Музыкальный изоморфизм

В математике , точнее, в дифференциальной геометрии , музыкальный изоморфизм (или канонический изоморфизм ) представляет собой изоморфизм между касательным расслоением $\mathrm {T} M$ и котангенс-расслоение $\mathrm {T} ^{*}M$ риманова индуцированного или псевдориманова многообразия, его метрическим тензором . Подобные изоморфизмы имеются и на симплектических многообразиях . Термин «музыкальный» относится к использованию символов. $\flat$ (плоский) и $\sharp$ (острый).

В обозначениях исчисления Риччи идея выражается как повышение и понижение индексов .

В некоторых специализированных приложениях, таких как многообразия Пуассона , отношение может не быть изоморфизмом в особых точках , и поэтому в этих случаях технически это только гомоморфизм.

Мотивация

В линейной алгебре конечномерное векторное пространство изоморфно двойственному ему пространству , но не канонически изоморфно ему. С другой стороны, конечномерное векторное пространство $V$ наделенный невырожденной билинейной формой $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, канонически изоморфен своему двойственному. Канонический изоморфизм $V\to V^{*}$ дается

$v\mapsto \langle v,\cdot \rangle$.

Невырожденность $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ означает, что указанное выше отображение является изоморфизмом.

Пример: где $V=\mathbb {R} ^{n}$, и $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является скалярным произведением .

Музыкальные изоморфизмы являются глобальной версией этого изоморфизма и его обратным для касательного и кокасательного расслоений (псевдо)риманова многообразия. $(M,g)$. Это канонические изоморфизмы векторных расслоений , которые в любой точке p представляют собой вышеуказанный изоморфизм, примененный к касательному пространству M в точке p, наделенному скалярным произведением $g_{p}$.

Поскольку каждое паракомпактное многообразие может быть (неканонически) наделено римановой метрикой, музыкальные изоморфизмы показывают, что векторное расслоение на паракомпактном многообразии (неканонически) изоморфно своему двойственному многообразию.

Обсуждение

Пусть ( M , g ) — (псевдо)риманово многообразие. В каждой точке p отображение g _p является невырожденной билинейной формой в касательном пространстве T _p M . Если v — вектор из T _p M , его плоскостью является ковектор

$v^{\flat }=g_{p}(v,\cdot )$

в Т ^∗
_п М. ​Поскольку это гладкое отображение, сохраняющее точку p , оно определяет морфизм гладких векторных расслоений $\flat :\mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M$. В силу невырожденности метрики $\flat$ имеет обратную $\sharp$ в каждой точке, характеризующейся

$g_{p}(\alpha ^{\sharp },v)=\alpha (v)$

для α в T ^∗
_p M и v в T _p M . Вектор $\alpha ^{\sharp }$ называется диезом α ​ . Резкая карта — это гладкая карта расслоения. $\sharp :\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M$.

Плоский и острый являются взаимно обратными изоморфизмами гладких векторных расслоений, следовательно, для каждого p в M существуют взаимно обратные изоморфизмы векторного пространства между T _p M и T ^∗
_п М. ​

Плоские и четкие карты можно применять к векторным и ковекторным полям , применяя их к каждой точке. Следовательно, если X — векторное поле, а ω — ковекторное поле,

$X^{\flat }=g(X,\cdot )$

и

$g(\omega ^{\sharp },X)=\omega (X)$.

В движущемся кадре

Предположим, что { e _i } — движущаяся касательная рамка (см. также гладкая рамка ) для касательного расслоения TM движущаяся касательная с, в качестве двойственной рамки (см. также двойственный базис ), движущейся косистемой ( рамка для кокасательного расслоения) $\mathrm {T} ^{*}M$; см. также кофрейм ) { e ^я } . Тогда псевдориманова метрика , которая представляет собой симметричное и невырожденное 2 -ковариантное тензорное поле может быть локально записана в терминах этого кофрейма как g = gij _, e ^я ⊗ и ^дж используя обозначение суммирования Эйнштейна .

Учитывая векторное поле X = X ^я e _i и обозначив g _ij X ^я = X _j , его плоскость

$X^{\flat }=g_{ij}X^{i}\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\mathbf {e} ^{j}$.

Это называется понижением индекса .

Аналогично, учитывая ковекторное поле ω = ω _i e ^я и обозначив g ^ij ω _я = ω ^дж , он острый

$\omega ^{\sharp }=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j}$

где г ^ij являются компонентами обратного метрического тензора (задаваемого элементами обратной матрицы к g _ij ). Повышение остроты ковекторного поля называется повышением индекса .

Расширение для тензорных произведений

Музыкальные изоморфизмы можно распространить и на расслоения $$\bigotimes ^{k}{\rm {T}}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}}^{*}M.$$

Необходимо указать, какой индекс необходимо повысить или понизить. Например, рассмотрим (0, 2) -тензорное поле X = X _ij e ^я ⊗ и ^дж . Поднимая второй индекс, получаем (1, 1) -тензорное поле $$X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.$$

Расширение до k -векторов и k -форм

В контексте внешней алгебры расширение музыкальных операторов может быть определено на ⋀ V и его двойственном ⋀ ^∗
V , которые с небольшим злоупотреблением обозначениями могут обозначаться одинаково и снова являются взаимно обратными: $$\flat :{\bigwedge }V\to {\bigwedge }^{*}V,\qquad \sharp :{\bigwedge }^{*}V\to {\bigwedge }V,$$ определяется $$(X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.$$

В этом расширении, в котором ♭ отображает p -векторы в p -ковекторы и ♯ отображает p -ковекторы в p -векторы, все индексы полностью антисимметричного тензора одновременно повышаются или понижаются, поэтому индекс указывать не нужно: $$Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k}\mathbf {e} ^{i}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{k})^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.$$

Векторные пакеты с метриками пакетов

В более общем смысле, музыкальные изоморфизмы всегда существуют между векторным расслоением, наделенным метрикой расслоения , и двойственным ему расслоением.

След тензора через метрический тензор

типа (0, 2) Учитывая тензорное поле X = X _ij e ^я ⊗ и ^дж , мы определяем след X через метрический тензор g формулой $$\operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ij}X_{ij}.$$

Обратите внимание, что определение следа не зависит от выбора индекса, который нужно повысить, поскольку метрический тензор симметричен.

См. также

• Двойственность (математика)
• Повышение и понижение индексов
• Двойное пространство § Билинейные произведения и двойственные пространства
• Звездный оператор Ходжа
• Векторный пакет
• Бетоль (музыка) и Диез (музыка) о знаках ♭ и ♯

Ссылки

• Ли, Дж. М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 218. ИСБН  0-387-95448-1 .
• Ли, Дж. М. (1997). Римановы многообразия – введение в кривизну . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 176. Шпрингер Верлаг. ISBN  978-0-387-98322-6 .
• ВАЗ, Джейме; да Роша, Ролдан (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда . Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-878-292-6 .