Функция Буземана

В геометрической топологии функции Буземана используются для изучения крупномасштабной геометрии геодезических в пространствах Адамара и, в частности, многообразиях Адамара ( односвязных полных римановых многообразиях неположительной кривизны). Они названы в честь Герберта Буземанна , который их представил; он подробно рассмотрел эту тему в своей книге 1955 года «Геометрия геодезических».

Определение и элементарные свойства

Позволять $(X,d)$ быть метрическим пространством . – Геодезический луч это путь $\gamma :[0,\infty )\to X$ что минимизирует расстояние всюду по его длине. то есть для всех $t,t'\in [0,\infty )$, $$d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}t-t'{\big |}.$$ Эквивалентно, луч представляет собой изометрию «канонического луча» (множество $[0,\infty )$ снабженное евклидовой метрикой) в метрическое пространство X .

Для луча γ функция Буземана $B_{\gamma }:X\to \mathbb {R}$ определяется

$$B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}$$

Таким образом, когда t очень велико, расстояние $d{\big (}\gamma (t),x{\big )}$ приблизительно равно $B_{\gamma }(x)+t$. Для луча γ его функция Буземана всегда четко определена: действительно, правая часть выше $F_{t}(x){\stackrel {\text{def}}{=}}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t$, стремится поточечно в левую часть компакта, так как $t-d(\gamma (t),x)=d(\gamma (t),\gamma (0))-d(\gamma (t),x)$ ограничено сверху $d(\gamma (0),x)$ и невозрастающая, поскольку, если $s\leq t$,

$$t-s+d(x,\gamma (s))-d(x,\gamma (t))\geq t-s-d(\gamma (s),\gamma (t))=0.$$

Из неравенства треугольника непосредственно следует, что

$$|B_{\gamma }(x)-B_{\gamma }(y)|\leq d(x,y),$$

так что $B_{\gamma }$ является равномерно непрерывным. Более конкретно, приведенная выше оценка показывает, что

• Функции Буземана являются липшицевыми функциями с константой 1 .

По теореме Дини функции $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ склонны к $B_{\gamma }(x)$ равномерно на компактах при стремлении t к бесконечности.

Пример: диск Пуанкаре.

Позволять $D$ — единичный круг в комплексной плоскости с метрикой Пуанкаре

$$ds^{2}={4\,|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}.$$

Тогда для $|z|<1$ и $|\zeta |=1$, функция Буземана имеет вид

$$B_{\zeta }(z)=-\log \left({1-|z|^{2} \over |z-\zeta |^{2}}\right),$$

где член в скобках справа — это ядро ​​Пуассона для единичного круга, а $\zeta$ соответствует радиальной геодезической $\gamma$ от начала до $\zeta$, $\gamma (t)=\zeta \tanh(t/2)$. Вычисление $d(x,y)$ можно свести к такому $d(z,0)=d(|z|,0)=2\operatorname {artanh} (|z|)=\log \left({\tfrac {1+|z|}{1-|z|}}\right)$, поскольку метрика инвариантна относительно преобразований Мёбиуса в $SU(1,1)$; геодезические через $0$ иметь форму $\zeta g_{t}(0)$ где $g_{t}$ является 1-параметрической подгруппой $SU(1,1)$,

$$g_{t}={\begin{pmatrix}\cosh(t/2)&\sinh(t/2)\\\sinh(t/2)&\cosh(t/2)\end{pmatrix}}$$

Приведенная выше формула также полностью определяет функцию Буземана по инвариантности Мёбиуса.

Функции Буземана в пространстве Адамара

В пространстве Адамара , где любые две точки соединены единственным геодезическим отрезком, функция $F=F_{t}$ является выпуклым , т.е. выпуклым на геодезических отрезках $[x,y]$. В явном виде это означает, что если $z(s)$ это точка, которая разделяет $[x,y]$ в отношении s : (1 − s ) , то $F(z(s))\leq sF(x)+(1-s)F(y)$. Для фиксированного $a$ функция $d(x,a)$ является выпуклым, и, следовательно, его трансформы являются выпуклыми; в частности, если $\gamma$ это геодезический луч в $X$, затем $F_{t}$ является выпуклым. Поскольку функция Буземана $B_{\gamma }$ является поточечным пределом $F_{t}$,

• Функции Буземана выпуклы в пространствах Адамара .
• В пространстве Адамара функции $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ сходятся равномерно к $B_{\gamma }$ равномерно на любом ограниченном подмножестве $X$.

Пусть час ( т ) знак равно d ( y ,γ( т )) - т знак равно F _т ( y ) . С $\gamma (t)$ параметризуется длиной дуги, из первой теоремы сравнения Александрова для пространств Адамара следует, что функция g ( t ) = d ( y ,γ( t )) ² − т ² является выпуклым. Следовательно, при 0< s < t

$$g(s)\leq (1-{s \over t})g(0)+{s \over t}g(t).$$

Таким образом

$$2sh(s)\leq (h(s)+s)^{2}-s^{2}=g(s)\leq (1-{s \over t})d(x,y)^{2}+{s \over t}(2th(t)+h(t)^{2})\leq d(x,y)^{2}+2sh(t)+{s \over t}d(x,y)^{2},$$

так что

$$|F_{s}(y)-F_{t}(y)|=|h(s)-h(t)|\leq {1 \over 2}(s^{-1}+t^{-1})d(x,y)^{2}.$$

Устремляя t к ∞, получаем, что

$$|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq {d(x,y)^{2} \over 2s},$$

поэтому сходимость равномерна на ограниченных множествах.

Обратите внимание, что приведенное выше неравенство для $|F_{s}(y)-F_{t}(y)|$ (вместе с его доказательством) также верно для геодезических сегментов: если γ( t ) — геодезический сегмент, начинающийся в точке x и параметризованный длиной дуги, то

$$|d(y,\Gamma (s))-s-d(y,\Gamma (t))+t|\leq (s^{-1}+t^{-1})d(x,y)^{2}.$$

Далее предположим, что x , y — точки в пространстве Адамара, и пусть δ( s ) — геодезическая, проходящая через x с δ(0) = y и δ( t ) = x , где t = d ( x , y ) . Эта геодезическая пересекает границу замкнутого шара B ( y , r ) в точке δ( r ) . Таким образом, если d ( x , y ) > r , существует точка v с d ( y , v ) = r такая, что d ( x , v ) = d ( x , y ) - r .

Это условие сохраняется и для функций Буземана. Утверждение и доказательство свойства функций Буземана основаны на фундаментальной теореме о замкнутых выпуклых подмножествах пространства Адамара, которая обобщает ортогональную проекцию в гильбертовом пространстве : если C — замкнутое выпуклое множество в пространстве Адамара X , то каждая точка x в X имеет единственную ближайшую точку P ( x ) ≡ P _C ( x ) в C и d ( P ( x ), P ( y )) ≤ d ( x , y ) ; более того, a = P ( x ) однозначно определяется тем свойством, что для y в C ,

$$d(x,y)^{2}\geq d(x,a)^{2}+d(a,y)^{2},$$

так что угол a в евклидовом треугольнике сравнения для a , x , y больше или равен π /2 .

• Если h — функция Буземана в пространстве Адамара, то, учитывая y в X и r > 0 , существует единственная точка v с d(y,v) = r такая, что h(v) = h(y) − r . При фиксированном r > 0 точка v является ближайшей точкой y к замкнутому выпуклому множеству C точек u, такому что h(u) ⩽ h(y) − r , и, следовательно, непрерывно зависит от y .

Пусть v будет ближайшей точкой к y в C . Тогда h ( v ) = h ( y ) − r и, таким образом, h минимизируется с помощью v в B ( y , R ) , где R = d ( y , v ), а v - единственная точка, где h минимизируется. По условию Липшица r = | час ( у ) - час ( v )| ≤ Р. ​Для доказательства утверждения достаточно показать, что R = r , т.е. d ( y , v ) = r . С другой стороны, h — равномерный предел любого замкнутого шара функций h _n . На B ( y , r ) они минимизируются точками v _n с часом _n ( v _n ) знак равно час _n ( y ) - r . Следовательно, нижняя грань h на B ( y , r ) равна h ( y ) − r и h ( v _n ) стремится к h ( y ) − r . Таким образом, час ( v _n ) знак равно час ( y ) - р _n причём р _n ≤ r и р _n стремится к r . Пусть ты _п точка — ближайшая к y , причем час ( ты _п ) ≤ час ( у ) - р _п . Пусть р _{п знак} равно d ( y , ты _п ) ≤ р . Тогда h ( ты _n ) = h ( y ) − r _n , и по условию Липшица на h , R _n ≥ r _n . В частности, R _n стремится к r . Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно предположить, что r _n и R _n оба возрастают (до r ). Неравенство для выпуклой оптимизации означает, что при n > m .

$$d(u_{n},u_{m})^{2}\leq R_{n}^{2}-R_{m}^{2}\leq 2r|R_{n}-R_{m}|,$$

так что un _— последовательность Коши. Если u - его предел, то d ( y , ты ) = р и час ( ты ) знак равно час ( y ) - р . Из единственности следует, что u = v и, следовательно, d ( y , v ) = r , что и требовалось.

Единые лимиты. Приведенный выше аргумент доказывает в более общем плане, что если d ( x _n , x ₀ ) стремится к бесконечности и функции h _n ( x ) = d ( x , x _n ) – d ( x _n , x ₀ ) стремятся равномерно на ограниченных множествах к h ( x ) , то h выпуклая, липшицева с константой Липшица 1 и, учитывая y в X и r > 0 , существует единственная точка v с d ( y , v ) = r такая, что h ( v ) = h ( y ) - р . Если, с другой стороны, последовательность ( x _n ) ограничена, то все члены лежат в некотором замкнутом шаре, и из равномерной сходимости там следует, что ( x _n ) является последовательностью Коши, поэтому сходится к некоторому x _∞ в X . Таким образом, h _n равномерно стремится к h _∞ ( x ) = d ( x , x _∞ ) – d ( x _∞ , x ₀ ) , функции того же вида. Тот же аргумент также показывает, что класс функций, удовлетворяющих одним и тем же трем условиям (выпуклость, липшицевость и наличие минимумов на замкнутых шарах), замкнут при принятии равномерных пределов на ограниченных множествах.

Комментарий. Обратите внимание: поскольку любое замкнутое выпуклое подмножество адамарова подмножества пространства Адамара также является пространством Адамара, любой замкнутый шар в пространстве Адамара является пространством Адамара. В частности, не обязательно, чтобы каждый сегмент геодезической содержался в геодезической, определенной на всем R или даже на полубесконечном интервале [0,∞) . Замкнутый единичный шар гильбертова пространства дает явный пример, который не является собственным метрическим пространством.

• Если h — выпуклая функция, липшицева с константой 1 и h принимает минимум на любом замкнутом шаре с центром в y и радиусом r в единственной точке v на границе с h(v) = h(y) − r , то для каждого y в X существует единственный геодезический луч δ такой, что δ(0) = y и δ разрезает каждое замкнутое выпуклое множество h ⩽ h(y) – r с r > 0 в точке δ(r) , так что h(δ(t )) = час(у) – т . В частности, это справедливо для каждой функции Буземана.

Третье условие означает, что v является ближайшей к y точкой в ​​замкнутом выпуклом множестве Cr _. точек $u$ такой, что час ( ты ) ≤ час ( y ) – р . Пусть δ( t ) для 0 ⩽ t ⩽ r — геодезическая, соединяющая y с v . Тогда k ( t ) = h (δ( t )) - h ( y ) является выпуклой функцией Липшица на [0, r ] с константой Липшица 1, удовлетворяющей условиям k ( t ) ≤ – t и k (0) = 0 и k ( р ) знак равно – р . Таким образом, k везде обращается в нуль, поскольку если 0 < s < r , k ( s ) ≤ – s и | к (ы) | ≤ с . Следовательно, час (δ( t )) = час ( y ) – t . единственности следует, что δ( t ) является ближайшей точкой к y в Ct _Из и что это единственная точка, минимизирующая h в B ( y , t ) . Единственность означает, что эти отрезки геодезических совпадают для произвольного r и, следовательно, δ продолжается до геодезического луча с указанным свойством.

• Если h = hγ _, то геодезический луч δ, начинающийся в точке y, удовлетворяет условию $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$. Если δ ₁ — другой луч, начинающийся в точке y, с $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ тогда δ1 ₌ δ .

Для доказательства первого утверждения достаточно проверить это при достаточно большом t . В этом случае γ( t ) и δ( t − h ( y )) являются проекциями x и y на замкнутое выпуклое множество h ⩽ − t . Следовательно, d (γ( t ),δ( t − h ( y ))) ≤ d ( x , y ) . Следовательно, d (γ( t ),δ( t )) ≤ d ( γ( t ),δ( t − h ( y ))) + d (δ( t − h ( y )),δ( t )) ≤ d ( Икс , у ) + | час ( у )| . Второе утверждение следует из того, что d (δ1 ₍ t ) ,δ( t )) выпукло и ограничено на [0,∞) , поэтому, если оно обращается в нуль при t = 0 , оно должно исчезать всюду.

• Предположим, что h — непрерывная выпуклая функция и для каждого y из X существует единственный геодезический луч δ такой, что δ(0) = y и δ разрезает каждое замкнутое выпуклое множество h ⩽ h(y) – r с r > 0 в точке δ. (r) , так что h(δ(t)) = h(y) – t ; тогда h — функция Буземана. h − h _δ — постоянная функция.

Пусть C _r — замкнутое выпуклое множество точек z с h ( z ) ≤ − r . Поскольку X является пространством Адамара, для каждой точки X существует единственная ближайшая точка Pr _в ( y ) к y в Cr _. y Он непрерывно зависит от y , и если y лежит вне C _r , то P _r ( y ) лежит на гиперповерхности h ( z ) = − r — границе ∂ C _r C — _r и P _r ( y ) удовлетворяет неравенству выпуклая оптимизация. Пусть δ( s ) — геодезический луч, начинающийся в точке y .

Исправьте x в X. ​Пусть γ( s ) — геодезический луч, начинающийся в точке x . Пусть g ( z ) = h _γ ( z ) , функция Буземана для γ с базовой точкой x . В частности г ( Икс ) знак равно 0 . Достаточно показать, что g = h – h ( y )1 . Теперь возьмем y с h ( x ) = h ( y ) и пусть δ ( t ) будет геодезическим лучом, начинающимся в y, соответствующим h . Затем

$$d(x,y)\geq d(\gamma (t),\delta (t)),\,\,\,d(x,\delta (t))^{2}\geq d(x,\gamma (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2},\,\,\,d(y,\gamma (t))^{2}\geq d(y,\delta (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2}.$$

С другой стороны, для любых четырех точек a , b , c , d в пространстве Адамара справедливо следующее четырехстороннее неравенство Решетняка :

$$|d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,d)^{2}|\leq 2d(a,b)d(c,d).$$

Полагая a = x , b = y , c = γ( t ) , d = δ( t ) , отсюда следует, что

$$|d(y,\gamma (t))^{2}-d(x,\delta (t))^{2}|\leq 2d(x,y)^{2},$$

так что

$$|d(y,\gamma (t))-d(x,\gamma (t))|\leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\gamma (t))+d(x,\gamma (t))}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.$$

Следовательно, час _γ ( y ) знак равно 0 . Аналогично час _δ ( Икс ) знак равно 0 . Следовательно, h _γ ( y ) = 0 на поверхности уровня h , содержащей x . Теперь для t ≥ 0 и z в X , пусть α _t ( z ) = γ ₁ ( t ) геодезический луч, начинающийся в z . Тогда α _{s + t} = α _s ∘ α _t и час ∘ α _t = час - t . Более того, в силу ограниченности d (α _t ( u ),α _t ( v )) ⩽ d ( u , v ) . Поток α _s можно использовать для переноса этого результата на все поверхности уровня h . общего y1 _h , если ( y1 ) _Для < ( x ) , возьмем s > 0 такое, что h (αs ₍ x ) ) = ( y1 ) _h и положим x1 _h = _αs ( x ) . Тогда час _{γ 1} ( y ₁ ) знак равно 0 , где γ ₁ ( т ) знак равно α _т ( Икс ₁ ) знак равно γ ( s + т ) . Но тогда час _{γ 1} = час _γ – s , так что час _γ ( y ₁ ) = s . Следовательно, g ( y ₁ ) = s = h ((α _s ( x )) – h ( x ) = h ( y ₁ ) – h ( x ) , что и требуется. Аналогично, если h ( y ₁ ) > h ( x ) , брать s > 0 такой, что час (α _s ( y ₁ )) знак равно час ( Икс ) . Пусть y знак равно α _s ( y ₁ ) . Тогда час _γ ( y ) = 0 , поэтому час _γ ( y ₁ ) = – s . Следовательно, g ( y ₁ ) = – s = h ( y ₁ ) – h ( x ) , как и требовалось.

Наконец, существуют необходимые и достаточные условия для того, чтобы две геодезические определяли одну и ту же функцию Буземана с точностью до константы:

• В пространстве Адамара функции Буземана двух геодезических лучей $\gamma _{1}$ и $\gamma _{2}$ отличаются на константу тогда и только тогда, когда $\sup _{t\geq 0}d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))<\infty$.

Предположим сначала, что γ и δ — два геодезических луча с функциями Буземана, отличающимися на константу. Сдвинув аргумент одной из геодезических на константу, можно считать, что, скажем, B _γ = B _δ = B . Пусть C — замкнутое выпуклое множество, на котором B ( x ) ≤ − r . Тогда B (γ( t )) = B _γ (γ( t )) = − t и аналогично B (δ( t )) = − t . Тогда при s ⩽ r точки γ( s ) и δ( s ) имеют ближайшие точки γ( r ) и δ( r ) в C , так что d (γ( r ), δ( r )) ⩽ d (γ ( s ), δ( s )) . Следовательно, sup _{t ≥ 0} d (γ( t ), δ( t )) < ∞ .

Теперь предположим, что sup _{t ≥ 0} d (γ ₁ ( t ), γ ₂ ( t )) < ∞ . Пусть δ _i ( t ) будет геодезическим лучом, начинающимся в y, связанным с h _{γ i} . Тогда sup _{t ≥ 0} d (γ _i ( t ), δ _i ( t )) < ∞ . Следовательно, sup _{t ≥ 0} d (δ ₁ ( t ), δ ₂ ( t )) < ∞ . Поскольку δ ₁ и δ ₂ начинаются в точке y , отсюда следует, что δ ₁ ( t ) ≡ δ ₂ ( t ) . По предыдущему результату h _{γ i} и h _{δ i} отличаются на константу; поэтому h _{γ 1} и h _{γ 2} различаются на константу.

Подводя итог, приведенные выше результаты дают следующую характеристику функций Буземана в пространстве Адамара:

ТЕОРЕМА. В пространстве Адамара следующие условия на функцию f эквивалентны:

• h — функция Буземана.
• h — выпуклая функция, липшицева с константой 1 и h принимает минимум на любом замкнутом шаре с центром в y и радиусом r в единственной точке v на границе с h(v) = h(y) − r .
• h — непрерывная выпуклая функция, и для каждого y из X существует единственный геодезический луч δ такой, что δ(0) = y , и для любого r > 0 луч δ пересекает каждое замкнутое выпуклое множество h ⩽ h(y) – r в δ(r) .

Бордификация пространства Адамара.

В предыдущем разделе было показано, что если X — пространство Адамара и x ₀ — неподвижная точка в X , то объединение пространства функций Буземана, обращающихся в нуль в точке x ₀ , и пространства функций h _y ( x ) = d ( x , y ) − d ( x ₀ , y ) замкнуто относительно равномерных пределов на ограниченных множествах. результат можно формализовать в понятии бордификации X Этот . В этой топологии точки x _n стремятся к геодезическому лучу γ, начинающемуся с x _0, тогда и только тогда, когда d ( x ₀ , x _n ) стремится к ∞ и при t > 0 сколь угодно большой последовательности, полученной взятием точки на каждом отрезке [ x ₀ , x _n ] на расстоянии t от x ₀ стремится к γ( t ) .

Если X — метрическое пространство, то бордификацию Громова можно определить следующим образом. Зафиксируйте точку x ₀ в X и пусть X _N = B ( x ₀ , N ) . Пусть Y = C ( X ) — пространство липшицевых функций, непрерывных на X , т.е. таких, для которых | ж ( Икс ) – ж ( у ) | ≤ A d ( x , y ) для некоторой константы A > 0 . Пространство Y можно топологизировать полунормами ‖ f ‖ _N = sup _{X N} | ж | , топология равномерной сходимости на ограниченных множествах. Полунормы конечны по условиям Липшица. индуцированная естественным отображением C ( X ) в прямое произведение банаховых пространств ( _{топология ,} XN ) _Cb непрерывных ограниченных функций на XN _Это . Оно задается метрикой D ( f , g ) = Σ 2 ^{− Н} ‖ ж - г ‖ _N (1 +‖ ж - г ‖ _N ) ⁻¹ .

Пространство X встраивается в Y путем отправки x в функцию f _x ( y ) = d ( y , x ) – d ( x ₀ , x ) . Пусть X — замыкание X в Y . Тогда X метризуемо, поскольку Y метризуемо и содержит X как открытое подмножество; более того, бордификации, возникающие в результате различного выбора базовой точки, естественно, гомеоморфны. Пусть час ( x ) = ( d ( x , x ₀ ) + 1) ⁻¹ . Тогда h в C0 _лежит ( X ) . Он отличен от нуля на X и обращается в нуль только в точке ∞ . Следовательно, оно продолжается до непрерывной функции на X с нулевым множеством X \ X . Отсюда следует, что X \ X замкнуто в X , что и требовалось. Чтобы проверить, что X = X ( x ₀ ) не зависит от базовой точки, достаточно показать, что k ( x ) = d ( x , x ₀ ) − d ( x , x ₁ ) продолжается до непрерывной функции на X . Но k ( x ) = f _x ( x ₁ ) , поэтому для g в X , k ( g ) = g ( x ₁ ) . Следовательно, соответствие между компактификациями для x ₀ и x ₁ задается отправкой g в X ( x ₀ ) в g + g ( x ₁ )1 в X ( x ₁ ) .

Когда X является пространством Адамара, идеальная граница Громова ∂ X = X \ X может быть явно реализована как «асимптотические пределы» геодезических лучей с использованием функций Буземана. Если x _n - неограниченная последовательность в X с h _n ( x ) = d ( x , x _n ) − d ( x _n , x ₀ ) , стремящаяся к h в Y , то h обращается в нуль в точке x ₀ , выпукла, липшицева с Константа Липшица 1 и имеет минимум h ( y ) − r на любом замкнутом шаре B ( y , r ) . Следовательно, h — функция Буземана B _γ, соответствующая единственному геодезическому лучу γ, начинающемуся в точке x ₀ .

С другой стороны, hn _и стремится к B _γ равномерно на ограниченных множествах тогда и только тогда, когда d ( x ₀ , x _n ) стремится к ∞ при t > 0 сколь угодно большой последовательности, полученной взятием точки на каждом отрезке [ x ₀ , x _n ] на расстоянии t от x ₀ стремится к γ( t ) . Для d ( x ₀ , x _n ) ≥ t , пусть x _n ( t ) будет точкой в ​​[ x ₀ , x _n ] с d ( x ₀ , x _n ( t )) = t . Предположим сначала, что h _n стремится к B _γ равномерно на B ( x ₀ , R ) . Тогда при t ⩽ R , | час _п (γ( т )) – B _γ (γ( т ))|= d (γ( т ), Икс _п ) – d ( Икс _п , Икс ₀ ) + т . Это выпуклая функция. Оно исчезает при t = 0 и, следовательно, возрастает. он максимизируется при t = R. Таким образом , для каждого t | Итак , d (γ( т ), Икс _п ) – d ( Икс _п , Икс ₀ ) – т | стремится к 0. Пусть a = X ₀ , b = γ( t ) и c = x _n . Тогда d ( c , a ) – d ( c , b ) близко к d ( a , b ) с большим d ( c , a ) . Следовательно, в евклидовом треугольнике сравнения СА - CB близко к AB, причем CA большое. Значит, угол А мал. Значит, точка D на AC, находящаяся на том же расстоянии, что и AB, близко к B. лежит Следовательно, по первой теореме сравнения геодезических треугольников d ( x _n ( t ),γ( t )) мало. Обратно, предположим, что при фиксированных t и n достаточно больших d ( x _n ( t ),γ( t )) стремится к 0. Тогда из вышесказанного F _s ( y ) = d ( y ,γ( s )) – s удовлетворяет условию

$$|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq {d(x_{0},y)^{2} \over 2s},$$

поэтому достаточно показать, что на любом ограниченном множестве h _n ( y ) = d ( y , x _n ) – d ( x ₀ , x _n ) равномерно близко к F _s ( y ) для достаточно большого n .

Для фиксированного шара B ( x ₀ , R ) зафиксируйте s так, чтобы R ² / s ≤ ε . Тогда это утверждение является непосредственным следствием неравенства для геодезических сегментов в пространстве Адамара, поскольку

$$|d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|\leq {d(x_{0},y)^{2} \over s}\leq \varepsilon .$$

Следовательно, если в B ( x0 , _d R ) и n достаточно велико, чтобы ( xn ( _y s ) ,γ( s )) ≤ ε , то

$$|h_{n}(y)-B_{\gamma }(y)|=|d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-B_{\gamma }(y)|\leq |d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|+d(x_{n}(s),\gamma (s))+|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq 3\varepsilon .$$

Функции Буземана на многообразии Адамара

Предположим, что x , y — точки многообразия Адамара, и пусть γ ( s ) — геодезическая, проходящая через x с γ (0) = y . Эта геодезическая пересекает границу замкнутого шара B ( y , r ) в двух точках γ(± r ) . Таким образом, если d ( x , y ) > r , существуют точки u , v такие , что d ( y , u ) = d ( y , v ) = r такие, что | d ( Икс , ты ) - d ( Икс , v ) | = 2 р . По непрерывности это условие сохраняется для функций Буземана:

• Если h — функция Буземана на многообразии Адамара, то, учитывая y в X и r > 0 , существуют единственные точки u , v с d(y,u) = d(y,v) = r такие, что h(u ) = h(y) + r и h(v) = h(y) − r . При фиксированном r > 0 точки u и v непрерывно зависят от y .

Если взять последовательность t _n, стремящуюся к ∞ , и h _n = F _{t n} найдутся точки un _{, то} и v _n , которые удовлетворяют этим условиям для h _n при достаточно большом n . необходимости к подпоследовательности, можно считать, что и _un vn стремятся _v к u и Переходя при . По непрерывности эти точки удовлетворяют условиям для h . Чтобы доказать единственность, заметим, что по компактности h принимает максимум и минимум на B ( y , r ) . Условие Липшица показывает, что значения h там отличаются не более чем на 2 r . Следовательно, h минимизируется в точке v и максимизируется в точке u . С другой стороны, d ( u , v ) = 2 r и для u и v точки v и u являются единственными точками в B ( y , r ), максимизирующими это расстояние. Условие Липшица на h немедленно подразумевает, что u и v должны быть уникальными точками в B ( y , r ), максимизирующими и минимизирующими h . Теперь предположим, что y _n стремится к y . Тогда соответствующие точки un _и подпоследовательности vn _. лежат в замкнутом шаре, поэтому допускают сходящиеся силу единственности u и v любые такие подпоследовательности должны стремиться к u и v , так что и _{Но в} vn должны _v стремиться к u и un , устанавливая непрерывность.

Приведенный выше результат в более общем смысле справедлив в пространстве Адамара.

• Если h — функция Буземана на многообразии Адамара, то h непрерывно дифференцируема с условием ‖ dh(y) ‖ = 1 для всех y .

Из предыдущих свойств h , для каждого y существует уникальная геодезическая γ( t ), параметризованная длиной дуги с γ(0) = y , такая, что h ∘ γ( t ) = h ( y ) + t . Он обладает тем свойством, что разрезает ∂ B ( y , r ) в точке t = ± r : в предыдущих обозначениях γ( r ) = u и γ(– r ) = v . Векторное поле V _h, определяемое единичным вектором ${\dot {\gamma }}(0)$ at y является непрерывным, поскольку u является непрерывной функцией y , а отображение, переводящее ( x , v ) в ( x ,exp _x v ), является диффеоморфизмом из TX на X × X по теореме Картана-Адамара . Пусть δ( s ) — другая геодезическая, параметризованная длиной дуги, проходящей через y, с δ(0) = y . Тогда dh ∘ δ (0)/ ds = $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$. Действительно, пусть H ( x ) = h ( x ) − h ( y ) , так что H ( y ) = 0 . Затем

$$|H(\delta (s))-H(x)|\leq d(\delta (s),x).$$

Применяя это к x = u и v , отсюда следует, что для s > 0

$$(r-d(\delta (s),u))/s\leq (h(\delta (s))-h(y))/s\leq (d(\delta (s),v)-r)/s.$$

Внешние термины имеют тенденцию $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ поскольку s стремится к 0, средний член имеет тот же предел, как утверждается. Аналогичный аргумент применим для s < 0 .

Утверждение о внешних членах следует из первой формулы вариации длины дуги, но его можно вывести непосредственно следующим образом. Позволять $a={\dot {\delta }}(0)$ и $b={\dot {\gamma }}(0)$, оба единичных вектора. Тогда для касательных векторов p и q в точке y в единичном шаре

$$d(\exp _{y}p,\exp _{y}q)=\|p-q\|+\varepsilon \max \|p\|^{2},\|q\|^{2}$$

с ε равномерно ограниченным. Пусть s = t ³ и г = т ² . Затем

$$(d(\delta (s),v)-r)/s=(d(\exp _{y}(t^{3}a),\exp _{y}(-t^{2}b))-t^{2})/t^{3}=(\|t^{3}a+t^{2}b\|-t^{2})/t^{3}+\varepsilon |t|=(\|ta+b\|-1)/t+\varepsilon |t|.$$

Правая часть здесь стремится к ( a , b ), поскольку t стремится к 0, поскольку

$${d \over dt}\|b+ta\||_{t=0}={1 \over 2}\,{d \over dt}\|b+ta\|^{2}|_{t=0}=(a,b).$$

Тот же метод работает и для других терминов.

Отсюда следует, что h является C ¹ функция с dh, двойственная векторному полю V _h , так что ‖ dh ( y ) ‖ = 1 . Таким образом, векторное поле V _h является векторным полем градиента для h . Геодезические, проходящие через любую точку, являются линиями тока потока α _t для V _h , так что α _t — градиентный поток для h .

ТЕОРЕМА. На многообразии Адамара X следующие условия на непрерывную функцию h эквивалентны:

1. h — функция Буземана.
2. h — выпуклая липшицева функция с константой 1, и для каждого y из X существуют точки u _± на расстоянии r от y такие, что h(u _± ) = h(y) ± r .
3. h — выпуклый C ¹ функция с ‖ dh(x) ‖ ≡ 1 .

Уже доказано, что (1) влечет за собой (2).

Приведенные выше аргументы показывают с соответствующими изменениями , что (2) влечет за собой (3).

Поэтому осталось показать, что (3) влечет за собой (1). Исправьте x в X. ​Пусть α _t будет градиентным потоком для h . Отсюда следует, что h ∘ α _t ( x ) = h ( x ) + t и что γ ( t ) = α _t ( x ) является геодезической, проходящей через x, параметризованной длиной дуги с γ (0) = x . Действительно, если s < t , то

$$|s-t|=|h(\alpha _{s}(x))-h(\alpha _{t}(x))|\leq d(\alpha _{s}(x),\alpha _{t}(x))\leq \int _{s}^{t}\|d\alpha _{\tau }(x)/d\tau \|\,d\tau =\int _{s}^{t}\|dh(\alpha _{\tau }(x))\|\,d\tau =|s-t|,$$

так что d (γ( s ),γ( t )) = | с - т | . Пусть g ( y ) = hγ ₍ ) y x , функция Буземана для γ базовой точкой с . В частности г ( Икс ) знак равно 0 . Чтобы доказать (1), достаточно показать, что g = h – h ( x )1 .

Пусть C (− r ) — замкнутое выпуклое множество точек z с h ( z ) ≤ − r . Поскольку X является пространством Адамара, для каждой точки в X существует единственная ближайшая точка Pr _y ( y ) к ) в C ( -r . y Оно непрерывно зависит от y , и если y лежит вне C (- r ) , то P _r ( y ) лежит на гиперповерхности h ( z ) = − r — границе ∂ C (– r ) C — (– r ) и геодезическая от y до P _r ( y ) ортогональна ∂ C ( – r ) . В этом случае геодезическая — это просто α _t ( y ) . Действительно, из того факта, что α _t является градиентным потоком h и условий ‖ dh ( y ) ‖ ≡ 1, следует, что линии тока α _t ( y ) являются геодезическими, параметризованными длиной дуги, и пересекают кривые уровня h ортогонально. Взяв y с h ( y ) = h ( x ) и t > 0 ,

$$d(x,y)\geq d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y)),\,\,\,d(x,\alpha _{t}(y))^{2}\geq d(x,\alpha _{t}(x))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2},\,\,\,d(y,\alpha _{t}(x))^{2}\geq d(y,\alpha _{t}(y))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2}.$$

С другой стороны, для любых четырех точек a , b , c , d в пространстве Адамара справедливо следующее четырехстороннее неравенство Решетняка :

$$|d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,d)^{2}|\leq 2d(a,b)d(c,d).$$

Полагая a = x , b = y , c = α _t ( x ) , d = α _t ( y ) , отсюда следует, что

$$|d(y,\alpha _{t}(x))^{2}-d(x,\alpha _{t}(x))^{2}|\leq 2d(x,y)^{2},$$

так что

$$|d(y,\alpha _{t}(x))-d(x,\alpha _{t}(x))|\leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\alpha _{t}(x))+d(x,\alpha _{t}(x))}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.$$

Следовательно, h _γ ( y ) = 0 на поверхности уровня h , содержащей x . Поток α _s можно использовать для переноса этого результата на все поверхности уровня h . В качестве общего y ₁ возьмем s такой, что h (α _s ( x )) = h ( y ₁ ) , и положим x ₁ = α _s ( x ) . Тогда час _{γ 1} ( y ₁ ) знак равно 0 , где γ ₁ ( т ) знак равно α _т ( Икс ₁ ) знак равно γ ( s + т ) . Но тогда час _{γ 1} = час _γ – s , так что час _γ ( y ₁ ) = s . Следовательно, g ( y ₁ ) = s = час ((α _s ( x )) – час ( x ) = час ( y ₁ ) – час ( x ) , как и требовалось.

Обратите внимание, что это рассуждение можно сократить, используя тот факт, что две функции Буземана h _γ и h _δ различаются на константу тогда и только тогда, когда соответствующие геодезические лучи удовлетворяют условию sup _{t ≥ 0} d (γ( t ),δ( t )) < ∞ . Действительно, все геодезические, определяемые потоком α _t, удовлетворяют последнему условию и поэтому отличаются константами. Поскольку вдоль любой из этих геодезических h линейна с производной 1, h должна отличаться от этих функций Буземана на константы.

Компактификация собственного пространства Адамара.

Эберлейн и О'Нил (1973) определили компактификацию многообразия Адамара X , которая использует функции Буземана. Их конструкция, которая в более общем смысле может быть распространена на собственные (т. е. локально компактные) пространства Адамара , дает явную геометрическую реализацию компактификации, определенной Громовым — путем добавления «идеальной границы» — для более общего класса собственных метрических пространств X , те, у которых каждый замкнутый шар компактен. Обратите внимание: поскольку любая последовательность Коши содержится в замкнутом шаре, любое собственное метрическое пространство автоматически полно. Идеальная граница — это частный случай идеальной границы метрического пространства. В случае пространств Адамара это согласуется с пространством геодезических лучей, исходящих из любой неподвижной точки, описываемой с помощью функций Буземана при ограничении пространства.

Если X — собственное метрическое пространство, компактификацию Громова можно определить следующим образом. Зафиксируйте точку x ₀ в X и пусть X _N = B ( x ₀ , N ) . Пусть Y = C ( X ) — пространство липшицевых функций на X , .т.е. те, для которых | ж ( Икс ) – ж ( у ) | ≤ A d ( x , y ) для некоторой константы A > 0 . Пространство Y можно топологизировать полунормами ‖ f ‖ _N = sup _{X N} | ж | , топология равномерной сходимости на компактах. индуцированная естественным отображением C ( X ) в прямое произведение банаховых пространств C ( XN _{Это топология ,} ) . Оно задается метрикой D ( f , g ) = Σ 2 ^{− Н} ‖ ж - грамм ‖ _N (1 + ‖ ж - грамм ‖ _N ) ⁻¹ .

Пространство X встраивается в Y путем отправки x в функцию f _x ( y ) = d ( y , x ) – d ( x ₀ , x ) . Пусть X — замыкание X в Y . Тогда X компактно (метризуемо) и содержит X как открытое подмножество; более того, компактификации, возникающие в результате различного выбора базовой точки, естественно гомеоморфны. Компактность следует из теоремы Арсела–Асколи поскольку образ в C ( X _N ) равнонепрерывен , и равномерно ограничен по норме N . Пусть x _n — последовательность из X ⊂ X , стремящаяся к y в X \ X . Тогда все члены, кроме конечного числа, должны лежать вне X _N, поскольку X _N компактно, так что любая подпоследовательность сходится к точке из X _N ; поэтому последовательность x _n должна быть неограниченной в X . Пусть час ( x ) = ( d ( x , x ₀ ) + 1) ⁻¹ . Тогда h в C0 _лежит ( X ) . Он отличен от нуля на X и обращается в нуль только в точке ∞ . Следовательно, оно продолжается до непрерывной функции на X с нулевым множеством X \ X . Отсюда следует, что X \ X замкнуто в X , что и требовалось. Чтобы проверить, что компактификация X = X ( x ₀ ) не зависит от базовой точки, достаточно показать, что k ( x ) = d ( x , x ₀ ) − d ( x , x ₁ ) продолжается до непрерывной функции на X . Но k ( x ) = f _x ( x ₁ ) , поэтому для g в X , k ( g ) = g ( x ₁ ) . Следовательно, соответствие между компактификациями для x ₀ и x ₁ задается отправкой g в X ( x ₀ ) в g + g ( x ₁ )1 в X ( x ₁ ) .

Когда X является многообразием Адамара (или, в более общем смысле, собственным пространством Адамара), идеальная граница Громова ∂ X = X \ X может быть явно реализована как «асимптотические пределы» геодезических с использованием функций Буземана. Зафиксировав базовую точку x0 _γ , существует единственная геодезическая ( t ), параметризованная длиной дуги, такая, что γ(0) x0 ₌ и ${\dot {\gamma }}(0)$ — заданный единичный вектор. Если B _γ — соответствующая функция Буземана, то B _γ лежит в ∂ X ( x ₀ ) и индуцирует гомеоморфизм единичной ( n − 1) -сферы на ∂ X ( x ₀ ) , отправляя ${\dot {\gamma }}(0)$ к B _γ .

Квазигеодезические в диске Пуанкаре, CAT(-1) и гиперболических пространствах

Лемма Морса – Мостоу.

В случае пространств отрицательной кривизны, таких как диск Пуанкаре, CAT(-1) и гиперболические пространства, на их границе Громова существует метрическая структура. Эту структуру сохраняет группа квазиизометрий, переводящих геодезические лучи в квазигеодезические. Квазигеодезические были впервые изучены для отрицательно искривленных поверхностей — в частности, гиперболической верхней полуплоскости и единичного диска — за его работу о Морсом и обобщены на отрицательно искривленные симметричные пространства Мостоу жесткости дискретных групп . Основной результат — лемма Морса–Мостоу об устойчивости геодезических.

По определению квазигеодезическая Γ, определенная на интервале [ a , b ] с −∞ ⩽ a < b ⩽ ∞, представляет собой отображение Γ( t ) в метрическое пространство, не обязательно непрерывное, для которого существуют константы λ ≥ 1 и ε > 0 такой, что для всех s и t :

$$\lambda ^{-1}|s-t|-\varepsilon \leq d(\Gamma (s),\Gamma (t))\leq \lambda |s-t|+\varepsilon .$$

Следующий результат по существу принадлежит Марстону Морсу (1924).

Лемма Морса об устойчивости геодезических. В гиперболическом диске существует константа R, зависящая от λ и ε, такая, что любой квазигеодезический сегмент Γ, определенный на конечном интервале [ a , b ], находится в пределах хаусдорфова расстояния R от геодезического сегмента [Γ( a ), Γ( b ). ] .

Классическое доказательство диска Пуанкаре.

Классическое доказательство леммы Морса для единичного диска Пуанкаре или верхней полуплоскости происходит более непосредственно с использованием ортогональной проекции на геодезический сегмент.

• Можно предположить, что Γ удовлетворяет более сильному условию «псевдогеодезического»:

$$\lambda ^{-1}|s-t|-\varepsilon \leq d(\Gamma (s),\Gamma (t))\leq \lambda |s-t|.$$

Γ можно заменить непрерывной кусочно-геодезической кривой Δ с теми же концами, лежащими на конечном хаусдорфовом расстоянии от Γ, меньшем, чем c = (2λ ² + 1)ε : разбить отрезок, на котором Γ определен , на равные подинтервалы длины 2λε и взять геодезические между образами под Γ концов подинтервалов. Поскольку ∆ кусочно-геодезическая, ∆ непрерывна по Липшицу с постоянной λ ₁ , d (∆( s ),∆( t )) ≤ λ ₁ | с – т | , где λ ₁ ≤ λ + ε . Нижняя граница устанавливается автоматически в конечных точках интервалов. Остальные значения по построению отличаются от этих равномерно ограниченными, зависящими только от λ и ε ; неравенство нижней границы выполняется при увеличении ε путем двойного добавления этой равномерной границы.

• Если γ — кусочно-гладкий отрезок кривой, лежащий вне s- окрестности геодезической линии, а P — ортогональная проекция на геодезическую линию, то:

$$\ell (P\circ \gamma )\leq {\ell (\gamma ) \over \cosh s}.$$

Применяя изометрию в верхней полуплоскости, можно предположить, что геодезическая линия является положительной мнимой осью, и в этом случае ортогональная проекция на нее определяется соотношением P ( z ) = i | г | и | г | / Im z знак равно шиш d ( z , Pz ) . Следовательно, из гипотезы следует | γ( т ) | ≥ ch( s ) Im γ( t ) , так что

$$\ell (P\circ \gamma )=\int _{a}^{b}{|d\gamma | \over |\gamma |}\leq \int _{a}^{b}{|d\gamma | \over \cosh(s)\,\Im \gamma }={\ell (\gamma ) \over \cosh(s)}.$$

• Существует константа h > 0, зависящая только от λ и ε, такая, что Γ[ a , b ] лежит внутри h -окрестности отрезка геодезической [Γ( a ), Γ( b )] .

Пусть γ( t ) — геодезическая линия, содержащая геодезический сегмент [Γ( a ),Γ( b )] . Тогда существует константа h > 0, зависящая только от λ и ε, такая, что h -окрестность Γ[ a , b ] лежит внутри h -окрестности γ( R ) . Действительно, для любого s > 0 подмножество [ a , b ] , для которого Γ( t ) лежит вне замыкания s -окрестности γ ( R ), открыто, поэтому счетное объединение открытых интервалов ( c , d ) . Затем

$$\ell (\Gamma |_{[c,d]})\leq s_{1}\equiv \lambda ^{2}(2s+\varepsilon )\left(1-{\lambda ^{2} \over \cosh(s)}\right),$$

поскольку левая часть меньше или равна λ | в – г | и

$${|c-d| \over \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma (c),\Gamma (d))\leq 2s+d(P\circ \Gamma |_{[c,d]})\leq 2s+{\lambda |c-d| \over \cosh(s)}.$$

Следовательно, каждая точка находится на расстоянии, меньшем или равном s + s ₁ от γ( R ) . Чтобы вывести утверждение, заметим, что подмножество [ a , b ], для которого Γ( t ) лежит вне замыкания s -окрестности [ Γ( a ),Γ( b )] ⊂ γ( R ) , открыто, объединение интервалов ( c , d ) с Γ( c ) и Γ( d ) на расстоянии s + s1 _{таким образом ,} либо от Γ( a ), либо от Γ( b ) . Затем

$$\ell (\Gamma |_{[c,d]})\leq s_{2}\equiv \lambda ^{2}(2(s+s_{1})+\varepsilon ),$$

с

$${|c-d| \over \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma (c),\Gamma (d))\leq 2(s+s_{1}).$$

Отсюда следует утверждение, если взять любой h больше, чем s + s ₁ + s ₂ .

• Существует константа h > 0, зависящая только от λ и ε, такая, что отрезок геодезической [Γ( a ), Γ( b )] лежит внутри h -окрестности Γ[ a , b ] .

Каждая точка Γ[ a , b ] лежит на расстоянии h от [Γ( a ),Γ( b )] . Таким образом, ортогональная проекция P переносит каждую точку Γ[ a , b ] в точку замкнутого выпуклого множества [Γ( a ),Γ( b )] на расстоянии меньшем, чем h . Поскольку P непрерывен и Γ[ a , b ] связен, отображение P должно быть включенным, поскольку изображение содержит концы [Γ( a ), Γ( b )] . Но тогда каждая точка [Γ( a ), Γ( b )] находится на расстоянии h от точки Γ[ a , b ] .

Доказательство Громова для диска Пуанкаре.

Обобщение леммы Морса на пространства CAT(-1) часто называют леммой Морса – Мостоу и может быть доказано путем прямого обобщения классического доказательства. Существует также обобщение на более общий класс гиперболических метрических пространств Громова . Доказательство Громова приведено ниже для единичного круга Пуанкаре; свойства гиперболических метрических пространств развиваются в ходе доказательства, так что оно применимо с соответствующими изменениями к CAT(-1) или гиперболическим метрическим пространствам.

Поскольку это крупномасштабное явление, достаточно проверить, что любые отображения ∆ из {0, 1, 2, ..., N } для любого N > 0 в круг, удовлетворяющие неравенствам, находятся в пределах хаусдорфова расстояния R ₁ геодезического сегмента [Δ(0),Δ( N )] . Ибо тогда при переводе можно без ограничения общности предположить, что Γ определена на [0, r ] с r > 1 , а затем, взяв N = [ r ] (целая часть r ), результат можно применить к Δ, определенному формулой Δ( я ) знак равно Γ( я ) . Расстояние Хаусдорфа между образами Γ и Δ , очевидно, ограничено константой R2 _, зависящей только от λ и ε .

Теперь вписанная окружность геодезического треугольника имеет диаметр меньше δ , где δ = 2 log 3 ; на самом деле он строго максимизируется таковым идеального треугольника, где он равен 2 log 3 . В частности, поскольку вписанная окружность разбивает треугольник, он разбивает треугольник на три равнобедренных треугольника, причем третья сторона, противоположная вершине исходного треугольника, имеет длину меньше δ , отсюда следует, что каждая сторона геодезического треугольника содержится в δ -окрестности две другие стороны. Простой индукционный аргумент показывает, что геодезический многоугольник с 2 ^к + 2 вершины для k ≥ 0 имеет каждую сторону в пределах ( k + 1)δ окрестности остальных сторон (такой многоугольник получается путем объединения двух геодезических многоугольников с 2 ^{к -1} + 1 сторона по общей стороне). Следовательно, если M ≤ 2 ^к + 2 , та же оценка справедлива для многоугольника с M сторонами.

Для y _i = Δ( i ) пусть f ( x ) = min d ( x , y _i ) — наибольший радиус замкнутого шара с центром в x , который не содержит y _i внутри. Это непрерывная функция, ненулевая на [Δ(0),Δ( N )], поэтому она достигает максимума h в некоторой точке x на этом отрезке. Тогда [∆(0),∆( N )] лежит в пределах h ₁ -окрестности образа ∆ для любого h ₁ > h . Поэтому достаточно найти верхнюю оценку h, зависящую от N. не

Выберите y и z в отрезке [Δ(0),Δ( N )] до и после x с d ( x , y ) = 2 h и d ( x , z ) = 2 h (или конечной точкой, если она находится в пределах расстояние менее 2 часов от x ). Тогда есть i , j такие, что d ( y ,Δ( i )) , d ( z ,Δ( j )) ≤ h . Следовательно, d (Δ( i ),Δ( j )) ≤ 6 h , так что | я - j | ≤ 6λ час + λε . По неравенству треугольника все точки на отрезках [ y ,Δ( i )] и [ z ,Δ( j )] находятся на расстоянии ≥ h от x . Таким образом, существует конечная последовательность точек, начинающаяся в y и заканчивающаяся в z , лежащая сначала на отрезке [ y ,∆( i )] , а затем проходящая через точки ∆( i ), ∆( i +1),... , Δ( j ) , прежде чем взять отрезок [Δ( j ), z ] . Последовательные точки ∆( i ), ∆( i +1), ..., ∆( j ) разделены расстоянием, не превышающим λ + ε , и последовательные точки на геодезических отрезках также могут быть выбраны так, чтобы удовлетворять этому условию. Минимальное количество K точек в такой последовательности удовлетворяет условию K ≤ | я - j | + 3 + 2(λ + ε) ^–1 ч . Эти точки образуют геодезический многоугольник с [ y , z ] в качестве одной из сторон. Возьмем L = [ h /δ] так, чтобы ( L − 1)δ -окрестность [ y , z ] не содержала все остальные стороны многоугольника. Отсюда из приведенного выше результата следует, что K > 2 ^{Л - 1} + 2 . Следовательно

$$3+2(\lambda +\varepsilon )^{-1}h+6\lambda h+\varepsilon >2^{h/\delta }+2.$$

Из этого неравенства следует, что h равномерно ограничен, независимо от N , как утверждается.

Если все точки ∆( i ) лежат в пределах 1 _[ h ∆(0),∆( N )] , результат следующий. В противном случае точки, не попадающие в максимальные подмножества S = { r , ..., s } с r < s . Таким образом, точки в [Δ(0),Δ( N )] имеют точку Δ( i ) с i в дополнении к S на расстоянии h ₁ . Но дополнение к S = S ₁ ∐ S ₂ представляет собой несвязное объединение с S ₁ = {0, ..., r − 1} и S ₂ = { s + 1, ..., N } . Связность подразумевает , [Δ(0),Δ( N )] существует точка x что в отрезке , которая находится на расстоянии h ₁ от точек Δ( i ) и Δ( j ) с i < r и j > s . Но тогда d (Δ( i ),Δ( j )) < 2 час ₁ , поэтому | я - j | ≤ 2λ час ₁ + λε . Следовательно, точки ∆( k ) для k в S лежат на расстоянии от [∆(0),∆( N )] меньше, чем h ₁ + λ | я - j | + ε ≤ час ₁ + λ (2λ час ₁ + λε) + ε ≡ час ₂ .

Распространение на квазигеодезические лучи и линии.

Напомним, что в пространстве Адамара, если [ a ₁ , b ₁ ] и [ a ₂ , b ₂ ] являются двумя геодезическими сегментами и промежуточные точки c ₁ ( t ) и c ₂ ( t ) делят их в отношении t :(1 – t ) , то d ( c ₁ ( t ), c ₂ ( t )) является выпуклой функцией от t . В частности, если Γ ₁ ( t ) и Γ ₂ ( t ) являются геодезическими сегментами с единичной скоростью, определенными на [0, R ], начинающимися в одной и той же точке, тогда

$$d(\Gamma _{1}(t),\Gamma _{2}(t))\leq {t \over R}d(\Gamma _{1}(R),\Gamma _{2}(R)).$$

В частности, это подразумевает следующее:

• CAT(–1) В пространстве X существует константа h > 0, зависящая только от λ и ε, такая, что любой квазигеодезический луч находится в пределах ограниченного Хаусдорфова расстояния h от геодезического луча. Аналогичный результат справедлив для квазигеодезических и геодезических линий.

Если Γ( t ) является геодезической, скажем, с постоянными λ и ε , пусть Γ _N ( t ) будет геодезической с единичной скоростью для отрезка [Γ(0), Γ( N )] . Приведенная выше оценка показывает, что при фиксированном R > 0 и N достаточно большом (Γ _N ) является последовательностью Коши в C ([0, R ], X ) с равномерной метрикой. Таким образом, Γ _N стремится к геодезическому лучу γ равномерно на компактах. Оценка хаусдорфовых расстояний между Γ и отрезками Γ _N применима и к предельной геодезической γ . Утверждение для квазигеодезических линий следует из того, что Γ _N соответствует отрезку геодезической [Γ(– N ), Γ( N )] .

Efremovich–Tikhomirova theorem

Прежде чем обсуждать пространства CAT(-1), в этом разделе будет описана теорема Ефремовича–Тихомировой для единичного круга D с метрикой Пуанкаре. Он утверждает, что квазиизометрии D продолжаются до квазимебиусовых гомеоморфизмов единичного круга с евклидовой метрикой. Теорема образует прототип более общей теории пространств CAT(-1). Их первоначальная теорема была доказана в несколько менее общей и менее точной форме в работе Ефремовича и Тихомировой (1964) и применена к билипшицевым гомеоморфизмам единичного круга для метрики Пуанкаре; ранее, в посмертной статье Мори (1957) , японский математик Акира Мори доказал родственный результат в рамках теории Тейхмюллера, гарантирующий, что каждый квазиконформный гомеоморфизм диска непрерывен по Гельдеру и, следовательно, непрерывно продолжается до гомеоморфизма единичного круга (известно, что что это расширение квазимебиусово).

Продолжение квазиизометрий до границы

Если X - единичный круг Пуанкаре или, в более общем смысле, пространство CAT (-1), лемма Морса об устойчивости квазигеодезических подразумевает, что каждая квазиизометрия X продолжается однозначно до границы. По определению два самоотображения f , g из X квазиэквивалентны, если sup _X d ( f ( x ), g ( x )) < ∞ , так что соответствующие точки находятся на равномерно ограниченном расстоянии друг от друга. Квазиизометрия f ₁ X X — это самоотображение ∘ имеет квазиобратное f ₂ такое, что f ₁ 1 f ₂ и f ₂ ∘ f _{, не обязательно непрерывное, которое} квазиэквивалентны соответствующим тождественным отображениям. и такие, что существуют константы λ ≥ 1 и ε > 0 такие, что для всех x , y в X и обоих отображений

$$\lambda ^{-1}d(x,y)-\varepsilon \leq d(f_{k}(x),f_{k}(y))\leq \lambda d(x,y)+\varepsilon .$$

Обратите внимание, что квазиобратные операции уникальны с точностью до квазиэквивалентности; это эквивалентное определение может быть дано с использованием, возможно, разных правых и левых квазиобратных значений, но они обязательно будут квазиэквивалентны; что квазиизометрии замкнуты относительно композиции, которая с точностью до квазиэквивалентности зависит только от классов квазиэквивалентности; и что по модулю квазиэквивалентности квазиизометрии образуют группу.

Фиксируя точку x в X , учитывая геодезический луч γ, начинающийся в x , изображение f ∘ γ при квазиизометрии f является квазигеодезическим лучом. По лемме Морса-Мостоу он находится на ограниченном расстоянии от единственного геодезического луча δ, начинающегося в точке x . Это определяет отображение ∂ f на границе ∂ X пространства X , независимое от класса квазиэквивалентности f , такое, что ∂( f ∘ g ) = ∂ f ∘ ∂ g . образом, существует гомоморфизм группы квазиизометрий в группу самоотображений ∂X Таким .

Чтобы проверить ∂ f непрерывность , заметим, что если γ ₁ и γ ₂ — геодезические лучи, равномерно близкие на [0, R ] на расстоянии η , то f ∘ γ ₁ и f ∘ γ ₂ лежат на расстоянии λη. + ε на [0, R ] , так что δ ₁ и δ ₂ лежат на расстоянии λη + ε + 2 h (λ,ε) ; на меньшем интервале [0, r ] следовательно , δ ₁ и δ ₂ лежат на расстоянии ( r / R )⋅[λη + ε + 2 h (λ,ε)] по выпуклости.

В пространствах CAT(-1) более тонкая версия непрерывности утверждает, что ∂ f является квазимебиусовым отображением относительно естественного класса метрики на ∂ X , «визуальной метрики», обобщающей евклидову метрику на единичной окружности и ее преобразуется относительно группы Мёбиуса. Эти визуальные метрики можно определить в терминах функций Буземана.

В случае единичного круга теория Тейхмюллера предполагает, что гомоморфизм переносит квазиконформные гомеоморфизмы диска на группу квазимебиусовых гомеоморфизмов окружности (с использованием, например, расширения Альфорса – Берлинга или Дуади – Эрла ): отсюда следует, что гомоморфизм группы квазиизометрий в группу квазиМёбиуса сюръективен.

В другом направлении несложно доказать, что гомоморфизм инъективен. Предположим, что f — квазиизометрия единичного круга такая, что ∂ f — единица. Из предположения и леммы Морса следует, что если γ( R ) — геодезическая линия, то f (γ( R )) лежит в h -окрестности γ( R ) . Теперь возьмем вторую геодезическую линию δ такую, что δ и γ пересекаются ортогонально в данной точке a . Тогда f ( a ) лежит в пересечении h -окрестностей δ и γ . Применяя преобразование Мёбиуса, можно предположить, что a находится в начале единичного круга, а геодезические — это действительная и мнимая оси. По выпуклости h -окрестности этих осей пересекаются в 3 h -окрестности начала координат: если z лежит в обеих окрестностях, то пусть x и y — ортогональные проекции z на x- и y -оси; тогда d ( z , x ) ≤ h , поэтому, проецируя на ось y , d (0, y ) ≤ h ; следовательно d ( z ,0) ≤ d ( z , y ) + d ( y ,0) ≤ 2 час . Следовательно, d ( a , f ( a )) ≤ 2 h , так что f квазиэквивалентно тождеству, как утверждается.

Перекрестное соотношение и расстояние между непересекающимися геодезическими линиями

Учитывая две различные точки z , w на единичной окружности или действительной оси, существует единственная гиперболическая геодезическая [ z , w ], соединяющая их. Он задается окружностью (или прямой линией), которая пересекает единичную окружность или действительную ось ортогонально в этих двух точках. Учитывая четыре различные точки a , b , c , d в расширенной комплексной плоскости, их перекрестное отношение определяется выражением

$$(a,b;c,d)={(a-c)(b-d) \over (a-d)(b-c)}.$$

Если g - комплексное преобразование Мёбиуса , то оно оставляет перекрестное отношение инвариантным: ( g ( a ), g ( b ); g ( c ), g ( d )) = ( a , b : c , d ) . Поскольку группа Мёбиуса действует просто транзитивно на тройках точек, перекрестное отношение можно альтернативно описать как комплексное число z в C \{0,1} такое, что g ( a ) = 0, g ( b ) = 1, g ( c ) = λ, g ( d ) = ∞ для преобразования Мёбиуса g .

Поскольку a , b , c и d появляются в числителе, определяющем перекрестное отношение, чтобы понять поведение перекрестного отношения при перестановках a , b , c и d , достаточно рассмотреть перестановки, которые фиксируют d , поэтому переставляйте только a , б и в . Перекрестное отношение преобразуется в соответствии с ангармонической группой порядка 6, созданной преобразованиями Мёбиуса, переводящими λ в 1 – λ и λ. ⁻¹ . Остальные три преобразования переводят λ в 1 – λ ⁻¹ , к λ(λ – 1) ⁻¹ и (1 – λ) ⁻¹ .

Теперь пусть a , b , c , d будут точками на единичной окружности или действительной оси в указанном порядке. Тогда геодезические [ a , b ] и [ c , d ] не пересекаются и расстояние между этими геодезическими четко определено: существует единственная геодезическая линия, пересекающая эти две геодезические ортогонально, и расстояние определяется длиной геодезического сегмента. между ними. Очевидно, оно инвариантно относительно реальных преобразований Мёбиуса. Чтобы сравнить перекрестное отношение и расстояние между геодезическими, инвариантность Мёбиуса позволяет свести расчет к симметричной конфигурации. Для 0 < r < R возьмем a = – R , b = r , c = r , d = R. - Затем λ знак равно ( а , б ; c , d ) знак равно ( р + р ) ² /4 рР = ( т + 1) ² /4 т где т знак равно р / р > 1 . С другой стороны, геодезические [ a , d ] и [ b , c ] представляют собой полукруги в верхней полуплоскости r и R. радиусов Геодезическая, которая пересекает их ортогонально, — это положительная мнимая ось, поэтому расстояние между ними — это гиперболическое расстояние между ir и iR , d ( ir , iR ) = log R / r = log t . Пусть s = log t , тогда λ = ch ² ( s /2) , так что существует константа C > 0 такая, что если ( a , b ; c , d ) > 1 , то

$$d([a,d];[b,c])-C\leq \log(a,b;c,d)\leq d([a,d];[b,c])+C,$$

поскольку log[cosh( x )/exp x )] = log (1 + exp(–2 x ))/2 ограничен сверху и снизу по x ≥ 0 . Обратите внимание, что a , b , c , d находятся в порядке вокруг единичного круга тогда и только тогда, когда ( a , b ; c , d ) > 1 .

Более общую и точную геометрическую интерпретацию перекрестного отношения можно дать, используя проекции идеальных точек на геодезическую линию; это не зависит от порядка точек на окружности и, следовательно, от того, пересекаются ли геодезические линии.

• Если p и q — основания перпендикуляров из c и d к геодезической линии ab , то d(p,q) = | журнал | (а,б;в,г) || .

Поскольку обе части инвариантны относительно преобразований Мёбиуса, достаточно проверить это в случае, когда a = 0 , b = ∞ , c = x и d = 1 . В этом случае геодезической линией является положительная мнимая ось, правая часть равна | журнал | х || , р = | х | я и q знак равно я . Таким образом, левая часть равна | журнал | х || . Обратите внимание, что p и q также являются точками, в которых вписанные окружности идеальных треугольников abc и abd касаются ab .

Доказательство теоремы

Гомеоморфизм F окружности квазисимметричен, если существуют константы a , b > 0 такие, что

$$\displaystyle {{|F(z_{1})-F(z_{2})| \over |F(z_{1})-F(z_{3})|}\leq a{|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_{3}|^{b}}.}$$

Это квази-Мёбиус , если существуют константы c , d > 0 такие, что

$$\displaystyle {|(F(z_{1}),F(z_{2});F(z_{3}),F(z_{4}))|\leq c|(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}$$

где

$$\displaystyle {(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}$$

обозначает перекрестное отношение .

Сразу видно, что квазисимметричные и квазимебиусовые гомеоморфизмы замкнуты относительно операций обращения и композиции.

Если F квазисимметричен, то он также квазимебиусов, причем c = a ² и d = b : это получается путем умножения первого неравенства на ( z ₁ , z ₃ , z ₄ ) и ( z ₂ , z ₄ , z ₃ ) . Обратно, любой квазимебиусов гомеоморфизм F квазисимметричен. Чтобы убедиться в этом, можно сначала проверить, что F (и, следовательно, F ⁻¹ ) непрерывен по Гёльдеру . Пусть S — множество кубических корней из единицы, так что если a ≠ b в S , то | а - б | знак равно 2 грех π /3 знак равно √ 3 . Чтобы доказать оценку Гёльдера, можно предположить, что x – y равномерно мало. Тогда и x, и y больше, чем фиксированное расстояние от a , b в S с a ≠ b , поэтому оценка следует путем применения неравенства квази-Мёбиуса к x , a , y , b . Чтобы убедиться в квазисимметричности F , достаточно найти равномерную верхнюю оценку | F ( Икс ) - F ( y ) | / | F ( Икс ) - F ( z ) | в случае тройки с | Икс - z | = | х - у | , равномерно малый. В этом случае существует точка w на расстоянии больше 1 от x , y и z . Применение неравенства квази-Мёбиуса к x , w , y и z дает требуемую верхнюю оценку. Подводя итог:

• Гомеоморфизм окружности квазимебиусов тогда и только тогда, когда он квазисимметричен. В этом случае оно и обратное к нему непрерывны по Гёльдеру. Квазимебиусовые гомеоморфизмы образуют группу относительно композиции.

Для доказательства теоремы достаточно доказать, что если F = ∂ f, то существуют константы A , B > 0 такие, что для a , b , c , d различные точки на единичной окружности

$$\displaystyle {|(F(a),F(b);F(c),F(d))|\leq A|(a,b;c,d)|^{B}.}$$

Уже проверено, что F (и обратное) непрерывны. Составив f и, следовательно, F с комплексным сопряжением, если необходимо, можно далее предположить, что F сохраняет ориентацию окружности. В этом случае, если a , b , c , d находятся в порядке на круге, то также имеются изображения под F ; следовательно, оба ( a , b ; c , d ) и ( F ( a ), F ( b ); F ( c ), F ( d )) вещественны и больше единицы. В этом случае

$$(F(a),F(b);F(c),F(d))\leq A(a,b;c,d)^{B}.$$

Чтобы доказать это, достаточно показать, что log ( F ( a ), F ( b ); F ( c ), F ( d )) ≤ B log ( a , b ; c , d ) + C . Из предыдущего раздела достаточно показать d ([ F ( a ), F ( b )], [ F ( c ), F ( d )]) ≤ P d ([ a , b ], [ c , d ]) + Вопрос . Это следует из того, что образы под f для [ a , b ] и [ c , d ] лежат в пределах h -окрестностей [ F ( a ), F ( b )] и [ F ( c ), F ( d ) ] ; минимальное расстояние можно оценить с помощью констант квазиизометрии для f, примененных к точкам на [ a , b ] и [ c , d ] реализуя d ([ a , b ],[ c , d ]) .

Скорректировав A и B при необходимости, приведенное выше неравенство применимо и к F. ⁻¹ . Заменяя a , b , c и d их образами под F , следует, что

$$A^{-1}|(a,b;c,d)|^{-B}\leq |(F(a),F(b);F(c),F(d))|\leq A|(a,b;c,d)|^{B}$$

если a , b , c и d находятся в порядке на единичной окружности. Следовательно, те же неравенства справедливы и для трех циклических четверки a , b , c , d . Если a и b переключены, то перекрестные отношения преобразуются в инверсные, поэтому лежат в диапазоне от 0 до 1; аналогично, если c и d поменяны местами. Если обе пары переключены, перекрестное соотношение остается неизменным. Следовательно, неравенства справедливы и в этом случае. Наконец, если b и c поменять местами, перекрестное отношение изменится с λ на λ. ^–1 (λ – 1) = 1 – λ ^–1 , который лежит между 0 и 1. Следовательно, снова справедливы те же неравенства. Легко проверить, что с помощью этих преобразований неравенства справедливы для всех возможных перестановок a , b , c и d , так что F и его обратный являются квазимебиусовыми гомеоморфизмами.

Функции Буземана и визуальные метрики для пространств CAT(-1)

Функции Буземана можно использовать для определения специальных визуальных метрик в классе пространств CAT(-1). Это полные геодезические метрические пространства, в которых расстояния между точками на границе геодезического треугольника меньше или равны треугольнику сравнения в гиперболической верхней полуплоскости или, что то же самое, единичному кругу с метрикой Пуанкаре. В случае единичного диска хордальная метрика может быть восстановлена ​​непосредственно с использованием функций Буземана B _γ , а специальная теория диска полностью обобщается на любое собственное пространство CAT(-1) X . Гиперболическая верхняя полуплоскость представляет собой пространство CAT(0), поскольку длины в гиперболическом геодезическом треугольнике меньше длин в евклидовом треугольнике сравнения: в частности, пространство CAT(-1) является пространством CAT(0), поэтому теория функций Буземана и применяется граница Громова. Из теории гиперболического диска, в частности, следует, что каждый геодезический луч в пространстве CAT(-1) продолжается до геодезической линии и для данных двух точек границы существует единственная геодезическая. γ такой, что эти точки являются пределами γ(±∞) . Теория одинаково хорошо применима к любому пространству CAT( −κ ) с κ > 0, поскольку они возникают в результате масштабирования метрики в пространстве CAT(-1) на κ. ^−1/2 . На единичном гиперболическом круге D квазиизометрии диска D индуцируют квазимебиусовые гомеоморфизмы границы функториальным образом. Существует более общая теория гиперболических пространств Громова, справедливо аналогичное утверждение, но с менее точным контролем гомеоморфизмов границы.

Приложения в теории перколяции

Дополнительная информация: теория перколяции.

Совсем недавно функции Буземана использовались вероятностами для изучения асимптотических свойств в моделях перколяции первого прохождения. и направленная перколяция последнего прохода.

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции по квазиконформным отображениям , Ван Ностранд
• Баллманн, Вернер; Громов, Михаил; Шредер, Виктор (1985), Многообразия неположительной кривизны , Progress in Mathematics, vol. 61, Биркхойзер , ISBN  0-8176-3181-Х
• Баллманн, Вернер (1995), Лекции по пространствам неположительной кривизны , Семинар DMV, вып. 25, Биркхойзер, ISBN  3-7643-5242-6
• Бердон, Алан Ф. (1983), Геометрия дискретных групп , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90788-2
• Бурдон, Марк (1995), «Структура, соответствующая краю и геодезическому потоку CAT (-1)-пространства», Enseign. Математика. (на французском языке), 41 : 63–102.
• Бурдон, Марк (2009), «Квазиконформная геометрия и жесткость Мостова», Геометрии с отрицательной или нулевой кривизной, дискретные группы и жесткости , Семин. Конгресс, том. 18, соц. Математика. Франция, с. 201–212
• Бридсон, Мартин Р.; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Спрингер
• Буземан, Герберт (1955), Геометрия геодезических , Academic Press
• Буяло, Сергей; Шредер, Виктор (2007), Элементы асимптотической геометрии , Монографии EMS по математике, Европейское математическое общество , ISBN  978-3-03719-036-4
• Дальбо, Франсуаза; Пенье, Марк; Самбусетти, Андреа (2012), «О оригранице и геометрии лучей отрицательно искривленных многообразий» (PDF) , Pacific J. Math. , 259 : 55–100, arXiv : 1010.6028 , doi : 10.2140/pjm.2012.259.55 , S2CID   7309250 , Приложение.
• Дамрон, Майкл; Хэнсон, Джек (2014), «Функции Буземана и бесконечные геодезические в двумерной перколяции первого прохождения», Comm. Математика. Физ. , 325 (3): 917–963, arXiv : 1209.3036 , Bibcode : 2014CMaPh.325..917D , doi : 10.1007/s00220-013-1875-y , S2CID   119589291
• Эберлейн, П.; О'Нил, Б. (1973), «Многообразия видимости», Pacific J. Math. , 46 : 45–109, doi : 10.2140/pjm.1973.46.45
• Efremovich, V. A. ; Tikhomirova, E. S. (1964), "Equimorphisms of hyperbolic spaces" , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (in Russian), 28 : 1139–1144
• Георгиу, Никос; Расул-Ага, Фирас; Сеппяляйнен, Тимо (2016), «Вариационные формулы и коциклические решения для моделей направленного полимера и перколяции», Comm. Математика. Физ. , 346 (2): 741–779, arXiv : 1311.3016 , Bibcode : 2016CMaPh.346..741G , doi : 10.1007/s00220-016-2613-z , S2CID   5887311
• Хоффман, Кристофер (2005), «Сосуществование конкурирующих моделей пространственного роста типа Ричардсона», Ann. Прил. Вероятно. , 15 : 739–747, arXiv : math/0405377 , doi : 10.1214/105051604000000729 , S2CID   15113728
• Капович, Майкл (2001), Гиперболические многообразия и дискретные группы , Progress in Mathematics, vol. 183, Биркхойзер , ISBN  0-8176-3904-7
• Лехто, Олли (1987), Однолистные функции и пространства Тейхмюллера , Тексты для аспирантов по математике, том. 109, Спрингер Верлаг, ISBN  0-387-96310-3
• Лурье, Дж. (2010), Заметки по теории пространств Адамара (PDF) , Гарвардский университет , заархивировано из оригинала (PDF) 8 июля 2006 г.
• Мори, Акира (1957), «О квазиконформности и псевдоаналитичности» (PDF) , Trans. амер. Математика. Соц. , 84 : 56–77, doi : 10.1090/s0002-9947-1957-0083024-5
• Морс, Х.М. (1924), «Фундаментальный класс геодезических на любой замкнутой поверхности рода больше единицы» (PDF) , Trans. амер. Математика. Соц. , 26 : 25–60, doi : 10.1090/s0002-9947-1924-1501263-9
• Мостоу, Г. Дэниел (1973). Сильная жесткость локально симметричных пространств . Анналы математических исследований. Том. 78. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-6910-8136-6 . JSTOR   j.ctt1bd6kr9 .
• Пападопулос, Атанас (2014), Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 6 (второе изд.), Европейское математическое общество , ISBN.  978-3-03719-132-3
• Полен, Фредерик (1996), «Гиперболическая группа определяется своим краем», J. London Math. Соц. (на французском языке), 54 : 50–74, doi : 10.1112/jlms/54.1.50
• Рэтклифф, Джон Г. (2006), Основы гиперболических многообразий , Тексты для аспирантов по математике, том. 149 (второе изд.), Springer, ISBN.  978-0387-33197-3
• Роу, Джон (2003), Лекции по грубой геометрии , Серия университетских лекций, том. 31, Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-3332-4
• Сиохама, Кацухиро (1984), "Топология полных некомпактных многообразий", Геометрия геодезических и смежные темы , Адв. Стад. Чистая математика., вып. 3, Северная Голландия , стр. 423–450.
• Сиоя, Т. (2001) [1994], «Функция Буземана» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вайсала, Юсси (1984), «Карты Квази-Мебиуса», Journal d'Analyse Mathématique , 44 : 218–234, doi : 10.1007/bf02790198 , S2CID   189767039