Сравнение векторной алгебры и геометрической алгебры

Геометрическая алгебра является расширением векторной алгебры. , предоставляя дополнительные алгебраические структуры в векторных пространствах с геометрическими интерпретациями.

Векторная алгебра использует все измерения и сигнатуры, как и геометрическая алгебра, особенно 3+1 пространство-время , а также 2 измерения.

Основные понятия и операции

Геометрическая алгебра (ГА) является расширением или дополнением векторной алгебры (ВА). Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями и операциями VA, и эта статья в основном будет посвящена операциям в ${\mathcal {G}}_{3}$ ГА трехмерного пространства (и эта статья не претендует на математическую строгость). В GA векторы обычно не пишутся жирным шрифтом, поскольку их значение обычно ясно из контекста.

Фундаментальное отличие состоит в том, что GA предоставляет новое произведение векторов, называемое «геометрическим произведением». Элементами ГА являются градуированные мультивекторы : скаляры – степени 0, обычные векторы – степени 1, бивекторы – степени 2, а высшая степень (3 в случае 3D) традиционно называется псевдоскаляром и обозначается $I$.

Необобщенная трехмерная векторная форма геометрического произведения:

$ab=a\cdot b+a\wedge b$

это сумма обычного скалярного (внутреннего) произведения и внешнего (внешнего) произведения (последнее тесно связано с векторным произведением и будет объяснено ниже).

В VA такие сущности, как псевдовекторы и псевдоскаляры необходимо закрепить , тогда как в GA эквивалентные бивектор и псевдовектор соответственно существуют естественным образом как подпространства алгебры.

Например, применение векторного исчисления в двух измерениях, например, для вычисления крутящего момента или вращения , требует добавления искусственного третьего измерения и расширения векторного поля, чтобы оно было постоянным в этом измерении, или, альтернативно, рассматривая их как скаляры. Тогда крутящий момент или ротор является нормальным векторным полем в этом третьем измерении. Напротив, геометрическая алгебра в двух измерениях определяет их как псевдоскалярное поле (бивектор), не требуя третьего измерения. Точно так же скалярное тройное произведение является специальным и вместо этого может быть выражено единообразно с использованием внешнего произведения и геометрического произведения.

Переводы между формализмами

Вот несколько сравнений между стандартными ${\mathbb {R} }^{3}$ векторные отношения и соответствующие им внешние произведения и эквиваленты геометрических произведений. Все внешние и геометрические эквиваленты продукта здесь подходят для более чем трех измерений, а некоторые и для двух. В двух измерениях векторное произведение не определено, даже если то, что оно описывает (например, крутящий момент), совершенно четко определено на плоскости без введения произвольного вектора нормали за пределами пространства.

Многие из этих отношений требуют только введения внешнего произведения для обобщения, но, поскольку это может быть не знакомо человеку, имеющему только опыт работы с векторной алгеброй и математическим анализом, приводятся некоторые примеры.

Крестовые и наружные изделия

Перекрестное произведение по отношению к внешнему произведению. Красным показаны ортогональный единичный вектор и «параллельный» единичный бивектор.

$\mathbf {u} \times \mathbf {v}$ перпендикулярен плоскости, содержащей $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$.
$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v}$ является ориентированным представлением одной и той же плоскости.

У нас есть псевдоскаляр $I=e_{1}e_{2}e_{3}$ (правая ортонормированная система координат) и так

$e_{1}I=Ie_{1}=e_{2}e_{3}$ возвращает бивектор и

$I(e_{2}\wedge e_{3})=Ie_{2}e_{3}=-e_{1}$ возвращает вектор, перпендикулярный $e_{2}\wedge e_{3}$ самолет.

Это дает удобное определение векторного произведения традиционной векторной алгебры:

${u}\times {v}=-I({u}\wedge {v})$

(это антисимметрично). Актуальным является различие между полярными и аксиальными векторами в векторной алгебре, которое естественно в геометрической алгебре, как различие между векторами и бивекторами (элементами второго класса).

The $I$ вот единичный псевдоскаляр евклидова 3-пространства, который устанавливает двойственность между векторами и бивекторами и назван так из-за ожидаемого свойства

$I^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{1}e_{2}e_{3}=-e_{1}e_{2}e_{1}e_{3}e_{2}e_{3}=e_{1}e_{1}e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2}e_{2}e_{3}=-1$

Эквивалентность $\mathbb {R} ^{3}$ перекрестное произведение и выражение внешнего произведения, приведенное выше, могут быть подтверждены прямым умножением $-I=-{e_{1}}{e_{2}}{e_{3}}$ с определяющим расширением внешнего продукта

$u\wedge v=\sum _{1\leq i<j\leq 3}(u_{i}v_{j}-v_{i}u_{j}){e_{i}}\wedge {e_{j}}=\sum _{1\leq i<j\leq 3}(u_{i}v_{j}-v_{i}u_{j}){e_{i}}{e_{j}}$

См. также Перекрестное произведение как внешнее произведение . По сути, геометрическое произведение бивектора и псевдоскаляра евклидова 3-мерного пространства обеспечивает метод вычисления двойственного Ходжа .

Крестовые и коммутаторные изделия

См. также: Взаимное произведение § Обозначение координат , Взаимное произведение § Взаимное произведение и направленность и Взаимное произведение § Коммутирующее произведение.

Псевдовекторная евклидова 3- мерного / бивекторная подалгебра геометрической алгебры пространства сама образует 3-мерное векторное пространство . Пусть стандартными единичными псевдовекторами/бивекторами подалгебры будут $\mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}}$, $\mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}}$, и $\mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}}$, а антикоммутативное коммутаторное произведение определяется как $A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)$, где $AB$ это геометрическое произведение . Коммутантное произведение дистрибутивно по сложению и линейно , так же как геометрическое произведение дистрибутивно по сложению и линейно.

Из определения коммутаторного произведения $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$ и $\mathbf {k}$ удовлетворяют следующим равенствам: $$\mathbf {i} \times \mathbf {j} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {i} \mathbf {j} -\mathbf {j} \mathbf {i} )={\tfrac {1}{2}}((\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} )=\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} =\mathbf {k}$$$$\mathbf {j} \times \mathbf {k} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {j} \mathbf {k} -\mathbf {k} \mathbf {j} )={\tfrac {1}{2}}((\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} -\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} +\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} +\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} +\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} )=\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} =\mathbf {i}$$$$\mathbf {k} \times \mathbf {i} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {k} \mathbf {i} -\mathbf {i} \mathbf {k} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} )=\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} =\mathbf {j}$$из которых следует, что в силу антикоммутативности коммутаторного произведения $$\mathbf {j} \times \mathbf {i} =-\mathbf {k}$$$$\mathbf {k} \times \mathbf {j} =-\mathbf {i}$$$$\mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j}$$

Из антикоммутативности коммутаторного произведения также следует, что $$\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =0$$

Этих равенств и свойств достаточно, чтобы определить коммутаторное произведение любых двух псевдовекторов/бивекторов. $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$. Поскольку псевдовекторы/бивекторы образуют векторное пространство, каждый псевдовектор/бивектор может быть определен как сумма трех ортогональных компонентов, параллельных стандартным базисным псевдовекторам/бивекторам: $$\mathbf {A} =(A_{1}\mathbf {i} +A_{2}\mathbf {j} +A_{3}\mathbf {k} )$$$$\mathbf {B} =(B_{1}\mathbf {i} +B_{2}\mathbf {j} +B_{3}\mathbf {k} )$$

Их коммутаторное произведение $\mathbf {A} \times \mathbf {B}$ можно расширить, используя его распределительное свойство: $${\begin{aligned}\mathbf {A} \times \mathbf {B} &=(A_{1}\mathbf {i} +A_{2}\mathbf {j} +A_{3}\mathbf {k} )\times (B_{1}\mathbf {i} +B_{2}\mathbf {j} +B_{3}\mathbf {k} )\\&=A_{1}B_{1}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{1}B_{2}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{1}B_{3}\mathbf {i} \times \mathbf {k} +A_{2}B_{1}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{2}B_{2}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{2}B_{3}\mathbf {j} \times \mathbf {k} +A_{3}B_{1}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{3}B_{2}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{3}B_{3}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\&=A_{1}B_{2}\mathbf {k} -A_{1}B_{3}\mathbf {j} -A_{2}B_{1}\mathbf {k} +A_{2}B_{3}\mathbf {i} +A_{3}B_{1}\mathbf {j} -A_{3}B_{2}\mathbf {i} =(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})\mathbf {i} +(A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})\mathbf {j} +(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})\mathbf {k} \end{aligned}}$$что и есть векторное произведение в векторной алгебре для псевдовекторов.

Норма вектора

Обычно:

${\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u}$

Используя геометрическое произведение и тот факт, что внешнее произведение вектора на самого себя равно нулю:

$\mathbf {u} \,\mathbf {u} ={\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}={\mathbf {u} }^{2}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u}$

тождество Лагранжа

В трех измерениях произведение двух длин векторов можно выразить через скалярное и векторное произведения.

${\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}{\Vert \mathbf {v} \Vert }^{2}=({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} })^{2}+{\Vert \mathbf {u} \times \mathbf {v} \Vert }^{2}$

Соответствующее обобщение, выраженное с использованием геометрического произведения, имеет вид

${\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}{\Vert \mathbf {v} \Vert }^{2}=({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} })^{2}-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )^{2}$

Это следует из разложения геометрического произведения пары векторов на ее обратную величину.

$(\mathbf {u} \mathbf {v} )(\mathbf {v} \mathbf {u} )=({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }+{\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} })({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }-{\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} })$

Определяющее расширение крестовых и клиновых изделий

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\sum _{i<j}{{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}{\mathbf {e} }_{i}\times {\mathbf {e} }_{j}}$

$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =\sum _{i<j}{{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}{\mathbf {e} }_{i}\wedge {\mathbf {e} }_{j}}$

В текстах по линейной алгебре часто используется определитель для решения линейных систем по правилу Крамера или для обращения матрицы.

Альтернативный подход состоит в том, чтобы аксиоматически ввести клиновое произведение, а затем продемонстрировать, что его можно использовать непосредственно для решения линейных систем. Это показано ниже, и для его понимания не требуются сложные математические навыки.

Тогда можно определить определители как не что иное, как коэффициенты клинового произведения в терминах «единичных k -векторов» ( ${\mathbf {e} }_{i}\wedge {\mathbf {e} }_{j}$ термины) расширения, как указано выше.

Однозначным определителем является коэффициент при $\mathbf {e} _{1}$ для $\mathbb {R} ^{1}$ 1-вектор.

Определитель два на два — это коэффициент при $\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}$ для $\mathbb {R} ^{2}$ бивектор

Определитель три на три — это коэффициент при $\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$ для $\mathbb {R} ^{3}$ тривектор

...

Когда решение линейной системы вводится через клиновое произведение, правило Крамера следует как побочный эффект, и нет необходимости доводить до конечных результатов определения миноров, матриц, обратимости матриц, сопряженных, кофакторов, разложений Лапласа, теорем. об умножении определителей и обмене столбцами строк и т. д.

Связанные с матрицей

Обращение матрицы (правило Крамера) и определители естественным образом выражаются через произведение клина.

Использование клинового произведения при решении линейных уравнений может быть весьма полезным для расчета различных геометрических произведений.

Традиционно вместо использования клинового произведения правило Крамера обычно представляется как общий алгоритм, который можно использовать для решения линейных уравнений вида $Ax=b$ (или, что то же самое, инвертировать матрицу). А именно

$x={\frac {1}{|A|}}\operatorname {adj} (A)b.$

Это полезный теоретический результат. Для числовых задач сокращение строк с помощью поворотов и других методов более стабильно и эффективно.

Когда произведение клина соединяется с произведением Клиффорда и помещается в естественный геометрический контекст, тот факт, что определители используются в выражении ${\mathbb {R} }^{N}$ Площадь параллелограмма и объемы параллелепипедов (и их многомерные обобщения) также являются приятным побочным эффектом.

Как также показано ниже, такие результаты, как правило Крамера, также следуют непосредственно из выбора неидентичных элементов в клиновом произведении. Тогда результат будет достаточно простым, и его можно будет легко получить, если потребуется, вместо того, чтобы запоминать или искать правило.

Пример двух переменных

${\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=ax+by=c.$

До и после умножения на $a$ и $b$,

$(ax+by)\wedge b=(a\wedge b)x=c\wedge b$

$a\wedge (ax+by)=(a\wedge b)y=a\wedge c$

Предоставил $a\wedge b\neq 0$ решение

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{a\wedge b}}{\begin{bmatrix}c\wedge b\\a\wedge c\end{bmatrix}}.$

Для $a,b\in {\mathbb {R} }^{2}$, это правило Крамера, поскольку ${e}_{1}\wedge {e}_{2}$ Факторы клиновых продуктов

$u\wedge v={\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}{e}_{1}\wedge {e}_{2}$

разделить.

Аналогично, для трех или N переменных справедливы те же идеи.

${\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=d$

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {1}{a\wedge b\wedge c}}{\begin{bmatrix}d\wedge b\wedge c\\a\wedge d\wedge c\\a\wedge b\wedge d\end{bmatrix}}$

Опять же, для случая трех переменных и трех уравнений это правило Крамера, поскольку ${e}_{1}\wedge {e}_{2}\wedge {e}_{3}$ Факторы всех произведений клина разделяются, оставляя знакомые детерминанты.

Числовой пример с тремя уравнениями и двумя неизвестными:Если уравнений больше, чем переменных, и уравнения имеют решение, то каждое из частных k-вектора будет скаляром.

В качестве иллюстрации приведем решение простого примера с тремя уравнениями и двумя неизвестными.

${\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}y={\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}}$

Правильный клиновой продукт с $(1,1,1)$ решает для $x$

${\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}x={\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}$

и левое клиновое произведение с $(1,1,0)$ решает для $y$

${\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}y={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}}.$

Обратите внимание, что оба эти уравнения имеют один и тот же множитель, поэтомуэто можно вычислить только один раз (если бы это было ноль, это было быуказать, что система уравнений не имеет решения).

Сбор результатов для $x$ и $y$ дает форму, подобную правилу Крамера:

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{(1,1,0)\wedge (1,1,1)}}{\begin{bmatrix}(1,1,2)\wedge (1,1,1)\\(1,1,0)\wedge (1,1,2)\end{bmatrix}}.$

Письмо ${e}_{i}\wedge {e}_{j}={e}_{ij}$, имеем результат:

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{{e}_{13}+{e}_{23}}}{\begin{bmatrix}{-{e}_{13}-{e}_{23}}\\{2{e}_{13}+2{e}_{23}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}.$

Уравнение плоскости

Для плоскости всех точек ${\mathbf {r} }$ через плоскость, проходящую через три независимые точки ${\mathbf {r} }_{0}$, ${\mathbf {r} }_{1}$, и ${\mathbf {r} }_{2}$, нормальная форма уравнения равна

$(({\mathbf {r} }_{2}-{\mathbf {r} }_{0})\times ({\mathbf {r} }_{1}-{\mathbf {r} }_{0}))\cdot ({\mathbf {r} }-{\mathbf {r} }_{0})=0.$

Эквивалентное уравнение клинового произведения:

$({\mathbf {r} }_{2}-{\mathbf {r} }_{0})\wedge ({\mathbf {r} }_{1}-{\mathbf {r} }_{0})\wedge ({\mathbf {r} }-{\mathbf {r} }_{0})=0.$

Проекция и отвержение

Используя процесс Грама – Шмидта, один вектор можно разложить на два компонента относительно опорного вектора, а именно на проекцию на единичный вектор в опорном направлении и на разницу между вектором и этой проекцией.

С, ${\hat {u}}=u/{\Vert u\Vert }$, проекция $v$ на ${\hat {u}}$ является

$\mathrm {Proj} _{\hat {u}}\,{v}={\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)$

Ортогональной этому вектору является разность, обозначаемая отказом,

$v-{\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)={\frac {1}{{\Vert u\Vert }^{2}}}({\Vert u\Vert }^{2}v-u(u\cdot v))$

Отказ может быть выражен как единое геометрическо-алгебраическое произведение несколькими разными способами.

${\frac {u}{{u}^{2}}}(uv-u\cdot v)={\frac {1}{u}}(u\wedge v)={\hat {u}}({\hat {u}}\wedge v)=(v\wedge {\hat {u}}){\hat {u}}$

Заметно сходство формы проекции и отклонения. Сумма этих значений восстанавливает исходный вектор.

$v={\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)+{\hat {u}}({\hat {u}}\wedge v)$

Здесь проекция имеет привычную векторную форму. Возможна альтернативная формулировка, придающая проекции форму, отличную от обычной векторной формулировки.

$v={\frac {1}{u}}({u}\cdot v)+{\frac {1}{u}}({u}\wedge v)=({v}\cdot u){\frac {1}{u}}+(v\wedge u){\frac {1}{u}}$

Возвращаясь к результату, можно заметить, что этот результат ортогонального разложения на самом деле может более непосредственно следовать из определения самого геометрического произведения.

$v={\hat {u}}{\hat {u}}v={\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v+{\hat {u}}\wedge v)$

При таком подходе исходные геометрические соображения не обязательно очевидны, но это гораздо более быстрый способ получить тот же алгебраический результат.

Однако намек на то, что можно работать в обратном направлении, в сочетании со знанием того, что клиновое произведение можно использовать для решения систем линейных уравнений (см.: [1] ), позволяет напрямую поставить задачу ортогонального разложения:

Позволять $v=au+x$, где $u\cdot x=0$. Чтобы отказаться от частей $v$ которые коллинеарны с $u$, возьмите внешний продукт

$u\wedge v=u\wedge (au+x)=u\wedge x$

Здесь можно использовать геометрическое произведение

$u\wedge v=u\wedge x=ux-u\cdot x=ux$

Поскольку геометрическое произведение обратимо, его можно решить для x :

$x={\frac {1}{u}}(u\wedge v).$

Те же методы можно применить к аналогичным задачам, например, к вычислению компоненты вектора в плоскости и перпендикулярно плоскости.

Для трех измерений проективные и отвергающие компоненты вектора по отношению к произвольному ненулевому единичному вектору могут быть выражены через точку и векторное произведение.

$\mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {u} }}){\hat {\mathbf {u} }}+{\hat {\mathbf {u} }}\times (\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {u} }}).$

В общем случае тот же результат можно записать через скалярное и клиновое произведение, а также его геометрическое произведение и единичный вектор.

$\mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {u} }}){\hat {\mathbf {u} }}+(\mathbf {v} \wedge {\hat {\mathbf {u} }}){\hat {\mathbf {u} }}.$

Также стоит отметить, что этот результат также можно выразить с помощью правого или левого векторного деления, как это определено геометрическим произведением:

$\mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ){\frac {1}{\mathbf {u} }}+(\mathbf {v} \wedge \mathbf {u} ){\frac {1}{\mathbf {u} }}$

$\mathbf {v} ={\frac {1}{\mathbf {u} }}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+{\frac {1}{\mathbf {u} }}(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} ).$

Подобно векторной проекции и отклонению, многомерные аналоги этого расчета также возможны с использованием геометрического произведения.

Например, можно вычислить компонент вектора, перпендикулярного плоскости, и проекцию этого вектора на плоскость.

Позволять $w=au+bv+x$, где $u\cdot x=v\cdot x=0$. Как и выше, чтобы отбросить части $w$ которые коллинеарны с $u$ или $v$, возьмем клиновое произведение

$w\wedge u\wedge v=(au+bv+x)\wedge u\wedge v=x\wedge u\wedge v.$

Проделав этот расчет с векторной проекцией, можно догадаться, что эта величина равна $x(u\wedge v)$. Можно также догадаться, что существует скалярное произведение вектора и бивектора , такое, что позволяет вычислить компонент вектора, который находится в «направлении плоскости». Обе эти догадки верны, и проверка этих фактов имеет смысл. Однако, немного забегая вперед, отметим, что этот недоказанный факт позволяет получить хорошее решение в замкнутой форме векторной компоненты вне плоскости:

$x=(w\wedge u\wedge v){\frac {1}{u\wedge v}}={\frac {1}{u\wedge v}}(u\wedge v\wedge w).$

Обратите внимание на сходство между этим результатом плоского отклонения и результатом векторного отклонения. Чтобы вычислить компонент вектора вне плоскости, мы берем объем, натянутый на три вектора (тривектор), и «делим» плоскость.

Независимо от какого-либо использования геометрического произведения можно показать, что этот отказ с точки зрения стандартного базиса является

$x={\frac {1}{(A_{u,v})^{2}}}\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\{e}_{i}&{e}_{j}&{e}_{k}\\\end{vmatrix}}$

где

$(A_{u,v})^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}=-(u\wedge v)^{2}$

- квадрат площади параллелограмма, образованного $u$, и $v$.

Величина (квадратная) $x$ является

${\Vert x\Vert }^{2}=x\cdot w={\frac {1}{(A_{u,v})^{2}}}\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}^{2}$

Таким образом, (квадрат) объема параллелепипеда (площадь основания, умноженная на перпендикулярную высоту) равен

$\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}^{2}$

Обратите внимание на сходство формы с w , u , v. самим тривектором

$\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}{e}_{i}\wedge {e}_{j}\wedge {e}_{k},$

что, если взять набор ${e}_{i}\wedge {e}_{j}\wedge {e}_{k}$ в качестве основы тривекторного пространства, предполагает, что это естественный способ определения меры тривектора. Грубо говоря, мерой вектора является длина, мерой бивектора — площадь, а мерой тривектора — объём.

Если вектор разлагается непосредственно на проективные и отвергающие члены с использованием геометрического произведения $v={\frac {1}{u}}(u\cdot v+u\wedge v)$, то не обязательно очевидно, что член отклонения, произведение вектора и бивектора, является даже вектором. Разложение векторного бивекторного произведения по стандартным базисным векторам имеет следующий вид

Позволять $r={\frac {1}{u}}(u\wedge v)={\frac {u}{u^{2}}}(u\wedge v)={\frac {1}{{\Vert u\Vert }^{2}}}u(u\wedge v)$

Можно показать, что

$r={\frac {1}{{\Vert {u}\Vert }^{2}}}\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\e_{i}&e_{j}\end{vmatrix}}$

(результат, который легче показать прямо из $r=v-{\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)$).

Отклоняющий член перпендикулярен $u$, с ${\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\u_{i}&u_{j}\end{vmatrix}}=0$ подразумевает $r\cdot u=0$.

Величина $r$ является

${\Vert r\Vert }^{2}=r\cdot v={\frac {1}{{\Vert {u}\Vert }^{2}}}\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2}.$

Итак, количество

${\Vert r\Vert }^{2}{\Vert {u}\Vert }^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2}$

- квадрат площади параллелограмма, образованного $u$ и $v$.

Примечательно также, что бивектор можно выразить как

$u\wedge v=\sum _{i<j}{{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}e_{i}\wedge e_{j}}.$

Таким образом, естественно, если рассматривать каждый термин $e_{i}\wedge e_{j}$ в качестве базисного вектора бивекторного пространства, чтобы определить (квадратную) «длину» этого бивектора как (квадратную) площадь.

Возвращаясь к выражению геометрического произведения для длины отклонения ${\frac {1}{u}}(u\wedge v)$ мы видим, что длина частного, вектора, в данном случае равна «длине» бивектора, деленной на длину делителя.

Возможно, это не общий результат для длины произведения двух k -векторов , однако это результат, который может помочь получить некоторое представление о значении алгебраических операций. А именно,

Когда вектор разделяется на плоскость (отрезок параллелограмма), образованную из него и другого вектора, остается перпендикулярная составляющая оставшегося вектора, а его длина - это плоская площадь, деленная на длину разделенного вектора.

Площадь параллелограмма, определяемого u и v

Если A — площадь параллелограмма, определяемая u и v , то

$A^{2}={\Vert \mathbf {u} \times \mathbf {v} \Vert }^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2},$

и

$A^{2}=-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2}.$

Обратите внимание, что этот квадрат бивектора представляет собой геометрическое умножение; альтернативно это вычисление можно сформулировать как определитель Грама двух векторов.

Угол между двумя векторами

$({\sin \theta })^{2}={\frac {{\Vert \mathbf {u} \times \mathbf {v} \Vert }^{2}}{{\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}{\Vert \mathbf {v} \Vert }^{2}}}$

$({\sin \theta })^{2}=-{\frac {(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )^{2}}{{\mathbf {u} }^{2}{\mathbf {v} }^{2}}}$

Объем параллелепипеда, образованного тремя векторами

В векторной алгебре объем параллелепипеда определяется квадратным корнем из квадрата нормы скалярного тройного произведения : $$V^{2}={\Vert (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} \Vert }^{2}={\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\\\end{vmatrix}}^{2}$$$$V^{2}=-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} )^{2}=-\left(\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\w_{i}&w_{j}&w_{k}\\\end{vmatrix}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\right)^{2}=\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\w_{i}&w_{j}&w_{k}\\\end{vmatrix}}^{2}$$

Произведение вектора и бивектора

Чтобы обосновать приведенный выше результат нормали к плоскости, требуется общее исследование произведения вектора и бивектора. А именно, $$w(u\wedge v)=\sum _{i,j<k}w_{i}{e}_{i}{\begin{vmatrix}u_{j}&u_{k}\\v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}{e}_{j}\wedge {e}_{k}$$

Он состоит из двух частей: векторной части, где $i=j$ или $i=k$и части тривектора, у которых нет одинаковых индексов. После некоторых хитростей с суммированием индексов, группировкой терминов и т. д. это $$w(u\wedge v)=\sum _{i<j}(w_{i}e_{j}-w_{j}e_{i}){\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}+\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\end{vmatrix}}{e}_{i}\wedge {e}_{j}\wedge {e}_{k}$$

Тривекторный термин $w\wedge u\wedge v$. Расширение $(u\wedge v)w$ дает тот же тривекторный член (это полностью симметричная часть), а векторный член инвертируется. Подобно геометрическому произведению двух векторов, это геометрическое произведение можно сгруппировать на симметричную и антисимметричную части, одна из которых является чистым k-вектором. По аналогии антисимметричную часть этого произведения можно назвать обобщенным скалярным произведением, и, грубо говоря, это скалярное произведение «плоскости» (бивектора) и вектора.

Свойства этого обобщенного скалярного произведения еще предстоит изучить, но сначала приведем краткое описание обозначений. $$w(u\wedge v)=w\cdot (u\wedge v)+w\wedge u\wedge v$$$$(u\wedge v)w=-w\cdot (u\wedge v)+w\wedge u\wedge v$$$$w\wedge u\wedge v={\frac {1}{2}}(w(u\wedge v)+(u\wedge v)w)$$$$w\cdot (u\wedge v)={\frac {1}{2}}(w(u\wedge v)-(u\wedge v)w)$$

Позволять $w=x+y$, где $x=au+bv$, и $y\cdot u=y\cdot v=0$. Выражение $w$ и $u\wedge v$, продукция с точки зрения этих компонентов $$w(u\wedge v)=x(u\wedge v)+y(u\wedge v)=x\cdot (u\wedge v)+y\cdot (u\wedge v)+y\wedge u\wedge v$$

С учетом приведенных выше условий и определений, а также некоторых манипуляций можно показать, что термин $y\cdot (u\wedge v)=0$, что затем оправдывает предыдущее решение задачи о нормали к плоскости. Поскольку векторный член векторного бивекторного произведения, имя скалярного произведения, равно нулю, когда вектор перпендикулярен плоскости (бивектор), и этот вектор, бивекторное «скалярное произведение» выбирает только те компоненты, которые находятся в плоскости, поэтому по аналогии с скалярное произведение вектор-вектор само по себе это название оправдано не только тем фактом, что это термин, не относящийся к клиновому произведению геометрического вектор-бивекторного произведения.

Производная единичного вектора

Можно показать, что производную единичного вектора можно выразить с помощью векторного произведения

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{\Vert \mathbf {r} \Vert }}\right)={\frac {1}{{\Vert \mathbf {r} \Vert }^{3}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times \mathbf {r} =\left({\hat {\mathbf {r} }}\times {\frac {1}{\Vert \mathbf {r} \Vert }}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times {\hat {\mathbf {r} }}$

Эквивалентное обобщение геометрического произведения:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{\Vert \mathbf {r} \Vert }}\right)={\frac {1}{{\Vert \mathbf {r} \Vert }^{3}}}\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \wedge {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)={\frac {1}{\mathbf {r} }}\left({\hat {\mathbf {r} }}\wedge {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)$

Таким образом, эта производная является компонентом ${\frac {1}{\Vert \mathbf {r} \Vert }}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$ в направлении, перпендикулярном $\mathbf {r}$. Другими словами, это ${\frac {1}{\Vert \mathbf {r} \Vert }}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$ минус проекция этого вектора на ${\hat {\mathbf {r} }}$.

Интуитивно это имеет смысл (но поможет изображение), поскольку единичный вектор ограничен круговым движением, и любое изменение единичного вектора из-за изменения его порождающего вектора должно происходить в направлении отказа от ${\hat {\mathbf {r} }}$ от ${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$. Это отклонение должно быть масштабировано на 1/|r| чтобы получить окончательный результат.

Когда цель не заключается в сравнении векторного произведения, также примечательно, что эту производную единичного вектора можно записать

${\mathbf {r} }{\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\hat {\mathbf {r} }}\wedge {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$

См. также

• Геометрическая алгебра
• Бивектор

Ссылки и дальнейшее чтение

• Волд, Терье Г. (1993), «Введение в геометрическую алгебру с применением в механике твердого тела» (PDF) , Американский журнал физики , 61 (6): 491, Bibcode : 1993AmJPh..61..491V , doi : 10.1119/1.17201
• Галл, Сан-Франциско; Ласенби, АН; Доран, C:J:L (1993), Мнимые числа нереальны - геометрическая алгебра пространства-времени (PDF)