Структура уровней (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии структура уровня в пространстве X — это дополнительная структура, прикрепленная к , требуя автоморфизмов для X, которая сжимает или устраняет группу автоморфизмов X сохранения структуры уровня; часто называют усилением геометрии X. присоединение структуры уровней

В приложениях структура уровней используется при построении пространств модулей ; пространство модулей часто строится как частное. Наличие автоморфизмов затрудняет образование фактора ; таким образом, введение уровневых структур помогает преодолеть эту трудность.

Единого определения уровневой структуры не существует; скорее, в зависимости от пространства X , вводится понятие структуры уровней. Классический — на эллиптической кривой (см. #Пример: абелева схема ). Существует структура уровней, прикрепленная к формальной группе, называемая структурой уровней Дринфельда , введенная в ( Дринфельд 1974 ).

Структуры уровней на эллиптических кривых

Классически структуры уровней на эллиптических кривых $E=\mathbb {C} /\Lambda$ задаются решеткой, содержащей определяющую решетку многообразия. С точки зрения теории модулей эллиптических кривых все такие решетки можно описать как решетку $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau$ для $\tau \in {\mathfrak {h}}$ в верхней полуплоскости. Тогда решетка, порожденная $1/n,\tau /n$ дает решетку, содержащую все $n$-точки кручения на эллиптической кривой, обозначаемые $E[n]$. Фактически, если такая решетка инвариантна относительно $\Gamma (n)\subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ действие по ${\mathfrak {h}}$, где

${\begin{aligned}\Gamma (n)&={\text{ker}}({\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} /n))\\&=\left\{M\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ):M\equiv {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\text{ (mod n)}}\right\}\end{aligned}}$

следовательно, это дает точку в $\Gamma (n)\backslash {\mathfrak {h}}$ называется пространством модулей структур уровня N эллиптических кривых $Y(n)$, которая является модульной кривой . На самом деле это пространство модулей содержит немного больше информации: спаривание Вейля

$e_{n}\left({\frac {1}{n}},{\frac {\tau }{n}}\right)=e^{2\pi i/n}$

дает точку в $n$-th корни из единицы, следовательно, в $\mathbb {Z} /n$.

Пример: абелева схема

Позволять $X\to S$ — абелева схема , геометрические слои которой имеют размерность g .

Пусть n будет положительным целым числом, которое является простым с полем вычетов каждого s в S . При n ≥ 2 уровень n -структуры представляет собой набор секций $\sigma _{1},\dots ,\sigma _{2g}$ такой, что

1. для каждой геометрической точки $s:S\to X$, $\sigma _{i}(s)$ составляют основу группы точек порядка n в ${\overline {X}}_{s}$,
2. $m_{n}\circ \sigma _{i}$ это раздел идентификации, где $m_{n}$ это умножение на n .

См. также: модульная кривая#Примеры , стек модулей эллиптических кривых .

См. также

• Уплотнение модульной формы
• Жесткость (математика)
• Местная жесткость

Ссылки

• Drinfeld, V. (1974). "Elliptic modules". Math USSR Sbornik . 23 (4): 561–592. Bibcode : 1974SbMat..23..561D . doi : 10.1070/sm1974v023n04abeh001731 .
• Кац, Николас М .; Мазур, Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых . Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-08352-5 .
• Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2001). Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры . Анналы математических исследований. Том. 151. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-1-4008-3720-5 .
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994). Геометрическая теория инвариантов . Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том 34 (3-е изд.). Издательство Спрингер . ISBN  978-3-540-56963-3 . МР   1304906 .

Дальнейшее чтение

• Примечания об основных пакетах
• Лурье Ж. С. «Структуры уровней на эллиптических кривых».