Глоссарий римановой и метрической геометрии

«Радиус выпуклости» перенаправляется сюда. Об анатомических особенностях лучевой кости см. Выпуклость лучевой кости .

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в римановой геометрии и метрической геометрии — он не охватывает терминологию дифференциальной топологии .

Следующие статьи также могут быть полезны; они либо содержат специализированную лексику, либо содержат более подробное изложение определений, приведенных ниже.

• Связь
• Кривизна
• Метрическое пространство
• Риманово многообразие

См. также:

• Глоссарий общей топологии
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Список тем дифференциальной геометрии

Если не указано иное, буквы X , Y , Z ниже обозначают метрические пространства, M , N обозначают римановы многообразия, | ху | или $|xy|_{X}$ обозначает расстояние между точками x и y в X . , выделенное курсивом, Слово обозначает ссылку на этот глоссарий.

Предостережение : многие термины в римановой и метрической геометрии, такие как выпуклая функция , выпуклое множество и другие, не имеют точно того же значения, что и в общем математическом использовании.

А

Пространство Александрова - обобщение римановых многообразий с верхними, нижними или целыми границами кривизны (последнее работает только в размерности 2).

Почти плоский коллектор

Дуговая изометрия аналогична изометрии пути .

Автопараллельно то же самое, что полностью геодезическое

Б

Барицентр , см. центр масс .

билипшицево отображение. Карта $f:X\to Y$ называется билипшицевым, если существуют положительные константы c и C такие, что для любых x и y из X

$c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}$

Функция Буземана для луча , γ: [0, ∞)→ X , функция Буземана определяется формулой

$B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t)$

С

Теорема Картана–Адамара — это утверждение о том, что связное односвязное полное риманово многообразие с неположительной секционной кривизной диффеоморфно R. ^н через экспоненциальную карту; для метрических пространств - утверждение о том, что связное, односвязное полное геодезическое метрическое пространство с неположительной кривизной в смысле Александрова является (глобально) пространством CAT(0) .

Картан Эйнштейна расширил общую теорию относительности до теории Эйнштейна-Картана , используя геометрию Римана-Картана вместо римановой геометрии. Это расширение обеспечивает аффинное кручение , которое допускает несимметричные тензоры кривизны и включение спин-орбитальной связи .

Центр масс . Точка q ∈ M называется центром масс точек $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$ если это точка глобального минимума функции

$f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}$

Такая точка единственна, если все расстояния $|p_{i}p_{j}|$ меньше радиуса выпуклости .

Символ Кристофера

Разрушение коллектора

Полное пространство

Завершение

Конформная карта — это карта, сохраняющая углы.

Конформно плоское многообразие M является конформно плоским, если оно локально конформно эквивалентно евклидову пространству, например, стандартная сфера конформно плоская.

Сопряжение точек двух точек p и q на геодезической $\gamma$ называются сопряженными, если на ней существует поле Якоби. $\gamma$ который имеет нуль в точках p и q .

Выпуклая функция . Функция f на римановом многообразии называется выпуклой, если для любой геодезической $\gamma$ функция $f\circ \gamma$ является выпуклым . Функция f называется $\lambda$-выпуклая, если для любой геодезической $\gamma$ с натуральным параметром $t$, функция $f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}$ является выпуклым .

Выпуклое. Подмножество K риманова многообразия M называется выпуклым, если для любых двух точек из K существует соединяющая их кратчайшая , целиком лежащая в K ( см. также вполне выпуклое) .

Котангенс расслоение

Ковариантная производная

Вырезать локус

Д

Диаметр метрического пространства — это верхняя граница расстояний между парами точек.

Развертывающаяся поверхность – это поверхность , изометричная плоскости.

Дилатацией отображения между метрическими пространствами называется нижняя грань чисел L таких, что данное отображение является L - липшицевым .

Э

Экспоненциальная карта : Экспоненциальная карта (теория Ли) , Экспоненциальная карта (риманова геометрия)

Ф

Финслеровая метрика

Первой фундаментальной формой вложения или погружения является возврат метрического тензора .

Г

Геодезическая – это кривая , локально минимизирующая расстояние .

Геодезический поток — это поток на касательном расслоении TM многообразия M , порожденный векторным полем которого , траектории имеют вид $(\gamma (t),\gamma '(t))$ где $\gamma$ является геодезической .

Сходимость Громова-Хаусдорфа

Геодезическое метрическое пространство — это метрическое пространство, в котором любые две точки являются концами минимизирующей геодезической .

Х

Пространство Адамара — полное односвязное пространство неположительной кривизны.

Горосфера — множество уровней функции Буземана .

Я

Радиус инъективности Радиус инъективности в точке p риманова многообразия — это наибольший радиус, для которого экспоненциальное отображение в точке p является диффеоморфизмом . Радиус инъективности риманова многообразия — это нижняя грань радиусов инъективности во всех точках. См. также локус вырезания .

Для полных многообразий, если радиус инъективности в точке p является конечным числом r , то либо существует геодезическая длины 2 r , которая начинается и заканчивается в p , либо существует точка q, сопряженная с p (см. сопряженную точку выше) и на расстояние r от p . Для замкнутого риманова многообразия радиус инъективности равен либо половине минимальной длины замкнутой геодезической, либо минимальному расстоянию между сопряженными точками на геодезической.

Инфранильное многообразие Учитывая односвязную нильпотентную группу Ли N, действующую на себя умножением слева, и конечную группу автоморфизмов F группы N, можно определить действие полупрямого произведения $N\rtimes F$ на Н. ​Пространство орбит N, созданное дискретной подгруппой $N\rtimes F$ которое свободно действует на N, называется инфранильным многообразием . Инфранильмногообразие конечно покрыто нильмногообразием .

Изометрия — это карта, сохраняющая расстояния.

Внутренняя метрика

Дж

Поле Якоби Поле Якоби — это векторное поле на геодезической γ, которое можно получить следующим образом: Возьмем гладкое однопараметрическое семейство геодезических. $\gamma _{\tau }$ с $\gamma _{0}=\gamma$, то поле Якоби описывается формулой

$J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.$

Кривая Джордана

К

Убийственное векторное поле

Л

Метрика длины такая же, как внутренняя метрика .

Связность Леви-Чивита — естественный способ дифференцировать векторные поля на римановых многообразиях.

Липшицева сходимость — сходимость, определяемая липшицевой метрикой.

Липшицево расстояние между метрическими пространствами — это нижняя грань чисел r таких, что между этими пространствами существует биективное билипшицево отображение с константами exp(- r ), exp( r ).

Карта Липшица

Логарифмическая карта является правой обратной экспоненциальной карте.

М

Средняя кривизна

Метрический шар

Метрический тензор

Минимальная поверхность — это подмногообразие с (вектором) нулевой средней кривизны.

Н

Естественная параметризация — это параметризация по длине.

Сеть . Подмножество S метрического пространства X называется $\epsilon$-net, если для любой точки из X существует точка из S на расстоянии $\leq \epsilon$. Это отличается от топологических сетей , которые обобщают пределы.

Нильмногообразие : элемент минимального набора многообразий, который включает точку и обладает следующим свойством: любое ориентированное $S^{1}$-расслоение над нильмногообразием является нильмногообразием. Его также можно определить как фактор связной нильпотентной группы Ли по решетке .

Нормальное расслоение : связано с вложением многообразия M в объемлющее евклидово пространство. ${\mathbb {R} }^{N}$нормальное расслоение — это векторное расслоение, слой которого в каждой точке p является ортогональным дополнением (в ${\mathbb {R} }^{N}$) касательного пространства $T_{p}M$.

Нерасширяющаяся карта, такая же, как короткая карта.

П

Параллельная транспортировка

Полиэдральное пространство — симплициальный комплекс с метрикой такой, что каждый симплекс с индуцированной метрикой изометричен симплексу в евклидовом пространстве .

Основная кривизна — это максимальная и минимальная нормальные кривизны в точке поверхности.

Главное направление – это направление главных кривизн.

Изометрия пути

Собственное метрическое пространство — это метрическое пространство, в котором каждый шар компактен замкнутый . Эквивалентно, если каждое замкнутое ограниченное подмножество компактно. Всякое собственное метрическое пространство полно .

Вопрос

Квазигеодезический имеет два значения; здесь мы приведем самое распространенное. Карта $f:I\to Y$ (где $I\subseteq \mathbb {R}$ является подотрезком) называется квазигеодезической, если существуют константы $K\geq 1$ и $C\geq 0$ такой, что для каждого $x,y\in I$

${1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.$

Обратите внимание, что квазигеодезическая не обязательно является непрерывной кривой.

Квазиизометрия . Карта $f:X\to Y$ называется квазиизометрией, если существуют константы $K\geq 1$ и $C\geq 0$ такой, что

${1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.$

и каждая точка Y находится на расстоянии не более C от некоторой точки f ( X ).Обратите внимание, что квазиизометрия не предполагается непрерывной. Например, любое отображение компактных метрических пространств является квазиизометрией. Если существует квазиизометрия от X до Y, то X и Y называются квазиизометрическими .

Р

Радиус метрического пространства — это нижняя грань радиусов метрических шаров, полностью содержащих пространство.

Радиус выпуклости в точке p риманова многообразия — это наибольший радиус шара, являющегося выпуклым подмножеством.

Луч — односторонняя бесконечная геодезическая, минимизирующаяся на каждом интервале.

Тензор кривизны Римана

Риманово многообразие

Риманова субмерсия — это отображение между римановыми многообразиями, которое является субмерсией и субметрией одновременно .

С

Вторая фундаментальная форма - это квадратичная форма в касательном пространстве гиперповерхности, обычно обозначаемая II, эквивалентный способ описания оператора формы гиперповерхности.

${\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle$

Его также можно обобщить на произвольную коразмерность, и в этом случае это квадратичная форма со значениями в нормальном пространстве.

Оператор формы гиперповерхности M — это линейный оператор в касательных пространствах S _p : T _p M → T _p M . Если n — единичное нормальное поле к M , а v — касательный вектор, то

$S(v)=\pm \nabla _{v}n$

(стандартного соглашения о том, использовать ли + или – в определении, не существует).

Короткая карта – это карта, не увеличивающая расстояние.

Гладкий коллектор

Солнечное многообразие является фактором связной разрешимой группы Ли по решетке .

Субметрия - короткое отображение f между метрическими пространствами называется субметрией, если существует R > 0 такое, что для любой точки x и радиуса r < R мы имеем, что образ метрики r -шара является r -шаром, т. е.

$f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x))$

Субриманово многообразие

Систола . К , систола М - $syst_{k}(M)$, — минимальный объем k -цикла, негомологичный нулю.

Т

Касательный пучок

Совершенно выпуклый. Подмножество К риманова многообразия М называется вполне выпуклым, если для любых двух точек из К любая соединяющая их геодезическая целиком лежит в К , см. также выпуклость .

Вполне геодезическим подмногообразием называется такое подмногообразие , что все геодезические в подмногообразии являются также геодезическими окружающего многообразия.

У

Единственно геодезическое метрическое пространство — это метрическое пространство, в котором любые две точки являются концами единственной минимизирующей геодезической .

В

Слово метрика на группе — это метрика графа Кэли, построенная с помощью набора образующих.