Эта статья суммирует несколько тождеств во внешнем исчислении , математической записи, используемой в дифференциальной геометрии . [1] [2] [3] [4] [5]
Ниже приведены краткие определения и обозначения, используемые в этой статье.
M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} n {\displaystyle n} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } дифференцируемые многообразия , которые можно дифференцировать достаточное количество раз для целей этой страницы.
p ∈ M {\displaystyle p\in M} q ∈ N {\displaystyle q\in N}
Граница многообразия M {\displaystyle M} ∂ M {\displaystyle \partial M} n − 1 {\displaystyle n-1} M {\displaystyle M} ∂ M {\displaystyle \partial M}
Обычно мы обозначаем подмногообразие через Σ ⊂ M {\displaystyle \Sigma \subset M}
T M {\displaystyle TM} T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} касательное расслоение и кокасательное расслоение соответственно гладкого многообразия M {\displaystyle M}
T p M {\displaystyle T_{p}M} T q N {\displaystyle T_{q}N} пространства касательные M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} T p ∗ M {\displaystyle T_{p}^{*}M} пространство котангенс M {\displaystyle M} p {\displaystyle p}
Сечения касательных расслоений, также известные как векторные поля , обычно обозначаются как X , Y , Z ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X,Y,Z\in \Gamma (TM)} p ∈ M {\displaystyle p\in M} X | p , Y | p , Z | p ∈ T p M {\displaystyle X|_{p},Y|_{p},Z|_{p}\in T_{p}M} дифференциальные 1-формы (или ковекторные поля), обычно обозначаются как α , β ∈ Γ ( T ∗ M ) {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Gamma (T^{*}M)} p ∈ M {\displaystyle p\in M} α | p , β | p ∈ T p ∗ M {\displaystyle \alpha |_{p},\beta |_{p}\in T_{p}^{*}M} Γ ( T ∗ M ) {\displaystyle \Gamma (T^{*}M)} Ω 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M)}
Дифференциал k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} дифференциальными формами, определенными на T M {\displaystyle TM} k {\displaystyle k} Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} 0 ≤ k , l , m ≤ n {\displaystyle 0\leq k,\ l,\ m\leq n} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} β ∈ Ω l ( M ) {\displaystyle \beta \in \Omega ^{l}(M)} γ ∈ Ω m ( M ) {\displaystyle \gamma \in \Omega ^{m}(M)}
0 {\displaystyle 0} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} M {\displaystyle M} 1 ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle \mathbf {1} \in \Omega ^{0}(M)} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1}
Когда нам дают ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} X 0 , … , X k {\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{k}} k {\displaystyle k} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} i {\displaystyle i}
α ( X 0 , … , X ^ i , … , X k ) := α ( X 0 , … , X i − 1 , X i + 1 , … , X k ) . {\displaystyle \alpha (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}):=\alpha (X_{0},\ldots ,X_{i-1},X_{i+1},\ldots ,X_{k}).} Внешний продукт также известен как продукт-клин . Это обозначается ∧ : Ω k ( M ) × Ω l ( M ) → Ω k + l ( M ) {\displaystyle \wedge :\Omega ^{k}(M)\times \Omega ^{l}(M)\rightarrow \Omega ^{k+l}(M)} k {\displaystyle k} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} l {\displaystyle l} β ∈ Ω l ( M ) {\displaystyle \beta \in \Omega ^{l}(M)} ( k + l ) {\displaystyle (k+l)} α ∧ β ∈ Ω k + l ( M ) {\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+l}(M)} S ( k , k + l ) {\displaystyle S(k,k+l)} σ {\displaystyle \sigma } { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\ldots ,n\}} σ ( 1 ) < … < σ ( k ) , σ ( k + 1 ) < … < σ ( k + l ) {\displaystyle \sigma (1)<\ldots <\sigma (k),\ \sigma (k+1)<\ldots <\sigma (k+l)}
( α ∧ β ) ( X 1 , … , X k + l ) = ∑ σ ∈ S ( k , k + l ) sign ( σ ) α ( X σ ( 1 ) , … , X σ ( k ) ) ⊗ β ( X σ ( k + 1 ) , … , X σ ( k + l ) ) . {\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(X_{1},\ldots ,X_{k+l})=\sum _{\sigma \in S(k,k+l)}{\text{sign}}(\sigma )\alpha (X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (k)})\otimes \beta (X_{\sigma (k+1)},\ldots ,X_{\sigma (k+l)}).} Производная по направлению 0-формы f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (TM)} ∂ X f . {\displaystyle \partial _{X}f.}
Внешняя производная d k : Ω k ( M ) → Ω k + 1 ( M ) {\displaystyle d_{k}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)} 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n}
Для 0 {\displaystyle 0} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} d 0 f ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle d_{0}f\in \Omega ^{1}(M)} 1 {\displaystyle 1} X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (TM)} ( d 0 f ) ( X ) = ∂ X f {\displaystyle (d_{0}f)(X)=\partial _{X}f} производная по направлению f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} [6]
Для 0 < k ≤ n {\displaystyle 0<k\leq n} [6]
( d k ω ) ( X 0 , … , X k ) = ∑ 0 ≤ j ≤ k ( − 1 ) j d 0 ( ω ( X 0 , … , X ^ j , … , X k ) ) ( X j ) + ∑ 0 ≤ i < j ≤ k ( − 1 ) i + j ω ( [ X i , X j ] , X 0 , … , X ^ i , … , X ^ j , … , X k ) . {\displaystyle (d_{k}\omega )(X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d_{0}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}).} Скобка Лиев секций X , Y ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X,Y\in \Gamma (TM)} [ X , Y ] ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle [X,Y]\in \Gamma (TM)}
∀ f ∈ Ω 0 ( M ) ⇒ ∂ [ X , Y ] f = ∂ X ∂ Y f − ∂ Y ∂ X f . {\displaystyle \forall f\in \Omega ^{0}(M)\Rightarrow \partial _{[X,Y]}f=\partial _{X}\partial _{Y}f-\partial _{Y}\partial _{X}f.} Если ϕ : M → N {\displaystyle \phi :M\rightarrow N} d ϕ | p : T p M → T ϕ ( p ) N {\displaystyle d\phi |_{p}:T_{p}M\rightarrow T_{\phi (p)}N} M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} γ {\displaystyle \gamma } M {\displaystyle M} γ ′ ( 0 ) = X ∈ T p M {\displaystyle \gamma '(0)=X\in T_{p}M}
d ϕ ( X ) := ( ϕ ∘ γ ) ′ . {\displaystyle d\phi (X):=(\phi \circ \gamma )'.} Обратите внимание, что ϕ {\displaystyle \phi } 0 {\displaystyle 0} N {\displaystyle N}
Если ϕ : M → N {\displaystyle \phi :M\rightarrow N} обратный путь k {\displaystyle k} α ∈ Ω k ( N ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(N)} k {\displaystyle k} Σ ⊂ M {\displaystyle \Sigma \subset M}
∫ Σ ϕ ∗ α = ∫ ϕ ( Σ ) α . {\displaystyle \int _{\Sigma }\phi ^{*}\alpha =\int _{\phi (\Sigma )}\alpha .} Откат также может быть выражен как
( ϕ ∗ α ) ( X 1 , … , X k ) = α ( d ϕ ( X 1 ) , … , d ϕ ( X k ) ) . {\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (d\phi (X_{1}),\ldots ,d\phi (X_{k})).} Также известный как внутренняя производная, продукт интерьера, имеющий раздел Y ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle Y\in \Gamma (TM)} ι Y : Ω k + 1 ( M ) → Ω k ( M ) {\displaystyle \iota _{Y}:\Omega ^{k+1}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)} ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} Y {\displaystyle Y} α ∈ Ω k + 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k+1}(M)} X i ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X_{i}\in \Gamma (TM)}
( ι Y α ) ( X 1 , … , X k ) = α ( Y , X 1 , … , X k ) . {\displaystyle (\iota _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (Y,X_{1},\ldots ,X_{k}).} Учитывая невырожденную билинейную форму g p ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle g_{p}(\cdot ,\cdot )} T p M {\displaystyle T_{p}M} M {\displaystyle M} псевдоримановым многообразием . Обозначим метрический тензор g {\displaystyle g} g ( X , Y ) | p = g p ( X | p , Y | p ) {\displaystyle g(X,Y)|_{p}=g_{p}(X|_{p},Y|_{p})} s = sign ( g ) {\displaystyle s=\operatorname {sign} (g)} метрики . Риманово многообразие имеет s = 1 {\displaystyle s=1} пространство Минковского имеет s = − 1 {\displaystyle s=-1}
Метрический тензор g ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle g(\cdot ,\cdot )} музыкальные изоморфизмы плоские ♭ {\displaystyle \flat } ♯ {\displaystyle \sharp } A ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle A\in \Gamma (TM)} A ♭ ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle A^{\flat }\in \Omega ^{1}(M)} X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (TM)}
A ♭ ( X ) = g ( A , X ) . {\displaystyle A^{\flat }(X)=g(A,X).} Одна форма α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} α ♯ ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle \alpha ^{\sharp }\in \Gamma (TM)} X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (TM)}
α ( X ) = g ( α ♯ , X ) . {\displaystyle \alpha (X)=g(\alpha ^{\sharp },X).} Эти отображения посредством полилинейности распространяются на отображения из k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k}
( A 1 ∧ A 2 ∧ ⋯ ∧ A k ) ♭ = A 1 ♭ ∧ A 2 ♭ ∧ ⋯ ∧ A k ♭ {\displaystyle (A_{1}\wedge A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{k})^{\flat }=A_{1}^{\flat }\wedge A_{2}^{\flat }\wedge \cdots \wedge A_{k}^{\flat }} ( α 1 ∧ α 2 ∧ ⋯ ∧ α k ) ♯ = α 1 ♯ ∧ α 2 ♯ ∧ ⋯ ∧ α k ♯ . {\displaystyle (\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})^{\sharp }=\alpha _{1}^{\sharp }\wedge \alpha _{2}^{\sharp }\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{\sharp }.} Для n -многообразия M оператор звезды Ходжа ⋆ : Ω k ( M ) → Ω n − k ( M ) {\displaystyle {\star }:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{n-k}(M)} k {\displaystyle k} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} ( n − k ) {\displaystyle (n{-}k)} ( ⋆ α ) ∈ Ω n − k ( M ) {\displaystyle ({\star }\alpha )\in \Omega ^{n-k}(M)}
Его можно определить в терминах ориентированной системы координат. ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})} T M {\displaystyle TM} g {\displaystyle g}
( ⋆ α ) ( X 1 , … , X n − k ) = α ( X n − k + 1 , … , X n ) . {\displaystyle ({\star }\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{n-k})=\alpha (X_{n-k+1},\ldots ,X_{n}).} Кодифференциальный оператор δ : Ω k ( M ) → Ω k − 1 ( M ) {\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)} n {\displaystyle n} M {\displaystyle M}
δ := ( − 1 ) k ⋆ − 1 d ⋆ = ( − 1 ) n k + n + 1 ⋆ d ⋆ . {\displaystyle \delta :=(-1)^{k}{\star }^{-1}d{\star }=(-1)^{nk+n+1}{\star }d{\star }.} Оператор Ходжа – Дирака d + δ {\displaystyle d+\delta } оператор Дирака , изучаемый в анализе Клиффорда .
Ан n {\displaystyle n} ориентируемое многообразие M — это многообразие, которое можно снабдить выбором n -формы μ ∈ Ω n ( M ) {\displaystyle \mu \in \Omega ^{n}(M)} M .
На ориентируемом многообразии M {\displaystyle M} формы объема с учетом метрического тензора g {\displaystyle g} ориентация d e t := | det g | d X 1 ♭ ∧ … ∧ d X n ♭ {\displaystyle \mathbf {det} :={\sqrt {|\det g|}}\;dX_{1}^{\flat }\wedge \ldots \wedge dX_{n}^{\flat }} d X 1 , … , d X n {\displaystyle dX_{1},\ldots ,dX_{n}}
Учитывая объемную форму d e t {\displaystyle \mathbf {det} } N {\displaystyle N} σ := ι N det {\displaystyle \sigma :=\iota _{N}{\textbf {det}}} границе ∂ M . {\displaystyle \partial M.}
Обобщение метрического тензора, симметричной билинейной формы между двумя k {\displaystyle k} α , β ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega ^{k}(M)} поточечно на M {\displaystyle M}
⟨ α , β ⟩ | p := ⋆ ( α ∧ ⋆ β ) | p . {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle |_{p}:={\star }(\alpha \wedge {\star }\beta )|_{p}.} The L 2 {\displaystyle L^{2}} k {\displaystyle k} Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)}
⟨ ⟨ α , β ⟩ ⟩ := ∫ M α ∧ ⋆ β . {\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle :=\int _{M}\alpha \wedge {\star }\beta .} В случае риманова многообразия каждое из них является скалярным произведением (т. е. положительно определено).
Определим производную Ли L : Ω k ( M ) → Ω k ( M ) {\displaystyle {\mathcal {L}}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)} волшебную формулу Картана для данного раздела X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma (TM)}
L X = d ∘ ι X + ι X ∘ d . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=d\circ \iota _{X}+\iota _{X}\circ d.} Он описывает изменение k {\displaystyle k} течению ϕ t {\displaystyle \phi _{t}} X {\displaystyle X}
Лапласиан Δ : Ω k ( M ) → Ω k ( M ) {\displaystyle \Delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)} Δ = − ( d δ + δ d ) {\displaystyle \Delta =-(d\delta +\delta d)}
α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}
закрыто , если d α = 0 {\displaystyle d\alpha =0} точно, если α = d β {\displaystyle \alpha =d\beta } β ∈ Ω k − 1 {\displaystyle \beta \in \Omega ^{k-1}} закрыто, если δ α = 0 {\displaystyle \delta \alpha =0} соточно, если α = δ β {\displaystyle \alpha =\delta \beta } β ∈ Ω k + 1 {\displaystyle \beta \in \Omega ^{k+1}} гармоничный, если закрыт и закрыт The k {\displaystyle k} когомология многообразия M {\displaystyle M} d 0 , … , d n − 1 {\displaystyle d_{0},\ldots ,d_{n-1}}
H k ( M ) := ker ( d k ) im ( d k − 1 ) {\displaystyle H^{k}(M):={\frac {{\text{ker}}(d_{k})}{{\text{im}}(d_{k-1})}}} Два закрытых k {\displaystyle k} α , β ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega ^{k}(M)}
[ α ] = [ β ] ⟺ α − β = d η for some η ∈ Ω k − 1 ( M ) {\displaystyle [\alpha ]=[\beta ]\ \ \Longleftrightarrow \ \ \alpha {-}\beta =d\eta \ {\text{ for some }}\eta \in \Omega ^{k-1}(M)} Замкнутая поверхность рода g {\displaystyle g} 2 g {\displaystyle 2g}
Данный α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} энергия Дирихле равна
E D ( α ) := 1 2 ⟨ ⟨ d α , d α ⟩ ⟩ + 1 2 ⟨ ⟨ δ α , δ α ⟩ ⟩ {\displaystyle {\mathcal {E}}_{\text{D}}(\alpha ):={\dfrac {1}{2}}\langle \!\langle d\alpha ,d\alpha \rangle \!\rangle +{\dfrac {1}{2}}\langle \!\langle \delta \alpha ,\delta \alpha \rangle \!\rangle } ∫ Σ d α = ∫ ∂ Σ α {\displaystyle \int _{\Sigma }d\alpha =\int _{\partial \Sigma }\alpha } теорема Стокса d ∘ d = 0 {\displaystyle d\circ d=0} коцепной комплекс d ( α ∧ β ) = d α ∧ β + ( − 1 ) k α ∧ d β {\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta } α ∈ Ω k ( M ) , β ∈ Ω l ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)} правило Лейбница ) d f ( X ) = ∂ X f {\displaystyle df(X)=\partial _{X}f} f ∈ Ω 0 ( M ) , X ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M),\ X\in \Gamma (TM)} производная по направлению d α = 0 {\displaystyle d\alpha =0} α ∈ Ω n ( M ) , dim ( M ) = n {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{n}(M),\ {\text{dim}}(M)=n} α ∧ β = ( − 1 ) k l β ∧ α {\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kl}\beta \wedge \alpha } α ∈ Ω k ( M ) , β ∈ Ω l ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)} поочередно ( α ∧ β ) ∧ γ = α ∧ ( β ∧ γ ) {\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \gamma =\alpha \wedge (\beta \wedge \gamma )} ассоциативность ) ( λ α ) ∧ β = λ ( α ∧ β ) {\displaystyle (\lambda \alpha )\wedge \beta =\lambda (\alpha \wedge \beta )} λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } совместимость скалярного умножения ) α ∧ ( β 1 + β 2 ) = α ∧ β 1 + α ∧ β 2 {\displaystyle \alpha \wedge (\beta _{1}+\beta _{2})=\alpha \wedge \beta _{1}+\alpha \wedge \beta _{2}} распределение по сложению ) α ∧ α = 0 {\displaystyle \alpha \wedge \alpha =0} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} k {\displaystyle k} rank α ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {rank} \alpha \leq 1} А k {\displaystyle k} α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } d ( ϕ ∗ α ) = ϕ ∗ ( d α ) {\displaystyle d(\phi ^{*}\alpha )=\phi ^{*}(d\alpha )} коммутативно с d {\displaystyle d} ) ϕ ∗ ( α ∧ β ) = ( ϕ ∗ α ) ∧ ( ϕ ∗ β ) {\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=(\phi ^{*}\alpha )\wedge (\phi ^{*}\beta )} распределяется по ∧ {\displaystyle \wedge } ) ( ϕ 1 ∘ ϕ 2 ) ∗ = ϕ 2 ∗ ϕ 1 ∗ {\displaystyle (\phi _{1}\circ \phi _{2})^{*}=\phi _{2}^{*}\phi _{1}^{*}} контравариант ) ϕ ∗ f = f ∘ ϕ {\displaystyle \phi ^{*}f=f\circ \phi } f ∈ Ω 0 ( N ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(N)} композиция функций ) ( X ♭ ) ♯ = X {\displaystyle (X^{\flat })^{\sharp }=X} ( α ♯ ) ♭ = α {\displaystyle (\alpha ^{\sharp })^{\flat }=\alpha } ι X ∘ ι X = 0 {\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0} нильпотент ) ι X ∘ ι Y = − ι Y ∘ ι X {\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{Y}=-\iota _{Y}\circ \iota _{X}} ι X ( α ∧ β ) = ( ι X α ) ∧ β + ( − 1 ) k α ∧ ( ι X β ) {\displaystyle \iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=(\iota _{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (\iota _{X}\beta )} α ∈ Ω k ( M ) , β ∈ Ω l ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)} правило Лейбница ) ι X α = α ( X ) {\displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)} α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} ι X f = 0 {\displaystyle \iota _{X}f=0} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} ι X ( f α ) = f ι X α {\displaystyle \iota _{X}(f\alpha )=f\iota _{X}\alpha } f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} ⋆ ( λ 1 α + λ 2 β ) = λ 1 ( ⋆ α ) + λ 2 ( ⋆ β ) {\displaystyle {\star }(\lambda _{1}\alpha +\lambda _{2}\beta )=\lambda _{1}({\star }\alpha )+\lambda _{2}({\star }\beta )} λ 1 , λ 2 ∈ R {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} } линейность ) ⋆ ⋆ α = s ( − 1 ) k ( n − k ) α {\displaystyle {\star }{\star }\alpha =s(-1)^{k(n-k)}\alpha } α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} n = dim ( M ) {\displaystyle n=\dim(M)} s = sign ( g ) {\displaystyle s=\operatorname {sign} (g)} ⋆ ( − 1 ) = s ( − 1 ) k ( n − k ) ⋆ {\displaystyle {\star }^{(-1)}=s(-1)^{k(n-k)}{\star }} инверсия ) ⋆ ( f α ) = f ( ⋆ α ) {\displaystyle {\star }(f\alpha )=f({\star }\alpha )} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} коммутативно с 0 {\displaystyle 0} ) ⟨ ⟨ α , α ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ ⋆ α , ⋆ α ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\alpha \rangle \!\rangle =\langle \!\langle {\star }\alpha ,{\star }\alpha \rangle \!\rangle } α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} Консервы звезды Ходжа 1 {\displaystyle 1} ) ⋆ 1 = d e t {\displaystyle {\star }\mathbf {1} =\mathbf {det} } Двойственная по Ходжу постоянная функция 1 — это форма объема ) δ ∘ δ = 0 {\displaystyle \delta \circ \delta =0} нильпотент ) ⋆ δ = ( − 1 ) k d ⋆ {\displaystyle {\star }\delta =(-1)^{k}d{\star }} ⋆ d = ( − 1 ) k + 1 δ ⋆ {\displaystyle {\star }d=(-1)^{k+1}\delta {\star }} Ходж, примыкающий к d {\displaystyle d} ) ⟨ ⟨ d α , β ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ α , δ β ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \!\langle d\alpha ,\beta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \alpha ,\delta \beta \rangle \!\rangle } ∂ M = 0 {\displaystyle \partial M=0} δ {\displaystyle \delta } d {\displaystyle d} В общем, ∫ M d α ∧ ⋆ β = ∫ ∂ M α ∧ ⋆ β + ∫ M α ∧ ⋆ δ β {\displaystyle \int _{M}d\alpha \wedge \star \beta =\int _{\partial M}\alpha \wedge \star \beta +\int _{M}\alpha \wedge \star \delta \beta } δ f = 0 {\displaystyle \delta f=0} f ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)} d ∘ L X = L X ∘ d {\displaystyle d\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ d} коммутативно с d {\displaystyle d} ) ι X ∘ L X = L X ∘ ι X {\displaystyle \iota _{X}\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ \iota _{X}} коммутативно с ι X {\displaystyle \iota _{X}} ) L X ( ι Y α ) = ι [ X , Y ] α + ι Y L X α {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\alpha )=\iota _{[X,Y]}\alpha +\iota _{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha } L X ( α ∧ β ) = ( L X α ) ∧ β + α ∧ ( L X β ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )} правило Лейбница ) ι X ( ⋆ 1 ) = ⋆ X ♭ {\displaystyle \iota _{X}({\star }\mathbf {1} )={\star }X^{\flat }} ι X ( ⋆ α ) = ( − 1 ) k ⋆ ( X ♭ ∧ α ) {\displaystyle \iota _{X}({\star }\alpha )=(-1)^{k}{\star }(X^{\flat }\wedge \alpha )} α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)} ι X ( ϕ ∗ α ) = ϕ ∗ ( ι d ϕ ( X ) α ) {\displaystyle \iota _{X}(\phi ^{*}\alpha )=\phi ^{*}(\iota _{d\phi (X)}\alpha )} ν , μ ∈ Ω n ( M ) , μ non-zero ⇒ ∃ f ∈ Ω 0 ( M ) : ν = f μ {\displaystyle \nu ,\mu \in \Omega ^{n}(M),\mu {\text{ non-zero }}\ \Rightarrow \ \exists \ f\in \Omega ^{0}(M):\ \nu =f\mu } X ♭ ∧ ⋆ Y ♭ = g ( X , Y ) ( ⋆ 1 ) {\displaystyle X^{\flat }\wedge {\star }Y^{\flat }=g(X,Y)({\star }\mathbf {1} )} билинейная форма ) [ X , [ Y , Z ] ] + [ Y , [ Z , X ] ] + [ Z , [ X , Y ] ] = 0 {\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0} личность Якоби Если n = dim M {\displaystyle n=\dim M}
dim Ω k ( M ) = ( n k ) {\displaystyle \dim \Omega ^{k}(M)={\binom {n}{k}}} 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} dim Ω k ( M ) = 0 {\displaystyle \dim \Omega ^{k}(M)=0} k < 0 , k > n {\displaystyle k<0,\ k>n} Если X 1 , … , X n ∈ Γ ( T M ) {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\in \Gamma (TM)} Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)}
{ X σ ( 1 ) ♭ ∧ … ∧ X σ ( k ) ♭ : σ ∈ S ( k , n ) } {\displaystyle \{X_{\sigma (1)}^{\flat }\wedge \ldots \wedge X_{\sigma (k)}^{\flat }\ :\ \sigma \in S(k,n)\}} Позволять α , β , γ , α i ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha _{i}\in \Omega ^{1}(M)} X , Y , Z , X i {\displaystyle X,Y,Z,X_{i}}
α ( X ) = det [ α ( X ) ] {\displaystyle \alpha (X)=\det {\begin{bmatrix}\alpha (X)\\\end{bmatrix}}} ( α ∧ β ) ( X , Y ) = det [ α ( X ) α ( Y ) β ( X ) β ( Y ) ] {\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(X,Y)=\det {\begin{bmatrix}\alpha (X)&\alpha (Y)\\\beta (X)&\beta (Y)\\\end{bmatrix}}} ( α ∧ β ∧ γ ) ( X , Y , Z ) = det [ α ( X ) α ( Y ) α ( Z ) β ( X ) β ( Y ) β ( Z ) γ ( X ) γ ( Y ) γ ( Z ) ] {\displaystyle (\alpha \wedge \beta \wedge \gamma )(X,Y,Z)=\det {\begin{bmatrix}\alpha (X)&\alpha (Y)&\alpha (Z)\\\beta (X)&\beta (Y)&\beta (Z)\\\gamma (X)&\gamma (Y)&\gamma (Z)\end{bmatrix}}} ( α 1 ∧ … ∧ α l ) ( X 1 , … , X l ) = det [ α 1 ( X 1 ) α 1 ( X 2 ) … α 1 ( X l ) α 2 ( X 1 ) α 2 ( X 2 ) … α 2 ( X l ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α l ( X 1 ) α l ( X 2 ) … α l ( X l ) ] {\displaystyle (\alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{l})(X_{1},\ldots ,X_{l})=\det {\begin{bmatrix}\alpha _{1}(X_{1})&\alpha _{1}(X_{2})&\dots &\alpha _{1}(X_{l})\\\alpha _{2}(X_{1})&\alpha _{2}(X_{2})&\dots &\alpha _{2}(X_{l})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{l}(X_{1})&\alpha _{l}(X_{2})&\dots &\alpha _{l}(X_{l})\end{bmatrix}}} ( − 1 ) k ι X ⋆ α = ⋆ ( X ♭ ∧ α ) {\displaystyle (-1)^{k}\iota _{X}{\star }\alpha ={\star }(X^{\flat }\wedge \alpha )} интерьерное изделие ι X ⋆ {\displaystyle \iota _{X}{\star }} X ♭ ∧ {\displaystyle X^{\flat }\wedge } ) ( ι X α ) ∧ ⋆ β = α ∧ ⋆ ( X ♭ ∧ β ) {\displaystyle (\iota _{X}\alpha )\wedge {\star }\beta =\alpha \wedge {\star }(X^{\flat }\wedge \beta )} α ∈ Ω k + 1 ( M ) , β ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k+1}(M),\beta \in \Omega ^{k}(M)} Если | X | = 1 , α ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle |X|=1,\ \alpha \in \Omega ^{k}(M)}
ι X ∘ ( X ♭ ∧ ) : Ω k ( M ) → Ω k ( M ) {\displaystyle \iota _{X}\circ (X^{\flat }\wedge ):\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)} проекция α {\displaystyle \alpha } X {\displaystyle X} ( X ♭ ∧ ) ∘ ι X : Ω k ( M ) → Ω k ( M ) {\displaystyle (X^{\flat }\wedge )\circ \iota _{X}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)} отказ от α {\displaystyle \alpha } таким образом ι X ∘ ( X ♭ ∧ ) + ( X ♭ ∧ ) ∘ ι X = id {\displaystyle \iota _{X}\circ (X^{\flat }\wedge )+(X^{\flat }\wedge )\circ \iota _{X}={\text{id}}} разложение проекции-отклонения ) Учитывая границу ∂ M {\displaystyle \partial M} N {\displaystyle N}
t := ι N ∘ ( N ♭ ∧ ) {\displaystyle \mathbf {t} :=\iota _{N}\circ (N^{\flat }\wedge )} тангенциальную составляющую границы. n := ( id − t ) {\displaystyle \mathbf {n} :=({\text{id}}-\mathbf {t} )} нормальную составляющую границы. ( d α ) ( X 0 , … , X k ) = ∑ 0 ≤ j ≤ k ( − 1 ) j d ( α ( X 0 , … , X ^ j , … , X k ) ) ( X j ) + ∑ 0 ≤ i < j ≤ k ( − 1 ) i + j α ( [ X i , X j ] , X 0 , … , X ^ i , … , X ^ j , … , X k ) {\displaystyle (d\alpha )(X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d(\alpha (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\alpha ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k})} ( d α ) ( X 1 , … , X k ) = ∑ i = 1 k ( − 1 ) i + 1 ( ∇ X i α ) ( X 1 , … , X ^ i , … , X k ) {\displaystyle (d\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}(\nabla _{X_{i}}\alpha )(X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})} ( δ α ) ( X 1 , … , X k − 1 ) = − ∑ i = 1 n ( ι E i ( ∇ E i α ) ) ( X 1 , … , X ^ i , … , X k ) {\displaystyle (\delta \alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k-1})=-\sum _{i=1}^{n}(\iota _{E_{i}}(\nabla _{E_{i}}\alpha ))(X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})} E 1 , … , E n {\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{n}} ( L Y α ) ( X 1 , … , X k ) = ( ∇ Y α ) ( X 1 , … , X k ) − ∑ i = 1 k α ( X 1 , … , ∇ X i Y , … , X k ) {\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(\nabla _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})-\sum _{i=1}^{k}\alpha (X_{1},\ldots ,\nabla _{X_{i}}Y,\ldots ,X_{k})} Если ∂ M = ∅ {\displaystyle \partial M=\emptyset } ω ∈ Ω k ( M ) ⇒ ∃ α ∈ Ω k − 1 , β ∈ Ω k + 1 , γ ∈ Ω k ( M ) , d γ = 0 , δ γ = 0 {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)\Rightarrow \exists \alpha \in \Omega ^{k-1},\ \beta \in \Omega ^{k+1},\ \gamma \in \Omega ^{k}(M),\ d\gamma =0,\ \delta \gamma =0} [ нужна ссылка
ω = d α + δ β + γ {\displaystyle \omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma } Если безграничное многообразие M {\displaystyle M} H k ( M ) = { 0 } {\displaystyle H^{k}(M)=\{0\}} ω ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)} M сжимаемо когда .
Пусть евклидова метрика g ( X , Y ) := ⟨ X , Y ⟩ = X ⋅ Y {\displaystyle g(X,Y):=\langle X,Y\rangle =X\cdot Y}
Мы используем ∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle \nabla =\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)} дифференциальный оператор R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
ι X α = g ( X , α ♯ ) = X ⋅ α ♯ {\displaystyle \iota _{X}\alpha =g(X,\alpha ^{\sharp })=X\cdot \alpha ^{\sharp }} α ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)} d e t ( X , Y , Z ) = ⟨ X , Y × Z ⟩ = ⟨ X × Y , Z ⟩ {\displaystyle \mathbf {det} (X,Y,Z)=\langle X,Y\times Z\rangle =\langle X\times Y,Z\rangle } скалярное тройное произведение X × Y = ( ⋆ ( X ♭ ∧ Y ♭ ) ) ♯ {\displaystyle X\times Y=({\star }(X^{\flat }\wedge Y^{\flat }))^{\sharp }} перекрестное произведение ι X α = − ( X × A ) ♭ {\displaystyle \iota _{X}\alpha =-(X\times A)^{\flat }} α ∈ Ω 2 ( M ) , A = ( ⋆ α ) ♯ {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{2}(M),\ A=({\star }\alpha )^{\sharp }} X ⋅ Y = ⋆ ( X ♭ ∧ ⋆ Y ♭ ) {\displaystyle X\cdot Y={\star }(X^{\flat }\wedge {\star }Y^{\flat })} скалярное произведение ∇ f = ( d f ) ♯ {\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }} градиент X ⋅ ∇ f = d f ( X ) {\displaystyle X\cdot \nabla f=df(X)} производная по направлению ∇ ⋅ X = ⋆ d ⋆ X ♭ = − δ X ♭ {\displaystyle \nabla \cdot X={\star }d{\star }X^{\flat }=-\delta X^{\flat }} расхождение ∇ × X = ( ⋆ d X ♭ ) ♯ {\displaystyle \nabla \times X=({\star }dX^{\flat })^{\sharp }} завиток ⟨ X , N ⟩ σ = ⋆ X ♭ {\displaystyle \langle X,N\rangle \sigma ={\star }X^{\flat }} N {\displaystyle N} ∂ M {\displaystyle \partial M} σ = ι N d e t {\displaystyle \sigma =\iota _{N}\mathbf {det} } ∂ M {\displaystyle \partial M} ∫ Σ d ⋆ X ♭ = ∫ ∂ Σ ⋆ X ♭ = ∫ ∂ Σ ⟨ X , N ⟩ σ {\displaystyle \int _{\Sigma }d{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }\langle X,N\rangle \sigma } теорема о дивергенции L X f = X ⋅ ∇ f {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=X\cdot \nabla f} 0 {\displaystyle 0} L X α = ( ∇ X α ♯ ) ♭ + g ( α ♯ , ∇ X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha =(\nabla _{X}\alpha ^{\sharp })^{\flat }+g(\alpha ^{\sharp },\nabla X)} 1 {\displaystyle 1} ⋆ L X β = ( ∇ X B − ∇ B X + ( div X ) B ) ♭ {\displaystyle {\star }{\mathcal {L}}_{X}\beta =\left(\nabla _{X}B-\nabla _{B}X+({\text{div}}X)B\right)^{\flat }} B = ( ⋆ β ) ♯ {\displaystyle B=({\star }\beta )^{\sharp }} 2 {\displaystyle 2} 3 {\displaystyle 3} ⋆ L X ρ = d q ( X ) + ( div X ) q {\displaystyle {\star }{\mathcal {L}}_{X}\rho =dq(X)+({\text{div}}X)q} ρ = ⋆ q ∈ Ω 0 ( M ) {\displaystyle \rho ={\star }q\in \Omega ^{0}(M)} n {\displaystyle n} L X ( d e t ) = ( div ( X ) ) d e t {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\mathbf {det} )=({\text{div}}(X))\mathbf {det} } ^ Крейн, Кинан; де Гус, Фернандо; Дебрен, Матье; Шредер, Питер (21 июля 2013 г.). «Цифровая геометрическая обработка с дискретным внешним исчислением». Курсы ACM SIGGRAPH 2013 . стр. 1–126. дои : 10.1145/2504435.2504442 . ISBN 9781450323390 S2CID 168676 . ^ Шварц, Гюнтер (1995). Разложение Ходжа – метод решения краевых задач . Спрингер. ISBN 978-3-540-49403-4 ^ Картан, Анри (26 мая 2006 г.). Дифференциальные формы (изд. Дувра). Дуврские публикации. ISBN 978-0486450100 ^ Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (16 мая 1995 г.). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Спрингер. ISBN 978-0387906133 ^ Авраам, Ральф; Дж. Э., Марсден; Ратиу, Тюдор (6 декабря 2012 г.). Многообразия, тензорный анализ и приложения (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 978-1-4612-1029-0 ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 34, 233. ISBN. 9781441974006 OCLC 682907530 . 
![{\displaystyle (d_{k}\omega)(X_{0},\ldots,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d_{0} (\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j \leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f82eabd15dc806524ff92dfd8aab4e55ef30a57)
![{\displaystyle [X,Y]\in \Gamma (TM)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8d6328930a9d0bb4edd1770deee94197f7f9c3)
![{\displaystyle \forall f\in \Omega ^{0}(M)\Rightarrow \partial _{[X,Y]}f =\partial _{X}\partial _{Y}f-\partial _{Y }\partial _{X}f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6efe21ca7603c0a5c45b5cc694bb0dba48bc1502)
![{\displaystyle [\alpha ]=[\beta ]\ \ \Longleftrightarrow \ \ \alpha {-}\beta =d\eta \ {\text{для некоторых }}\eta \in \Omega ^{k-1} (М)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c4d4b9f66d69bd60c2cb09b820dff55fc16fec)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\alpha)=\iota _{[X,Y]}\alpha +\iota _{Y}{\mathcal {L} }_{X}\альфа }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988da4012de07faa1652cb0677d01584b026aef1)
![{\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7415e9251978f840e983c0ec4f235dce77f241)
![{\displaystyle (d\alpha)(X_{0},\ldots,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d(\alpha (X_{ 0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j\leq k}(- 1)^{i+j}\alpha ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat { X}}_{j},\ldots ,X_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351c90f62c1aa7bc56098bf5f62caa5d65a03caf)
