Экспоненциальная карта (риманова геометрия)

В римановой геометрии экспоненциальное отображение — это отображение подмножества касательного пространства T _p M риманова многообразия (или псевдориманова многообразия ) M в M. само (Псевдо)риманова метрика определяет каноническую аффинную связность, а экспоненциальное отображение (псевдо)риманова многообразия задается экспоненциальным отображением этой связности.

Определение [ править ]

Пусть $M$ — дифференцируемое многообразие и $p$ точка $M.$ — Аффинная связность на $M$ позволяет определить понятие прямой, проходящей через точку $p$ . ^[1]

Пусть $v \in T p M$ — касательный вектор к многообразию в точке $p$ . Тогда существует единственная геодезическая $γ v$ :[0,1] → $M$ , такая что $γ v (0) = p$ с начальным касательным вектором $γ' v (0) = v$ . Соответствующее экспоненциальное отображение определяется выражением $exp p (v) = γ v (1)$ . В общем, экспоненциальное отображение определяется только локально , то есть оно переносит только небольшую окрестность начала координат в точке $T p M$ в окрестность точки $p$ в многообразии. Это связано с тем, что он опирается на теорему существования и единственности обыкновенных дифференциальных уравнений , которая носит локальный характер. Аффинная связность называется полной, если экспоненциальное отображение корректно определено в каждой точке касательного расслоения .

Свойства [ править ]

Интуитивно говоря, экспоненциальное отображение переносит заданный касательный вектор к многообразию, проходит вдоль геодезической, начиная с этой точки, и идет в этом направлении за одну единицу времени. Поскольку v соответствует вектору скорости геодезической, фактическое (риманово) пройденное расстояние будет зависеть от этого. Мы также можем перепараметризировать геодезические так, чтобы они имели единичную скорость, поэтому эквивалентно мы можем определить exp _p ( v ) = β(| v |), где β — геодезическая с единичной скоростью (геодезическая, параметризованная длиной дуги), идущая в направлении v . Изменяя касательный вектор v , мы получим, применяя exp _p , различные точки на M , которые находятся на некотором расстоянии от базовой точки p - это, возможно, один из наиболее конкретных способов продемонстрировать, что касательное пространство к многообразию своего рода «линеаризация» многообразия.

Теорема Хопфа –Ринова утверждает, что можно определить экспоненциальное отображение на всем касательном пространстве тогда и только тогда, когда многообразие полно как метрическое пространство (что оправдывает обычный термин геодезически полное для многообразия, имеющего экспоненциальное отображение с этим свойством ). В частности, компактные многообразия геодезически полны. Однако даже если exp _p определен на всем касательном пространстве, он, вообще говоря, не будет глобальным диффеоморфизмом . Однако его дифференциал в начале касательного пространства является тождественным отображением , и поэтому по теореме об обратной функции мы можем найти окрестность начала координат T _p M , в которой экспоненциальное отображение является вложением (т. е. экспоненциальное отображение есть локальный диффеоморфизм). Радиус наибольшего шара вокруг начала координат в T _p M , который может быть отображен диффеоморфно через exp _p называется радиусом инъективности M , в точке p . Вырезанный локус экспоненциального отображения — это, грубо говоря, набор всех точек, в которых экспоненциальное отображение не имеет уникального минимума.

Важным свойством экспоненциального отображения является следующая лемма Гаусса (еще одна лемма Гаусса ): задан любой касательный вектор v в области определения exp _p и другой вектор w, основанный на вершине v (следовательно, w фактически находится в пространстве двойного касания T _v (T _p M )) и ортогонально v , w остается ортогональным v при продвижении вперед через экспоненциальное отображение. Это означает, в частности, что граничная сфера маленького шара относительно начала координат в T _p M ортогональна геодезическим в M , определяемым этими векторами (т. е. геодезические радиальны ) . Это мотивирует определение геодезических нормальных координат на римановом многообразии.

Экспоненциальное отображение также полезно для связи абстрактного определения кривизны с более конкретной реализацией ее, первоначально задуманной самим Риманом: секционная кривизна интуитивно определяется как гауссова кривизна некоторой поверхности (т. е. разрезание многообразия на 2 точку p -мерное подмногообразие) через рассматриваемую . С помощью экспоненциального отображения теперь его можно точно определить как гауссову кривизну поверхности через p , определяемую образом под exp _p двумерного подпространства T _p M .

с экспоненциальными картами в Ли теории Отношения

В случае групп Ли с биинвариантной метрикой — псевдоримановой метрикой, инвариантной как при левом, так и при правом сдвиге — экспоненциальные отображения псевдоримановой структуры такие же, как экспоненциальные отображения группы Ли . В общем, группы Ли не имеют биинвариантной метрики, хотя она есть у всех связных полупростых (или редуктивных) групп Ли. Существование биинвариантной римановой метрики сильнее, чем существование псевдоримановой метрики, и подразумевает, что алгебра Ли является алгеброй Ли компактной группы Ли; и наоборот, любая компактная (или абелева) группа Ли имеет такую риманову метрику.

Возьмем пример, который дает «честную» экспоненциальную карту. Рассмотрим положительные действительные числа R ⁺, группа Ли при обычном умножении. Тогда каждое касательное пространство — это R. просто В каждой копии R в точке y мы вводим модифицированный скалярный продукт

\langle u,v\rangle _{y}={\frac {uv}{y^{2}}}

умножая их как обычные действительные числа, но масштабируя по y ² (именно это делает метрику левоинвариантной, поскольку левое умножение на множитель будет просто вытягиваться из внутреннего продукта дважды — сокращая квадрат в знаменателе).

Рассмотрим точку 1 ∈ R ⁺, а x ∈ R — элемент касательного пространства в точке 1. Обычная прямая, исходящая из 1, а именно y ( t ) = 1 + xt , конечно, охватывает тот же путь, что и геодезическая, за исключением того, что нам придется перепараметризовать так, чтобы получить кривую с постоянной скоростью («постоянная скорость», помните, не будет обычной постоянной скоростью, потому что мы используем эту забавную метрику). Для этого перепараметризуем по длине дуги (интегралу от длины касательного вектора по норме $|\cdot |_{y}$ индуцированные модифицированной метрикой):

s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|

и после инвертирования функции, чтобы получить $t$ как функцию от $s$ , мы подставляем и получаем

y(s)=e^{sx/|x|}

Теперь, используя определение единичной скорости, мы имеем

\exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|),

давая ожидаемое e ^Икс.

Риманово расстояние, определяемое этим, просто

\operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.

См. также [ править ]

Список экспоненциальных тем

Примечания [ править ]

^ Источником для этого раздела является Kobayashi & Nomizu (1996 , §III.6), в которых используется термин «линейное соединение», вместо которого мы используем «аффинное соединение».

Ссылки [ править ]

Чигер, Джефф; Эбин, Дэвид Г. (1975), Теоремы сравнения в римановой геометрии , Elsevier . См. главу 1, разделы 2 и 3.
ду Карму, Манфредо П. (1992), Риманова геометрия , Биркхойзер, ISBN 0-8176-3490-8 . См. главу 3.
«Экспоненциальное отображение» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Аспирантура по математике , том. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2848-9 , МР 1834454 .
Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 .

[1] Источником для этого раздела является Kobayashi & Nomizu (1996 , §III.6), в которых используется термин «линейное соединение», вместо которого мы используем «аффинное соединение».

[1]

v т Это Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem