его величину. В частности, для внешнего произведения двух векторов

$$\nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .$$

Для тензорного поля $\mathbf {T}$ порядка k > 1 тензорное поле $\nabla \cdot \mathbf {T}$ порядка k − 1 определяется рекурсивным соотношением

$$(\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$$

где $\mathbf {C}$ — произвольный постоянный вектор.

Завиток

Основная статья: Curl (математика)

В декартовых координатах для $\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ локон — векторное поле:

$${\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}$$

где i , j и k — единичные векторы для осей x , y и z соответственно.

Как следует из названия, завиток — это мера того, насколько близлежащие векторы стремятся в круговом направлении.

В обозначениях Эйнштейна векторное поле $\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}$ имеет завиток, заданный:

$$\nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}$$

где $\varepsilon$ = ±1 или 0 — символ четности Леви-Чивита .

Для тензорного поля $\mathbf {T}$ порядка k > 1 тензорное поле $\nabla \times \mathbf {T}$ порядка k определяется рекурсивным соотношением

$$(\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$$

где $\mathbf {C}$ — произвольный постоянный вектор.

Тензорное поле порядка больше единицы можно разложить на сумму внешних произведений , а затем можно использовать следующее тождество:

$$\nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).$$

В частности, для внешнего произведения двух векторов

$$\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).$$

Лаплас

Основная статья: оператор Лапласа

В декартовых координатах лапласиан функции $f(x,y,z)$ является

$$\Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.$$

Лапласиан — это мера того, насколько сильно функция меняется на небольшой сфере с центром в этой точке.

Когда лапласиан равен 0, функция называется гармонической функцией . То есть,

$$\Delta f=0.$$

Для поля тензорного $\mathbf {T}$, лапласиан обычно записывается как:

$$\Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T}$$

и является тензорным полем того же порядка.

Для тензорного поля $\mathbf {T}$ порядка k > 0 тензорное поле $\nabla ^{2}\mathbf {T}$ порядка k определяется рекурсивным соотношением

$$\left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$$

где $\mathbf {C}$ — произвольный постоянный вектор.

Специальные обозначения

В индексной записи Фейнмана

$$\nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B}$$

где обозначение ∇ _B означает, что индексированный градиент действует только на фактор B .

Менее общим, но похожим является Гестена обозначение с точкой в геометрической алгебре . Вышеупомянутое тождество тогда выражается как:

$${\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B}$$

где лишние точки определяют область действия векторной производной. Пунктирный вектор, в данном случае B , дифференцируется, а (непунктирный) A остается постоянным.

В оставшейся части статьи там, где это уместно, будет использоваться индексная запись Фейнмана.

Первые производные тождества

Для скалярных полей $\psi$, $\phi$ и векторные поля $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$, мы имеем следующие производные тождества.

Распределительные свойства

${\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi )&=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}$

Первые производные ассоциативные свойства

${\begin{aligned}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\psi &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\psi &=\mathbf {A} \times (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} )\end{aligned}}$

Правило произведения для умножения на скаляр

У нас есть следующие обобщения правила произведения с одной переменной в исчислении .

${\begin{aligned}\nabla (\psi \phi )&=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi \\\nabla (\psi \mathbf {A} )&=(\nabla \psi )\mathbf {A} ^{\textsf {T}}+\psi \nabla \mathbf {A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \\\nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi )\,{\cdot }\mathbf {A} \\\nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} \\\nabla ^{2}(\psi \phi )&=\psi \,\nabla ^{2\!}\phi +2\,\nabla \!\psi \cdot \!\nabla \phi +\phi \,\nabla ^{2\!}\psi \end{aligned}}$

Правило частного для деления на скаляр

${\begin{aligned}\nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \mathbf {A} -\nabla \phi \otimes \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla ^{2}\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla ^{2\!}\psi -2\,\phi \,\nabla \!\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)\cdot \!\nabla \phi -\psi \,\nabla ^{2\!}\phi }{\phi ^{2}}}\end{aligned}}$

Цепное правило

Позволять $f(x)$ быть функцией одной переменной от скаляров к скалярам, $\mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))$ кривая параметризованная , $\phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ функция преобразования векторов в скаляры и $\mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ векторное поле. Имеются следующие частные случаи правила цепочки с несколькими переменными .

${\begin{aligned}\nabla (f\circ \phi )&=\left(f'\circ \phi \right)\nabla \phi \\(\mathbf {r} \circ f)'&=(\mathbf {r} '\circ f)f'\\(\phi \circ \mathbf {r} )'&=(\nabla \phi \circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\(\mathbf {A} \circ \mathbf {r} )'&=\mathbf {r} '\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {r} )\\\nabla (\phi \circ \mathbf {A} )&=(\nabla \mathbf {A} )\cdot (\nabla \phi \circ \mathbf {A} )\\\nabla \cdot (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \cdot (\mathbf {r} '\circ \phi )\\\nabla \times (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \times (\mathbf {r} '\circ \phi )\end{aligned}}$

Для векторного преобразования $\mathbf {x} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ у нас есть:

$\nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \mathbf {x} )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {x} )\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {x} )\right)$

Здесь мы берем след скалярного произведения двух тензоров второго порядка, который соответствует произведению их матриц.

Правило скалярного произведения

${\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}$

где $\mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}$ обозначает матрицу Якоби векторного поля $\mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})$.

В качестве альтернативы, используя индексную нотацию Фейнмана,

$\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .$

См. эти примечания.

В частном случае, когда A = B ,

${\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.$

Обобщение формулы скалярного произведения на римановы многообразия является определяющим свойством римановой связности , которая дифференцирует векторное поле, чтобы дать векторнозначную 1-форму .

Правило перекрестного произведения

${\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\\[5pt]\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[5pt]\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\cdot \mathbf {B} &\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\end{aligned}}$

Обратите внимание, что матрица $\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}$ является антисимметричным.

Тождества второй производной

Дивергенция завитка равна нулю

Дивергенция : ротора любого непрерывно дважды дифференцируемого векторного поля A всегда равна нулю

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$$

Это частный случай обращения в нуль квадрата внешней производной в Де Рама цепном комплексе .

градиента

Лапласиан : скалярного поля — это дивергенция его градиента

$$\Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )$$

Результатом является скалярная величина.

Дивергенция дивергенции не определена

Дивергенция векторного поля A является скаляром, а дивергенция скалярной величины не определена. Поэтому,

$$\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}$$

Изгиб градиента равен нулю

Ротор градиента непрерывно дважды любого дифференцируемого поля скалярного $\varphi$ (т.е. класс дифференцируемости $C^{2}$) всегда является нулевым вектором :

$$\nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .$$

Это легко доказать, выразив $\nabla \times (\nabla \varphi )$ в декартовой системе координат с теоремой Шварца (также называемой теоремой Клеро о равенстве смешанных частей). Этот результат представляет собой частный случай обращения в нуль квадрата внешней производной в Де Рама цепном комплексе .

Завиток завитка

$$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A}$$

Здесь ∇ ² — векторный лапласиан, на векторное поле A. действующий

Кривая дивергенции не определена

Дивергенция A векторного поля является скаляром, а ротор скалярной величины не определен. Поэтому,

$$\nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}$$

Ассоциативные свойства второй производной

${\begin{aligned}(\nabla \cdot \nabla )\psi &=\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi \\(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \cdot (\nabla \mathbf {A} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} \\(\nabla \times \nabla )\psi &=\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} \\(\nabla \times \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \times (\nabla \mathbf {A} )=\mathbf {0} \end{aligned}}$

Диаграмма DCG: некоторые правила для вторых производных.

Мнемоника

Рисунок справа — мнемоника некоторых из этих личностей. Используются следующие сокращения:

• Д: расхождение,
• С: завиток,
• Г: градиент,
• Л: Лапласиан,
• CC: завиток завитка.

Каждая стрелка помечается результатом идентификатора, а именно результатом применения оператора на хвосте стрелки к оператору на ее вершине. Синий кружок посередине означает, что завиток существует, тогда как два других красных кружка (пунктирные) означают, что DD и GG не существуют.

Краткое изложение важных личностей

Дифференциация

Градиент

• $\nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi$
• $\nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi$
• $\nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A}$
• $\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )$

Дивергенция

• $\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B}$
• $\nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi$
• $\nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A}$

Завиток

• $\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B}$
• $\nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+(\nabla \psi )\times \mathbf {A}$
• $\nabla \times \left(\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi$
• $\nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B}$

Оператор Vector-dot-Del

• $(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\bigg ]}$

• $(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A}$

Вторые производные

• $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$
• $\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0}$
• $\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi$ ( скалярный лапласиан )
• $\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A}$ ( векторный лапласиан )
• $\nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi$
• $\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)$
• $\nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi$
• $\nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A}$
• $\nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))$ ( Векторное тождество Грина )

Третьи производные

• $\nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)$
• $\nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)$
• $\nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)$

Интеграция

Ниже фигурный символ ∂ означает « границу » поверхности или твердого тела.

Интегралы поверхность-объем

В следующих интегральных теоремах поверхность-объем V обозначает трехмерный объем с соответствующей двумерной границей S = ∂ V ( замкнутая поверхность ):

• $\scriptstyle \partial V$ $\psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV$
• $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV$ ( теорема о дивергенции )
• $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV$
• $\scriptstyle \partial V$ $\psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV$ ( первая личность Грина )
• $\scriptstyle \partial V$ $\left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\$ $\scriptstyle \partial V$ $\left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS$ $\displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV$ ( Вторая личность Грина )
• $\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\$ $\scriptstyle \partial V$ $\psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV$ ( интегрирование по частям )
• $\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\$ $\scriptstyle \partial V$ $\psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV$ ( интегрирование по частям )
• $\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,dV\ =\ -$ $\scriptstyle \partial V$ $\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot d\mathbf {S} +\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \mathbf {B} \,dV$ ( интегрирование по частям )

Интегралы кривая-поверхность

В следующих теоремах об интеграле кривой и поверхности S обозначает 2d открытую поверхность с соответствующей 1d границей C = ∂ S ( замкнутая кривая ):

• $\oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S}$ ( теорема Стокса )
• $\oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S}$
• $\oint _{\partial S}\mathbf {A} \times d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\left(\nabla \mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {1} \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ -\iint _{S}\left(d\mathbf {S} \times \nabla \right)\times \mathbf {A}$

Интегрирование вокруг замкнутой кривой по часовой стрелке является отрицанием того же линейного интеграла в направлении против часовой стрелки (аналогично перестановке пределов в определенном интеграле ):

${\scriptstyle \partial S}$ $\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-$ ${\scriptstyle \partial S}$ $\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}.$

Интегралы по конечной кривой

В следующих теоремах об интеграле конечной точки и кривой P обозначает 1d открытый путь со знаковыми граничными точками 0d. $\mathbf {q} -\mathbf {p} =\partial P$ и интегрирование по P осуществляется из $\mathbf {p}$ к $\mathbf {q}$:

• $\psi |_{\partial P}=\psi (\mathbf {q} )-\psi (\mathbf {p} )=\int _{P}\nabla \psi \cdot d{\boldsymbol {\ell }}$ ( теорема о градиенте )
• $\mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \nabla \right)\mathbf {A}$

См. также

• Сравнение векторной алгебры и геометрической алгебры
• Del в цилиндрических и сферических координатах — математический оператор градиента в некоторых системах координат.
• Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
• Внешнее исчисление идентичности
• Внешняя производная - Операция над дифференциальными формами
• Список лимитов
• Таблица производных — правила вычисления производных функций. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Отношения векторной алгебры - Формулы о векторах в трехмерном евклидовом пространстве.

Дальнейшее чтение

• Баланис, Константин А. (23 мая 1989 г.). Передовая инженерная электромагнетика . ISBN  0-471-62194-3 .
• Шей, Х.М. (1997). Div Grad Curl и все такое: неофициальный текст по векторному исчислению . WW Нортон и компания. ISBN  0-393-96997-5 .
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику . Прентис Холл. ISBN  0-13-805326-Х .