Теорема Дини

В математической области анализа гласит , теорема Дини что если монотонная последовательность непрерывных функций сходится поточечно на компакте и если предельная функция также непрерывна, то сходимость является равномерной. ^{[ 1 ]}

Официальное заявление

Если $X$ является компактным топологическим пространством и $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ представляет собой монотонно возрастающую последовательность (т.е. $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ для всех $n\in \mathbb {N}$ и $x\in X$ ) непрерывных вещественных функций на $X$ которая поточечно сходится к непрерывной функции $f\colon X\to \mathbb {R}$ , то сходимость равномерная . Тот же вывод справедлив, если $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ монотонно убывает, а не возрастает. Теорема названа в честь Улиссе Дини . ^{[ 2 ]}

Это одна из немногих ситуаций в математике, когда поточечная сходимость подразумевает равномерную сходимость; Ключом является больший контроль, подразумеваемый монотонностью. Предельная функция должна быть непрерывной, поскольку равномерный предел непрерывных функций обязательно непрерывен. Непрерывность предельной функции не может быть выведена из другой гипотезы (рассмотрим $x^{n}$ в $[0,1]$ .)

Доказательство

Позволять $\varepsilon >0$ быть дано. Для каждого $n\in \mathbb {N}$ , позволять $g_{n}=f-f_{n}$ , и пусть $E_{n}$ быть набором из них $x\in X$ такой, что $g_{n}(x)<\varepsilon$ . Каждый $g_{n}$ непрерывен, и поэтому каждый $E_{n}$ открыт (поскольку каждый $E_{n}$ является прообразом открытого множества $(-\infty ,\varepsilon )$ под $g_{n}$ , непрерывная функция). С $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ монотонно возрастает, $(g_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ монотонно убывает, то последовательность $E_{n}$ является возрастающим (т. $E_{n}\subset E_{n+1}$ для всех $n\in \mathbb {N}$ ). С $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ сходится поточечно к $f$ , отсюда следует, что коллекция $(E_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ представляет собой открытую крышку $X$ . По компактности существует конечное подпокрытие, и поскольку $E_{n}$ поднимаются, самый большой из них тоже является прикрытием. Таким образом, мы получаем, что существует некоторое целое положительное число $N$ такой, что $E_{N}=X$ . То есть, если $n>N$ и $x$ это точка в $X$ , затем $|f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon$ , по желанию.

Примечания

^ Эдвардс 1994 , с. 165. Фридман 2007 , с. 199. Грейвс 2009 , с. 121. Томсон, Брукнер и Брукнер 2008 , с. 385.
^ Согласно Эдвардсу 1994 , с. 165: «[Эта теорема] называется теоремой Дини, потому что Улиссе Дини (1845–1918) представил ее оригинальную версию в своей книге по теории функций действительной переменной, опубликованной в Пизе в 1878 году».

Ссылки

Бартл, Роберт Г. и Шерберт Дональд Р. (2000) «Введение в реальный анализ, третье издание» Уайли. стр. 238. – Представлено доказательство с использованием калибров.
Эдвардс, Чарльз Генри (1994) [1973]. Расширенное исчисление нескольких переменных . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2 .
Грейвс, Лоуренс Мюррей (2009) [1946]. Теория функций действительных переменных . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47434-2 .
Фридман, Авнер (2007) [1971]. Продвинутое исчисление . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45795-6 .
Йост, Юрген (2005) Постмодернистский анализ, третье издание, Springer. См. теорему 12.1 на стр. 157 для случая монотонного возрастания.
Рудин, Уолтер Р. (1976) Принципы математического анализа, третье издание, McGraw – Hill. См. теорему 7.13 на стр. 150 для случая монотонного убывания.
Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2008) [2001]. Элементарный реальный анализ . КлассическийRealAnaанализ.com. ISBN 978-1-4348-4367-8 .

[1] Эдвардс 1994 , с. 165. Фридман 2007 , с. 199. Грейвс 2009 , с. 121. Томсон, Брукнер и Брукнер 2008 , с. 385.

[2] Согласно Эдвардсу 1994 , с. 165: «[Эта теорема] называется теоремой Дини, потому что Улиссе Дини (1845–1918) представил ее оригинальную версию в своей книге по теории функций действительной переменной, опубликованной в Пизе в 1878 году».

[ 1 ]

[ 2 ]