Пространство Адамара

В пространстве Адамара треугольник является гиперболическим ; то есть средний на картинке. Фактически любое полное метрическое пространство, в котором треугольник является гиперболическим, является пространством Адамара.

В геометрии пространство Адамара , названное в честь Жака Адамара , является нелинейным обобщением гильбертова пространства . В литературе они также эквивалентно определяются как полные пространства CAT(0) .

Пространство Адамара определяется как непустое полное метрическое пространство такое, что по любым точкам $x$ и $y,$ существует точка $m$ такой, что для каждой точки $z,$$$d(z,m)^{2}+{d(x,y)^{2} \over 4}\leq {d(z,x)^{2}+d(z,y)^{2} \over 2}.$$

Суть $m$ тогда это середина $x$ и $y:$ $d(x,m)=d(y,m)=d(x,y)/2.$

В гильбертовом пространстве приведенное выше неравенство представляет собой равенство (при этом $m=(x+y)/2$), и вообще пространство Адамара называется плоским, если приведенное выше неравенство является равенством. Плоское пространство Адамара изоморфно замкнутому выпуклому подмножеству гильбертова пространства. В частности, нормированное пространство является пространством Адамара тогда и только тогда, когда оно является гильбертовым пространством.

Геометрия пространств Адамара напоминает геометрию гильбертовых пространств, что делает их естественной средой для изучения теорем жесткости . В пространстве Адамара любые две точки можно соединить уникальной геодезической между ними; в частности, он сжимаем . В общем случае, если $B$ — ограниченное подмножество метрического пространства, то центр содержащего его замкнутого шара минимального радиуса называется окружности центром описанной $B.$ Каждое ограниченное подмножество пространства Адамара содержится в наименьшем замкнутом шаре (что совпадает с замыканием его выпуклой оболочки). Если $\Gamma$ - группа изометрий инвариант пространства Адамара, оставляющая $B,$ затем $\Gamma$ фиксирует центр окружности $B$ ( Теорема Брюа–Титса о неподвижной точке ).

Основным результатом для многообразия неположительной кривизны является теорема Картана–Адамара . Аналог справедлив для пространства Адамара: полное связное метрическое пространство, локально изометричное пространству Адамара, имеет пространство Адамара в качестве своего универсального покрытия . неположительной кривизны Его вариант применим для орбифолдов . (ср. Лурье.)

Примерами пространств Адамара являются гильбертовы пространства , диск Пуанкаре , полные вещественные деревья (например, полное здание Брюа–Титса ), $(p,q)$-пространство с $p,q\geq 3$ и $2pq\geq p+q,$ и многообразия Адамара , т. е. полные односвязные римановы многообразия неположительной секционной кривизны . Важными примерами многообразий Адамара являются односвязные симметрические пространства неположительной кривизны .

Применение пространств Адамара не ограничивается геометрией. В 1998 году Дмитрий Бураго и Серж Ферлегер. использовал геометрию CAT(0) для решения задачи динамического бильярда : существует ли в газе твердых шаров единый предел числа столкновений? Решение начинается с построения конфигурационного пространства динамической системы , полученного путем объединения копий соответствующей бильярдной таблицы, которое оказывается пространством Адамара.

См. также

• Пространство CAT (k) - тип метрического пространства в математике.
• Многообразие Адамара - полное односвязное риманово многообразие с неположительной секционной кривизной всюду. Страницы, отображающие описания из Викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Бридсон, Мартин Р.; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Спрингер
• Пападопулос, Атанас (2014), Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 6 (второе изд.), Европейское математическое общество , ISBN.  978-3-03719-132-3
• Бураго, Дмитрий; Юрий Бураго и Сергей Иванов. Курс метрической геометрии . Американское математическое общество. (1984)
• Якоб Лурье : Заметки по теории пространств Адамара
• Alexander S., Kapovich V., Petrunin A. Notes on Alexandrov Geometry