Жесткость (математика)

В математике совокупность жесткая чем C математических объектов (например, наборов или функций) — это совокупность, в которой каждый c ∈ C однозначно определяется меньшим количеством информации о c, можно было бы ожидать. Приведенное выше утверждение не определяет математическое свойство ; вместо этого он описывает, в каком смысле прилагательное «жесткий» обычно используется математиками в математике.

Примеры

Вот некоторые примеры:

Гармонические функции на единичном круге являются жесткими в том смысле, что они однозначно определяются своими граничными значениями.
Голоморфные функции определяются множеством всех производных в одной точке. Гладкая функция от действительной прямой до комплексной плоскости, вообще говоря, не определяется всеми своими производными в одной точке, но так оно и есть, если мы дополнительно потребуем возможности продолжения функции до единицы в окрестности действительной линии. линия на комплексной плоскости. Лемма Шварца является примером такой теоремы о жесткости.
Согласно фундаментальной теореме алгебры , многочлены в C являются жесткими в том смысле, что любой многочлен полностью определяется своими значениями на любом бесконечном множестве , скажем , N или единичном круге . В предыдущем примере полином также определяется в множестве голоморфных функций конечным набором его ненулевых производных в любой отдельной точке.
Линейные отображения L ( X , Y ) между векторными пространствами X , Y являются жесткими в том смысле, что любой L ( X , Y ) полностью определяется своими значениями на любом наборе базисных векторов X. ∈ L
Теорема о жесткости Мостоу , которая утверждает, что геометрическая структура многообразий отрицательной кривизны определяется их топологической структурой.
является Хорошо упорядоченное множество жестким в том смысле, что единственным ( сохраняющим порядок ) автоморфизмом на нем является тождественная функция. Следовательно, изоморфизм между двумя заданными вполне упорядоченными множествами будет единственным.
Теорема Коши о геометрии выпуклых многогранников утверждает, что выпуклый многогранник однозначно определяется геометрией его граней и комбинаторными правилами смежности.
Теорема единственности Александрова что выпуклый многогранник в трех измерениях однозначно определяется метрическим пространством геодезических утверждает , на его поверхности.
Результаты о жесткости в K-теории показывают изоморфизмы между различными алгебраическими группами K-теории .
Жесткие группы в обратной задаче Галуа .

Комбинаторное использование

В комбинаторике термин «жесткая» также используется для определения понятия « жесткой сюръекции» , которая представляет собой сюръекцию. $f:n\to m$ для которого выполняются следующие эквивалентные условия: ^{[ 1 ]}

Для каждого $i,j\in m$ , $i<j\implies \min f^{-1}(i)<\min f^{-1}(j)$ ;
Учитывая $f$ как $n$ - кортеж ${\big (}f(0),f(1),\ldots ,f(n-1){\big )}$ , первые появления элементов в $m$ находятся в порядке возрастания;
$f$ отображает начальные сегменты $n$ к начальным сегментам $m$ .

Это относится к приведенному выше определению жесткости, поскольку каждая жесткая сюръекция $f$ однозначно определяется разбиением однозначно определяет и $n$ в $m$ куски. Учитывая жесткую сюръекцию $f$ , раздел определяется $n=f^{-1}(0)\sqcup \cdots \sqcup f^{-1}(m-1)$ . И наоборот, учитывая разделение $n=A_{0}\sqcup \cdots \sqcup A_{m-1}$ , закажи $A_{i}$ позволяя $A_{i}\prec A_{j}\iff \min A_{i}<\min A_{j}$ . Если $n=B_{0}\sqcup \cdots \sqcup B_{m-1}$ теперь это $\prec$ -упорядоченный раздел, функция $f:n\to m$ определяется $f(i)=j\iff i\in B_{j}$ является жесткой сюръекцией.